BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐINH TIẾN DŨNG
SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT
ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
ĐINH TIẾN DŨNG
SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM GIẢ BẤT
ĐỘNG, GIẢ BẤT ĐỘNG CHUNG TRONG
KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG
NGHỆ AN - 2014
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 1
1 KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 4
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Nón trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ BẤT ĐỘNG
TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC NÓN 19
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co trong không gian
giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Sự tồn tại điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian giả mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1
Chương 1. Không gian giả mêtric nón
Trong chương này, đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của
tôpô đại cương, giải tích hàm có liên quan đến nội dung của luận văn. Trình bày
khái niệm, ví dụ và các tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach.
Sau đó, chúng tôi trình bày khái niệm, ví dụ về không gian giả mêtric nón và
một số tính chất tôpô của không gian giả mêtric nón mà chúng cần dùng trong
chương 2.
Chương 2. Một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động trong không
gian giả mêtric nón
Chương này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm giả bất động của ánh
xạ co, điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian
giả mêtric nón.
Đầu tiên, chúng tôi chứng minh kết quả tương tự như Định lý về sự tồn tại
điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ liên tục, dãy ánh xạ liên tục hội tụ đều trong
không gian mêtric nón đầy đủ vẫn đúng trong không gian giả mêtric nón đầy đủ.
Sau đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định lý về sự tồn tại điểm giả bất
động chung của hai cặp ánh xạ tương thích yếu trong không gian giả mêtric nón
cùng một số hệ quả và chỉ ra một số kết quả trong [5, 9] được suy ra từ các kết
quả của chúng tôi.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo của PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh
nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học, Ban Chủ Nhiệm Khoa
Toán - Trường Đại học Vinh.
Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải tích - Khoa
Toán- Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt
thời gian học tập.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong

, G
2
∈ T thì G
1
∩ G
2
∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là
(X, T ) hoặc X.
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
Giả sử E ⊂ X. Tập E được gọi là tập đóng nếu X \ E là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi là lân cận
của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận tại x. Họ
B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.
4
Cho không gian tôpô X, A là tập con của X. Tập mở lớn nhất chứa trong A
được gọi là phần trong của A. Ký hiệu intA.
1.1.3 Định nghĩa. Dãy {x
n
} trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ tới
x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
∈ U với mọi n ≥ n
0

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký hiệu là
(X, d) hoặc X.
1.1.8 Định nghĩa. Cho tập X khác rỗng và ánh xạ
d :X × X → R
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách hay là giả mêtric trên X nếu d thỏa
mãn 3 tiên đề sau đây với bất kỳ x, y, z thuộc X.
5
i) 0 ≤ d(x, y) và nếu x = y thì d(x, y) = 0;
ii) d(x, y) = d(y, x);
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Tập X cùng với giả khoảng cách d được gọi là không gian giả mêtric và ký hiệu
là (X, d).
1.1.9 Định nghĩa. Giả sử E là không gian vectơ trên trường K = R hoặc K = C.
Hàm p : E → R thỏa mãn các điều kiện
i) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ E và p(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0;
ii) p(λx) = |λ|p(x) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E.
được gọi là chuẩn trên không gian vectơ E. Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ
x ∈ E. Ta thường ký hiệu chuẩn của x là x. Không gian vectơ E cùng với một
chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn.
1.1.10 Mệnh đề. Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức
d(x, y) = x − y ∀x, y ∈ E
xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric
chuẩn.
1.1.11 Định nghĩa. Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ
theo mêtric sinh bởi chuẩn thì được gọi là không gian Banach.
1.1.12 Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn thì các ánh xạ

iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.2.2 Ví dụ ([6]). 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông thường,
tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} là một nón.
2) Giả sử E = R
2
, P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R
2
. Khi đó, P thỏa mãn ba điều
kiện:
i) P là tập đóng, P = ∅ và P = {0};
ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b ≥ 0, ta có
a(x, y) + b(u, v) ∈ P ;
iii) Với (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P ta có (x, y) = (0, 0).
Vậy, P là một nón trên E.
7
3) Giả sử C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực, liên tục trên [a, b].
Ta đã biết C
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn
f = sup
x∈[a,b]
|f(x)| ∀f ∈ C
[a,b]
.
Trên C
[a,b]
có quan hệ thứ tự bộ phận thông thường ≤ được xác định bởi f, g ∈ C
[a,b]

thì tồn tại x ∈ E sao cho x
n
− x → 0 khi n → ∞.
1.2.4 Ví dụ. Trong không gian Banach R
k
với nón
P =

(x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R
k
: x
i
 0, ∀i = 1, 2, , k

.
Khi đó,
a) P là nón thỏa điều kiện:
∀x = (x
1
, x
2
, , x
k
) ∈ R

, ∀n = 1, 2, và y = (y
1
, y
2
, , y
k
) ∈
R
k
sao cho
x
1
 x
2
  x
n
  y.
Khi đó, với mỗi i = 1, 2, , k ta có
x
1
i
 x
2
i
  x
n
i
  y
i
.

Đặt P = {f ∈ E : f ≥ 0}. Khi đó, P là một nón với hằng số chuẩn tắc K = 1.
Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và 0 ≤ f ≤ g. Khi đó, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [0, 1]
và ta có
f = sup
x∈[0,1]
|f(x)| = sup
x∈[0,1]
f(x) ≤ sup
x∈[0,1]
g(x)
= sup
x∈[0,1]
|g(x)| = g,
chứng tỏ P là nón chuẩn tắc.
Bây giờ, ta chứng minh P không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy {f
n
}
trong E cho bởi f
n
(x) = x
n
với mọi x ∈ [0, 1]. Rõ ràng dãy {f
n
} giảm và bị chặn
dưới nhưng {f
n
} không hội tụ trong E. Vậy P không phải là nón chính quy.
1.2.7 Bổ đề ([6]). Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c ∈ E và α
là số thực dương. Khi đó,
i) Nếu a  b và b  c thì a  c;

n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
= y thì
0 ≤ x ≤ y.
Chứng minh.
i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP . Nếu a  b và b  c thì
a − b ∈ intP và c − b ∈ intP. Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP .
Vậy a ≤ c.
ii) Để ý rằng intP + P = ∪
x∈P
(x + intP ) là tập mở và P là nón nên suy ra
x + intP ⊂ P . Do đó P + intP ⊂ intP . Nếu a  b và b  c thì b − a ∈ P và
c − b ∈ intP. Suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay a − c ∈ intP.
Vậy a  c.
iii) Ta có a  b và c  d nên b −a ∈ intP và d −c ∈ intP suy ra b − a + d− c ∈
intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a = c  b + d.
iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP.
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
δ
nx
< 1. Khi
đó, với mỗi γ =
δ
nx
< 1 thỏa mãn: 0 < γ < 1 và

 d. Mặt khác d − c
1
= (m − 1)c
1
+ c
2
∈
intP + P ⊂ P ⇒ c
1
 d.
vii) Do c
1
∈ intP nên tồn tại hình cầu mở B(0, r) trong không gian định chuẩn
E sao cho c
1
+ B(0, r) ⊂ P . Do B(0, r) là tập hút nên nó hút c
2
tức là tồn tại số
10
dương m < 1 thỏa mãn
mc
2
∈ B(0, r) ⇒ −mc
2
∈ B(0, r) ⇒ c
1
+ (−mc
2
) ∈ c
1

x
n
với mọi n = 1, 2, . . . do đó
x
n
−a ∈ P với mọi n = 1, 2, . . . Vì



x
n



=
x
n
→ 0 nên
x
n
→ 0. Do đó
x
n
−a → −a.
Mặt khác, vì dãy {
x
n
− a} ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P . Như vậy, a và
−a ∈ P. Vì P là nón nên a = 0.
ix) Vì a ≤ εa nên εa − a ∈ P hay (ε − 1)a ∈ P . Do 0  ε < 1 nên 1 − ε > 0.

