S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn htt p

:// www .l r

c -tnu. e d

u. v

n
Đại học
tháI
ng
uy
ê
n
T
rờ
ng

đại học
s
p
hạm

T
r
ơn
g

t
h

6.
01
L
u
ậ
n

v
ă
n

t
h
ạc

sỹ
toán học
N
g
ời

h
ớ
ng

dẫn khoa
họ
c:
PGS.TS TRNG XUN C H
Thái

3.1. Định lí Knaster - Tarski……………………………………………… 39
3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42
3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị…………………………………… 45
3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach………… 47
3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn……………………………… 48
Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51
4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….…………………………… 51
4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức……………………… 56
4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani……… 60
Kết luận…………………………………………………………………… 63
Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p

:// www .l r

c -tnu. e d

u. v

n
LỜI NÓI ĐẦU
Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào
X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự
tồn tại của một điểm x
0
trong C sao cho
Fx
0
=
x

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS
Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu
sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc
và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo
Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện
Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả
trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả
xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều
kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô
và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008.
Học viên
Trương Thị Hải Yến
n
n
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng
được dùng trong luận văn
(
[
1
]
,
[
2
]
,

0
, tức là với
mọi
∑

>

0

, tồn tại
n
0
sao cho với mọi
n,
m
>
n
0
ta có
d ( x
n
, x
m
)
<
∑

.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric X gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy
Cauchy trong nó đều hội tụ.

được gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến
một tập bị chặn thành một tập compact tương đối.
Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy
hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình
cầu
{
B
n

}
(với dãy bán kính tương ứng
{
r
n

}
)
được gọi là thắt dần nếu
B
n
+
1
⊆ B
n
, với mọi
n
≥
1 và lim r
n
= 0 .

∑ > 0 ,
tồn tại
 >
0
sao cho
f
(
x
0
)
−
f
(
x) <
∑
với mọi
x

∈

B(

x
0
,


)

, tức

(
x
n
)
→

x
0
, f
(
x
n
)
→

u
}

.
Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ A thì f được gọi là nửa liên tục
dưới trên
A
. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm − f là
nửa liên tục dưới trên
A
.
1.3. Tập sắp thứ tự
Định nghĩa 1.3.1. Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn
i) x °
x với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử a
∈
X
gọi là phần tử cực đại của X nếu quan
hệ a °
x kéo theo x = a , với mọi x ∈ X . Một phần tử a ∈
X
gọi là phần tử
cực tiểu của X nếu quan hệ x °
a kéo theo x
=
a , với mọi x
∈
X .
Định nghĩa 1.3.4. Phần tử a ∈ X
gọi là cận trên của tập A nếu x ° a với mọi
x
∈
A .Nếu a
∈

A
và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất
của A và kí hiệu là max A . Phần tử a ∈
X
gọi là cận dưới của tập A nếu
a ° x
với mọi x ∈ A . Nếu a ∈
A
và a là một cận dưới của A thì a gọi là

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và f là một
ánh xạ liên tục của X, hoặc của một tập con của X , vào X . Một
điểm
x ∈ X
được gọi là một điểm
bất động đối với f nếu
x = f ( x) . Tập tất cả các
điểm bất động của f ký hiệu là
Fix( f ) .
Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các
định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình
P(
z) =
0
, trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một
n
điểm bất động của ánh xạ
z

z
−

P(z)
. Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất
kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình
Du = 0
(tương ứng u 

Du = 0 ) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh
xạ u  u



bất kỳ là một không gian
điểm
bất động. Thật vậy, cho
f : J
→
J
ta có
a
−
f (a)
≤

0
và
b

−
f (b)
≥

0
,
theo
định lý giá trị trung bình phương trình
do đó f có một điểm bất động.
x
− f (x) =
0

X
có một điểm bất động x
0
nên
g

h(x
0
)
=
h(x
0
)
và
h(
x
0
) là một điểm bất động đối với g.
Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục
f
:



a,
b



→


b
]
, vì thế nó là một không gian điểm bất động.
Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng
một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái
niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:
Định nghĩa 1.4.5. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và M là một
lớp các ánh xạ liên tục
f : X → X . Nếu mọi f
∈
M có điểm bất động thì X
được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M .
Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi
không gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ
co.
Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi M là lớp các ánh xạ
compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục
f : X → X
với bao đóng f ( X ) của
f ( X )
là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên
trong các vấn đề của giải tích phi tuyến.
Ví dụ 1.4.6.
(i) Ta đã biết  không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,

là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh
xạ f :  →  là compact thì f ( ) chứa trong đoạn hữu hạn



dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất
động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì
(

a,

b

)

