BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ NHƯ HẢO
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
LÊ NHƯ HẢO
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN
Nghệ An - 2014
3
MỤC LỤC
Mục lục 3
Mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1. Vành Noether và vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Vành và môđun địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Một số tính chất của vành iđêan hóa 14
2.1. Khái niệm vành iđêan hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Iđêan hóa của môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

)(r
2
, m
2
) = (r
1
r
2
, r
1
m
2
+ r
2
m
1
)
với mọi (r
1
, m
1
), (r
2
, m
2
) ∈ R × M; R × M cùng với hai phép toán nói trên
là một vành giao hoán có đơn vị (1, 0) và hơn nữa nó là một R−đại số. Vành
R × M được gọi là iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M
và được ký hiệu là RM. Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại duy
nhất m thì RM cũng là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất

theo tôpô m × M-adic, điều kiện để vành RM là Noether, Artin,
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn
được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương
này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằm
làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau.
Chương 2: Một số tính chất của vành iđêan hóa. Trong chương này chúng tôi
trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảo
chính là [3] và một số tài liệu liên quan khác, gồm những nội dung sau.
2.1. Vành iđêan hóa
2.2. Địa phương hóa
2.3. Iđêan hóa của môđun phân bậc.
2.4. Tính Artin và tính Noether
6
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin được
bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã
tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt quá trình học tập và làm đề tài.
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ
môn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học
Đại Số; Tác giả cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, các thầy cô giáo trong
Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, tổ Toán - Tin cùng toàn
thể giáo viên trường THPT Diễn Châu 4 và lớp cao học khóa 20 đã luôn động
viên, và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học.
Nghệ An, tháng 06 năm 2014
Tác giả
7
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.2 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là vành Noether;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo
quan hệ bao hàm;
8
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.
1.1.3 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) R là vành Artin;
(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực tiểu theo
quan hệ bao hàm;
1.1.4 Định lí. (Định lý cơ sở Hilbert) Nếu R là vành Noether thì vành đa
thức n biến R[x
1
, . . . , x
n
] cũng là vành Noether.
1.2 Vành và môđun địa phương hóa
Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các
R × S = {(r, s) | r ∈ R, s ∈ S}
xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau:
(r, s) ∼ (r

, s

) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs

− r

s) = 0.
Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S. Khi đó R × S được chia

r/s.r

/s

= (rr

)/(ss

)
9
với mọi r/s, r

/s

∈ R
S
; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vào
việc chọn phần tử đại diện. Khi đó R
S
trở thành một vành và gọi là vành các
thương của R theo tập nhân đóng S. Chú ý rằng vành các thương R
S
cũng
thường được ký hiệu là S
−1
R.
Mỗi iđêan của vành các thương R
S
đều có dạng S
−1

được gọi là bão hòa của S (saturation of S). Chú ý rằng S cũng là một tập
nhân đóng của vành R. Do ước của một phần tử khả nghịch là một phần tử
khả nghịch nên từ định nghĩa của vành các thương ta suy ra R
S
= R
S
và S
là cực đại trong số các tập T để cho R
S
= R
T
. Dễ thấy rằng
S = {a ∈ R | a/1 khả nghịch trong R
S
}
Cho M là một R-môđun. Trên tích Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi
(m, s) ∼ (m

, s

) ⇔ ∃t ∈ S : t(s

m − sm

) = 0.
10
Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Khi đó M × S được
chia thành các lớp tương đương. Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S, kí hiệu
m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là
(m/s) = {(m


m − sm

) = 0.
Trên M
S
trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân với vô hướng (.) như
sau:
m/s + m

/s

= (ms

+ sm

)/(ss

)
và
r/t.m/s = (rm)/(ts)
với mọi m/s, m

/s

∈ M
S
, r/t ∈ R
S
; chú ý rằng hai phép toán này không

. Môđun M
p
được gọi là môđun địa phương hóa của
M tại iđêan nguyên tố p.
11
1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic
Cho (R, m) là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở
lân cận của phần tử 0 là các iđêan m
t
, với t = 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lân
cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r + m
t
với t = 0, 1, 2,
Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R được kí hiệu bởi