0
∈ N sao cho x
n

c với mọi n ≥ n
0
. Hơn nữa nếu P chuẩn tắc thì khẳng định ngược lại cũng đúng.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là dãy trong P và x
n
→ 0. Với mọi c ∈ intP, vì intP
là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + B
E
(0, δ) ⊂ intP . Do đó, nếu x ∈ E mà
x < δ thì c − x ∈ intP . Với δ > 0 xác định như trên tồn tại n
0
∈ N sao cho
x
n
 < δ ∀n > n
0
.
Suy ra c − x
n
∈ intP với mọi n ≥ n
0
. Do đó x
n
 c với mọi n ≥ n

}
và dãy {c
n
} là hai dãy trong P. Khi đó, nếu 0 ≤ b
n
≤ c
n
với mọi n và c
n
→ 0 thì
b
n
→ 0.
Chứng minh. Vì c
n
→ 0 nên theo Bổ đề 1.2.8, thì với mỗi c ∈ intP tồn tại
n
0
∈ N sao cho c
n
 c với mọi n ≥ n
0
.
Mặt khác, vì 0 ≤ b
n
≤ c
n
nên b
n
 c với mọi n  n

a
n
= lim
n→∞
c
n
= d thì tồn tại lim
n→∞
b
n
và lim
n→∞
b
n
= d
Chứng minh. Từ a
n
≤ b
n
≤ c
n
với mọi n suy ra
0 ≤ b
n
− a
n
≤ c
n
− a
n

n→∞
b
n
và lim
n→∞
b
n
= d.

1.2.11 Định nghĩa ([2]). Giả sử X là tập khác rỗng, P là nón trong không gian
Banach thực E và
d : X × X → P
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là khoảng cách nón hay là mêtric nón trên X nếu thỏa
mãn các điều kiện sau
12
i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;
iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Tập X cùng với khoảng cách nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và được kí hiệu là (X, d) hoặc X.
1.3 Không gian giả mêtric nón
Từ đây về sau, ta quy ước P là một nón trong không gian Banach thực E sao
cho intP = ∅, ≤,  là các thứ tự trên E được xác định bởi P.
1.3.1 Định nghĩa ([1]). Giả sử X là tập khác rỗng và
d : X × X → P
(x, y) −→ d(x, y).
Khi đó, ánh xạ d được gọi là giả khoảng cách nón hay là giả mêtric nón trên X
nếu thỏa mãn các điều kiện sau
i) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, nếu x = y thì d(x, y) = 0;

[a,b]
. Giả sử f, g, h ∈ L
[a,b]
. Ta có
d(f, g) =

b
a
|f(x) − g(x)|dx =

b
a
|f(x) − h(x) + h(x) − g(x)|dx
≤

b
a
|f(x) − h(x)|dx +

b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).
Vậy d là giả mêtric nón trên L
[a,b]
.
Chú ý.1) Nếu d là giả mêtric trên X và thỏa mãn điều kiện d(x, y) = 0 kéo
theo x = y thì d là mêtric nón trên X. Như vậy, không gian mêtric nón là trường
hợp đặc biệt của không gian giả mêtric nón.
2) Trong ví dụ trên, d không phải là mêtric nón trên L
[a,b]

: f có đạo hàm liên tục trên [a, b]}
và xác định hàm d : X × X → P bởi công thức d(f, g) = |f