⊂  , cũng
như
đồ thị của
sin


1


, 0
<
x
<
1, là một không gian điểm bất động đối với
các
 
ánh xạ compact.
1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ
Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động
không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn

{
x : r (
x) = id ( x)
}

, trong đó id
(
.
)
là ánh xạ đồng nhất.
Chẳng hạn, nếu E là
ộmt không gian định chuẩn và
K
ñ
=

{
x

∈
E :
x
≤

ñ
}
là một hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ ,
ñ
y


→
A
là ánh xạ co rút và
i
:
A

→
X
là ánh xạ
nhúng, ta có
r  i = id
A
. Xét ánhạ
x
liên tục bất kì
f :
A
→ A
khi đó
i

f

r : X
→

X
suy ra
có một điểm bất động, giả sử đó là

r(x
0
) =
là một điểm bất động của f .
f


r(x
0
)



,
Tương t ự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với
các
ánh x ạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X .
□
Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì
chắc chắn rằng
X
là không gian điểm bất động. Thật vậy, mọi tập con
{
a
}

là
không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì.
Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất
động Schauder kết quả cơ bản dưới đây:

Schauder, ánh xạ hợp compact
r  F : K
ñ
→ K
ñ
có một điểm bất
động
x = rF (x) .
Theo công thức (1.1), nếu
F ( x)
∈
K
ñ

thì
F (
x)
≤ ñ , ta có
x
=
rF ( x)
=
F ( x)
,
vì thế F có điểm bất động. Nếu
F ( x)
∉
K
ñ


x)
<

1
.
Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÍ BANACH
Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính chất đầy
đủ. Chúng ta trình bày Nguyên lí ánh xạ co Banach, và các mở rộng của nó,
một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert
và một số ứng dụng của Định lí Banach
(
[
4
]
)
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach
Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là
nguyên lí ánh xạ co Banach. Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện
trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác
tuỳ ý.
Cho ( X , d ) ,
(Y
,ñ)
là hai không gian mêtric và ánh xạ
F : X → Y
của
những không gian mêtric. Nếu F thoả mãn

0
∈
X
bất
kì, cho ∑ >
0
, với mọi x ∈ X , theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có
ñ(Fx, Fx
0
)
≤
Md ( x,
x
0

)
nên
d ( x, x )
<

∑
0
M
=  . Như vậy, F liên tục
tại
x
0
.
Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi
ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục.

n
+
1
y = F (F
n
y) . Ta
gọi
F
n
y là bước lặp thứ n của
Fy
, và tập
{
F

n
y : n
=

0,1,
}
bởi F.
Định lí 2.1.1 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Cho (Y , d
)
là quỹ đạo của y
là một không gian
mêtric đầy đủ và
F : Y
→
Y

y
0
, ta có
điều này vô lí.
d ( x
0

, y
0
)
=
d
(

Fx
0

, Fy
0
)

≤

〈

d ( x
0

, y
0

y) ≤
〈
d (F
n
−
1
y, F
n
y) ≤  ≤
〈

n

d ( y, Fy)
Như vậy, cho n bất kì và
p > 0 , ta thu được
n
+

p
−
1
d (F
n
y, F
n
+
p
y)
≤

y, F
i

+
1
y)
n
≤ (
〈

n
+
〈

n
+
1
+  +
〈

n
+

p
−
1

)d ( y, Fy) ≤
〈


+


)d

(

y,

Fy)

=

〈
d

(

y,
Fy) .
1

−
〈
n
n
Vì
〈

<

nhưng
{
F

n
+
1
y
}
là một dãy con của dãy
{
F
n
y
}
nên Fu = u , tức là F có điểm
bất động u . Ta thấy rằng với mỗi y
∈
Y , giới hạn của dãy
{
F
n
y
}

tồn tại và có
một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy
{
F
n

0
tìm được
1

−
〈
d

(F

n
y,
u)
=

lim
d

(F

n
y,

F

n
+
p
y)
≤

sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa.
Hệ quả 2.1.2. Cho (Y , d
)
là không gian mêtric đầy đủ và
B = B( y
0

, r ) =
{

y : d ( y, y
0
) < r
}

.
Cho
F : B → Y
là một ánh xạ co với hằng số
〈
<

1
. Nếu
d (Fy
0
, y
0
)
<

)∑

<

(1

−

〈

)r
.
ta có
Giả sử
K
=

{

y : d ( y, y
0
)
≤

∑

}
là hình cầu đóng. Xét
ánh xạ
F : K → K . Nếu