R được định
nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy
Cauchy trong R là một dãy (r
n
) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0,
tồn tại số tự nhiên n
0
để r
n
− r
m
∈ m
t
với mọi n, m > n
0


R là tập các lớp tương đương
của các dãy Cauchy.
Chú ý rằng nếu (r
n
) và (s
n
) là các dãy Cauchy thì các dãy (r
n
+s
n
), (r
n
s
n
)
cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r
n
+ s
n
), (r
n
s
n
) là
không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các
dãy (r
n
) và (s
n

n
). Vì thế

R được trang bị hai phép toán hai ngôi + và .
đồng thời cùng với hai phép toàn này,

R lập thành một vành. Mỗi phần tử
r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các
phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành
R −→

R
r −→ (r),
trong đó (r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Đồng cấu tự nhiên
này là một đồng cấu hoàn toàn phẳng.
Chú ý rằng từ định nghĩa trên ta thấy

R = lim
←
(R/m
n
).
12
1.4 Vành và môđun phân bậc
1.4.1 Định nghĩa. (i) Một vành R được gọi là phân bậc nếu
R = R
0
⊕ R
1
⊕ R

là môđun phân bậc trên vành phân bậc R =
∞
⊕
i=0
R
i
thì
mỗi phần tử x của R
i
(hoặc M
i
) được gọi là phần tử thuần nhất bậc i, kí hiệu
deg(x) = i. Ta quy ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên tùy ý. Như vậy,
nếu a ∈ R và x ∈ M là các phần tử thuần nhất thì deg(ax) = deg(a)+deg(x)
hoặc ax = 0.
Từ định nghĩa ta suy ra R
0
là một vành con của vành R và mỗi thành
phần phân bậc M
i
(hoặc R
i
) là một R
0
−môđun. Nếu x ∈ M và
x = x
i
+ x
i+1
+ . . . + x

1.4.3 Ví dụ. Vành phân bậc hay gặp nhất là vành đa thức R = A[x], trong
đó A là một vành giao hoán có đơn vị, với R
i
là tổ hợp tuyến tính của các
đơn thức có bậc tổng thể là i và hệ số thuộc A. Như vậy, đa thức thuần nhất
là tổng của các từ có bậc tổng thể bằng nhau.
I là iđêan thuần nhất của R nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất. Chẳng
hạn, mọi đơn thức là đa thức thuần nhất; (x
3
− y
2
z, x
4
yz − y
5
z + 6y
2
z
4
) là
iđêan thuần nhất của vành R[x, y, z].
Cho S là một vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc). Khi đó
người ta còn gọi R là một S-đại số. Nếu a
1
, . . . , a
n
∈ R, ký hiệu S[a
1
, . . . , a
n

i=0
R
i
là vành Noether khi và chỉ khi R
0
là vành Noether và R là một R
0
-đại số hữu hạn sinh.
14
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA
Trong chương này, dựa vào bài báo [3] của D. D. Anderson and M. Winders,
chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa RM, với R là
một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun.
2.1 Khái niệm vành iđêan hóa
2.1.1 Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 và M là
một R−môđun. Trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toán cộng và nhân
như sau:
(r
1
, m
1
) + (r
2
, m
2
) = (r
1
+ r
2

), (r
2
, m
2
) ∈ R × M. Khi đó R × M cùng với hai phép toán
nói trên là một vành giao hoán có đơn vị là (1, 0). Vành R × M được gọi là
iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M và được ký hiệu là
RM.
2.1.2 Chú ý. (1) Chú ý rằng RM cũng là một R−đại số. Giả sử R là
một vành giao hoán cố định. Khi đó iđêan hóa cảm sinh một hàm tử I
R
:
R − mod →
R
Alg từ phạm trù các R-môđun R − mod đến phạm trù các
R-đại số
R
Alg, với I
R
(M) = RM và nếu f : M → N là một R-đồng
cấu thì I
R
(f) : I
R
(M) → I
R
(N) là một đồng cấu R- đại số xác định bởi
I
R
(f)(r, m) = (r, f(m)).