−g

| với mọi f, g ∈ X,
tức là d(f, g)(x) = |f

(x) − g

(x)|, ∀f, g ∈ X, ∀x ∈ [a, b]. Khi đó, d thỏa mãn các
điều kiện của Định nghĩa 1.3.1, tức d là giả mêtric nón trên X.
Ta thấy rằng d không là mêtric nón. Thật vậy, nếu ta xét các hàm f, g ∈ X với
f(x) = x, g(x) = x + 1 với mọi x ∈ [a, b] thì f = g nhưng d(f, g) = 0.
Từ đây về sau, ta giả thiết (X, d) là không gian giả mêtric nón với d nhận giá
trị trong nón P.
1.3.3 Định nghĩa ([1]). Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, với bất kỳ
a ∈ X và c ∈ intP . Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)  c}.
14
Tập B(a, c) được gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính c.
1.3.4 Mệnh đề ([1]). Đặt
T = {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ intP, B(x, c) ⊂ G}.
Khi đó,
a) T là một tôpô trên X;
b) Với mọi a ∈ X và mọi c ∈ intP , hình cầu mở B(a, c) là lân cận của mỗi
điểm thuộc B(a, c);
c) (X, T ) không là T
1
− không gian.

Giả sử A ∈ T , B ∈ T . Lấy bất kỳ x ∈ A ∩ B. Khi đó, x ∈ A, x ∈ B. Do
A ∈ T , B ∈ T nên tồn tại c
1
và c
2
∈ intP sao cho B(x, c
1
) ⊂ A và B(x, c
2
) ⊂ B.
Theo Bổ đề 1.2.7.vii) tồn tại c ∈ intP sao cho c  c
1
và c  c
2
. Từ đó suy ra
B(x, c) ⊂ B(x, c
1
) ∩ B(x, c
2
) ⊂ A ∩ B. Do đó, A ∩ B ∈ T .
Vậy T là một tôpô trên X.
b) Giả sử x ∈ B(a, c). Khi đó, 0 ≤ d(x, a)  c. Đặt c

= c − d(x, a). Vì
d(x, a)  c nên ta có c

∈ intP . Với mọi y ∈ B(x, c

) ta có d(y, x)  c


sao
cho d(x
n
, a)  c với mọi n ≥ n
c
.
2) Nếu P là nón chuẩn tắc thì x
n
→ a khi và chỉ khi d(x
n
, a) → 0.
Chứng minh. 1) Giả sử x
n
→ a. Khi đó, với mỗi c ∈ intP . Vì B(a, c) ∈ T nên
tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho x
n
∈ B(a, c) với mọi n ≥ n
c
. Do đó, d(a, x
n
)  c
vói mọi n ≥ n
c
. Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(a, x
n

={x ∈ X : d(a, x) = 0}.
Chứng minh. a) Với mọi n ta có
0 ≤ d(a, b) ≤ d(a, x
n
) + d(x
n
, b). (1)
Vì x
n
→ a và x
n
→ b nên từ Định lý 1.3.6. 1) suy ra với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên n
c
sao cho d(a, x
n
) 
c
2
và d(b, x
n
) 
c
2
với mọi n ≥ n
c
. Kết hợp với (1)
suy ra d(a, b)  c với mọi c ∈ intP . Theo Bổ đề 1.2.7.viii), thì d(a, b) = 0.
16
b) Điều kiện cần. Giả sử x

nên điều cần chứng minh là hiển nhiên. 
1.3.8 Mệnh đề ([1]). Giả sử (X, d) là không giả mêtric nón, a ∈ X và c ∈ intP.
Khi đó, họ U = {B(a,
c
n
) : n = 1, 2, . . .} là một cơ sở lân cận tại điểm a, do đó X
là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử U là lân cận bất kỳ của điểm a. Khi đó, tồn tại r ∈ intP
sao cho B(a, r) ⊂ U. Vì
c
n
→ 0 khi n → ∞ và r ∈ intP nên Bổ đề 1.2.7, suy ra
tồn tại n sao cho
c
n
 r. Do đó, B(a,
c
n
) ⊂ B(a, r) ⊂ U. Suy ra U là cơ sở lân cận
tại điểm a.
Hiển nhiên U là tập đếm được. Do đó X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất. 
1.3.9 Mệnh đề ([1]). Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón và a ∈ X. Đặt
F
a
= {x ∈ X : d(x, a) = 0}.
Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng
a) Với mọi b và b