là một đẳng cấu vành và chuyển 0 × M thành M
∗
. Như vậy, vành
iđêan hóa RM đẳng cấu với vành ma trận T và có thể xem M như là một
iđêan của RM.
(3) Phép chiếu chính tắc ρ : RM → R xác định bởi ρ((r, m)) = r và
phép nhúng chính tắc σ : R → RM xác định bởi σ(r) = (r, 0) là các đồng
cấu địa phương. Do đó chúng ta có thể xem mỗi R-môđun như một RM-
môđun và mỗi RM-môđun như một R-môđun bởi các đồng cấu σ và ρ.
Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là
cấu trúc ban đầu.
Cho  : M → RM là phép nhúng chính tắc xác định bởi (x) = (0, x).
Khi đó ta có dãy khớp các RM-môđun:
0 → M → RM → R → 0.
2.1.3 Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun.
(i) Tập các phần tử khả nghịch của vành RM là U(RM) = U(R)×M,
trong đó U(R) là tập các phần tử khả nghịch của vành R.
(ii) Tập các phần tử lũy đẳng của vành RM là Id(RM) = Id(R) × 0,
trong đó Id(R) là tập các phần tử lũy đẳng của vành R.
16
Chứng minh. (i) giả sử (r, m) ∈ U(RM). Khi đó tồn tại (s, n) ∈ RM sao
cho (r, m)(s, n) = (1, 0). Do đó rs = 1, tức là r ∈ U(R). Suy ra (r, m) ∈
U(R) × M. Ngược lại, giả sử (r, m) ∈ U(R) × M. Khi đó, do r ∈ U(R)
nên tồn tại s ∈ R sao cho rs = 1. Suy ra (r, 0)(s, 0) = (1, 0), tức (r, 0) khả
nghịch. Mặt khác, do (r, m) = (r, 0) + (0, m) mà (0, m) lũy linh nên suy ra
(r, m) khả nghịch (chú ý rằng nếu u là một phần tử khả nghịch và x là một
phần tử lũy linh của vành R thì u + x là phần tử khả nghịch của R. Thật
vậy, do x lũy linh nên x ∈ n(R) ⊆ J(R). Suy ra 1 − xy khả nghịch với mọi
y ∈ R. Do đó u(1 − xy) khả nghịch với mọi y ∈ R. Chọn y = −u
−1

r ∈ Z(M) thì tồn tại 0 = x ∈ M sao cho rx = 0. Vì thế (r, 0)(0, x) = (0, 0).
Do đó (r, 0) ∈ Z(RM).
Chú ý rằng Z(RM) là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết mà n(RM)
là giao của tất cả các iđêan nguyên tố nên n(RM) ⊆ Z(RM). Bây giờ
giả sử m ∈ M. Khi đó (0, m) ∈ n(RM) nên (0, m) ∈ Z(RM). Do đó
(r, m) = (r, 0) + (0, m) ∈ Z(RM). Như vậy ta đã chứng minh được
{(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M), m ∈ M} ⊆ Z(RM).
Ngược lại, giả sử (r, m) ∈ Z(RM). Khi đó tồn tại (0, 0) = (s, n) ∈ RM
sao cho (0, 0) = (r, m)(s, n) = (rs, rn + sm). Nếu s = 0, do rs = 0 suy ra
r ∈ Z(R). Nếu s = 0 thì n = 0, do sm = 0 nên rn = 0 suy ra r ∈ Z(M).
Trong cả hai trường hợp ta đều có r ∈ Z(R) ∪ Z(M). Do đó
Z(RM) ⊆ {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M), m ∈ M}.
Vậy từ những chứng minh trên ta nhận được
Z(RM) = {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M), m ∈ M}.
Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây.
2.2.2 Hệ quả. Tập các phần tử chính qui (không là ước của không) của vành
RM là S × M, trong đó S = R \ (Z(R) ∪ Z(M)).
2.2.3 Nhận xét. Giả sử M = 0. Theo Mệnh đề 2.2.1, tập các ước của không
của vành RM là Z(RM) = (Z(R) ∪ Z(M)) × M ⊇ 0 × M = 0. Do đó
khi M = 0 thì vành iđêan hóa RM không bao giờ là miền nguyên.
18
Một tập con S của một vành R được gọi là bão hòa (saturated) nếu nó
đóng kín đối với phép lấy thương, nghĩa là, với mọi x, y ∈ R nếu xy ∈ S thì
x, y ∈ S. Nói cách khác, tập con S của vành R được gọi là bão hòa nếu với
mọi x, y ∈ R mà x ∈ S và y | x thì y ∈ S. Theo Kaplansky [7], tập con S
của vành R vừa là tập nhân đóng vừa là bão hòa khi và chỉ khi S là phần bù
của hợp các iđêan nguyên tố. Nhắc lại rằng, với mỗi tập nhân đóng S, bão
hòa của S (saturation of S) là tập hợp
S = {a ∈ R | ∃b ∈ R, ab ∈ S}.
Rõ ràng S ⊇ S và S cũng là một tập nhân đóng của vành R (xem Mục 1.2).

S
M
S
.
Trong trường hợp N = 0, đẳng cấu xác định bởi (r, m)/(s, 0) → (r/s, m/s).
(ii) Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Khi đó
(RM)
p×M
∼
=
R
p
M
p
.
(iii) Ký hiệu T(RM) là vành thương toàn thể của RM. Khi đó
T (RM)
∼
=
R
S
M
S
,
trong đó S = R \ (Z(R) ∪ Z(M)).
Chứng minh. (i) Xét ánh xạ
f : (RM)
S×N
→ R
S

n
+ a
1
x
n−1
+ + a
n−1
x + a
n
= 0
20
có nghĩa là x là nghiệm của một đa thức đơn hệ với hệ tử trên A. Tập con C
của B gồm những phần tử nguyên trên A là một vành con của B chứa A và
C được gọi là bao đóng nguyên của A trong B. Nếu C = A thì A được gọi
là đóng nguyên trong B. Nếu C = B thì vành B được gọi là nguyên trên A
(như vậy B là nguyên trên A nếu mọi phần tử của B đều nguyên trên A).
Như đã trình bày trong Chương 1, vành thương toàn thể của một vành
là một mở rộng của vành đó. Mệnh đề sau sẽ xác định bao đóng nguyên của
RM trong vành thương toàn thể T (RM).
2.2.6 Mệnh đề. Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun. Cho
S = R \ (Z(R) ∪ Z(M)). Nếu R

là bao đóng nguyên của R trong T(R) thì
(R

∩ R
S
) × M
S
là bao đóng nguyên của RM trong T (RM).

.
Ngược lại, giả sử (r, b) ∈ (RM)

. Do (0, b)
2
= (0, 0) nên (r, 0) ∈
(RM)

. Từ đó suy ra r nguyên trên R. Vì thế r ∈ R

∩ R
S
.
2.2.7 Hệ quả. Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun. Cho
S = R \ (Z(R) ∪ Z(M)).
(i) Nếu vành R là đóng nguyên thì RM
S
là bao đóng nguyên của RM
trong T(RM).
(ii) Nếu Z(M) ⊆ Z(R) thì RM
S
là đóng nguyên khi và chỉ khi R là
đóng nguyên.
Chứng minh. (i) Áp dụng Mệnh đề 2.2.6, trong trường hợp này ta có R = R

;
do đó R

∩ R
S

i
-môđun, i = 1, 2.
Khi đó M
1
×M
2
là một R
1
×R
2
-môđun với phép nhân với vô hướng được xác
định bởi (r
1
, r
2
)(m
1
, m
2
) = (r
1
m
2
, r
2
m
1
). Ngược lại, cho R = R
1
× R

là các vành giao hoán và M
i
là các R
i
-
môđun, i = 1, 2. Khi đó
(R
1
× R
2
)(M
1
× M
2
)
∼
=
(R
1
M
1
) × (R
2
M
2
).
Chứng minh. Dễ thấy rằng ánh xạ
(R
1
× R

2
, m
2
) là một đẳng cấu vành. Từ
đó suy ra điều phải chứng minh.
Chú ý rằng có thể xem vành iđêan hóa RM là vành phân bậc với
(RM)
0
= R × 0, (RM)
1
= 0 × M và (RM)
i
= 0, ∀i ≥ 2. Định lý
sau cho thấy rằng nếu R là một vành phân bậc và M là một R-môđun phân
bậc thì RM có cấu trúc phân bậc tự nhiên.
2.3.2 Định lí. Cho R = R
0
⊕ R
1
⊕ . . . là một vành giao hoán phân bậc và
M = M
0
⊕ M
1
⊕ . . . là một R-môđun phân bậc. Khi đó RM là vành phân
bậc với (RM)
n
= R
n
⊕ M

(RM)
j
= (R
i
⊕ M
i
)(R
j
⊕ M
j
) = R
i
R
j
⊕ (R
i
M
j
+ R
j
M
i
)
⊆ R
i+j
⊕ M
i+j
= (RM)
i+j
.

α
}]] với tập biến {X
α
} bất kỳ
trên R.
Chứng minh. Xét ánh xạ f : (RM)[[{X
α
}]] → R[[{X
α
}]]M[[{X
α
}]], xác
định bởi

(r
i
, m
i
)f
i
→ (

r
i
f
i
,

m
i

= (a
0
, . . . , a
n
)R.
Tập hợp
N = {f ∈ R[X] | A
f
= R}
23
là tập nhân đóng bão hòa của R[X]. Thật vậy, N = R[X]\∪m[X], ở đây hợp
lấy trên tất cả các iđêan cực đại m của R. Đặt R(X) := R[X]
N
và nếu M
là một R-môđun thì M(X) := M[X]
N
. Khi đó M(X) là một R(X)-môđun.
Ngoài ra, với f = (r
0
, m
0
) + . . . + (r
n
, m
n
)X
n
∈ (RM)[X] thì A
f
= RM

2.4 Tính Artin và tính Noether
Trong mục này chúng ta sẽ xem xét khi nào vành RM là vành Artin
hoặc là vành Noether.
2.4.1 Bổ đề. Cho R là một vành giao hoán và F là một R-môđun tự do
với cơ sở {x
α
}
α∈Λ
. Giả sử {X
α
}
α∈Λ
là tập các biến trên R tương ứng 1-1 với
{x
α
}
α∈Λ
. Khi đó RF đẳng cấu tự nhiên với R[{X
α
}
α∈Λ
]/({X
α
}
α∈Λ
)
2
qua
ánh xạ xác định bởi (r,


({X
α
}
α∈Λ
)
2
là một đẳng cấu.
2.4.2 Hệ quả. Giả sử M là một R-môđun với một tập sinh có lực lượng
| Λ |. Khi đó RM là ảnh đồng cấu của R[{X
α
}
α∈Λ
]/({X
α
}
α∈Λ
)
2
.
24
Chứng minh. Giả sử {g
α
}
α∈Λ
là một hệ sinh của M. Khi đó tồn tại một toàn
cấu R-môđun f : F → M cảm sinh bởi f(x
α
) = g
α
và do đó ta có toàn cấu

vành Noether với dim R = 0. Vì thế theo Hệ quả 2.4.3 ta có RM là vành
Noether. Mặt khác, dim RM = dim R = 0. Do đó RM là vành Artin.
Mệnh đề tiếp theo cho ta mối quan hệ giữa bao đầy đủ m-adic của R, M
và của vành iđêan hóa RM.
25
2.4.5 Mệnh đề. Cho (R, m) là một vành địa phương và M là R-môđun hữu
hạn sinh. Khi đó RM là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m ×M
và

RM
∼
=

R

M.
Chứng minh. Chú ý rằng (m × M)
n
= m
n
× m
n−1
M. Vì thế

RM = lim
←
(RM)/(m × M)
n
= lim
←