∈ F


) + d(b

, b) = d(x, b

) (1)
và
d(x, b

) ≤ d(x, b) + d(b, b

) = d(x, b). (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra d(x, b) = d(x, b

).
17
b) Giả sử {x
n
} ⊂ F
a
và x
n
→ x ∈ X. Vì X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất nên để chứng minh F
a
đóng ta chỉ cần chứng minh x ∈ F
a
. Vì x
n
→ x nên

d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b)
và
d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y).
Do đó d(a, b) = d(x, y). .
18
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM GIẢ
BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ MÊTRIC
NÓN
Chương này trình bày một số tính chất của ánh xạ liên tục, điểm giả bất động
của ánh xạ co và điểm giả bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian giả mêtric nón cùng các hệ quả của nó.
2.1 Sự tồn tại điểm giả bất động của các ánh xạ co
trong không gian giả mêtric nón
Trong mục này, ta sẽ chứng minh một số tính chất của ánh xạ liên tục, nguyên
lý ánh xạ co và các định lý về điểm giả bất động của ánh xạ co trong không gian
giả mêtric nón. Các kết quả này có được bằng cách tổng quát từ những kết quả
trong không gian mêtric nón và không gian giả mêtric. Trong các định lý sau, ta
giả sử các giả mêtric nón nhận giá trị trong nón P, trong đó P là nón trong không
gian Banach thực E, intP = ∅, ≤ và  là hai thứ tự trên E được xác định bởi P.
2.1.1 Định lý ([1]). Cho các không gian giả mêtric nón (X, d), (Y, d) và tập hợp
không rỗng E ⊂ X. Hàm f : E → Y liên tục tại điểm x
0
∈ E khi và chỉ khi với
mọi dãy {x
n
} ⊂ E sao cho x
n
→ x
0

, t) với mọi n ≥ n
0
. Do đó
f(x
n
) ∈ B(f(x
0
), c) với mọi n ≥ n
0
.
19
Như vậy f(x
n
) → f(x
0
).
Điều kiện đủ. Giả sử x
0
là điểm thuộc E và với mỗi dãy {x
n
} ⊂ E mà x
n
→ x
0
đều có f(x
n
) → f(x
0
).
Ta giả sử rằng f không liên tục tại điểm x

n
→ x
0
. Trong khi đó, từ f(x
n
) /∈
B(f(x
0
), c) với mọi n suy ra f(x
n
) không dần tới f(x
0
). Điều này mâu thuẫn với
giả thiết của điều kiện đủ. Do đó, f liên tục tại điểm x
0
. 
2.1.2 Định nghĩa ([1]). Cho các không gian giả mêtric nón (X, d) và (Y, d). Ánh
xạ f : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ α < 1 sao cho
d(f(x), f(y)) ≤ αd(x, y) ∀x, y ∈ X.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian giả mêtric nón, điểm x
0
∈ X và
f : X → X.
Điểm x
0
được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x
0
) = x
0
.

(X, d). Khi đó, nếu tồn tại dãy con {x
n
k
} của {x
n
} sao cho x
n
k
→ x ∈ X thì
x
n
→ x.
20
Chứng minh. Từ giả thiết {x
n
} là dãy Cauchy và x
n
k
→ x ∈ X suy ra rằng với
mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
sao cho
d(x
n
, x
m
) 
c
2
với mọi n, m  n

nữa, điểm giả bất động x
0
của f là duy nhất theo nghĩa nếu y
0
cũng là điểm giả
bất động của f thì d(x
0
, y
0
) = 0.
Chứng minh. Lấy x ∈ X và đặt f(x) = x
1
, f(x
1
) = x
2
, . . . . Ta sẽ chứng minh
dãy {x
n
} hội tụ, muốn vậy ta chứng minh dãy {x
n
} là dãy Cauchy. Thật vậy, vì f
là ánh xạ co nên tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(x
n
, x
n+1
) = d(f(x
n−1
, f(x

n+1
) + d(x
n+1
, x
m
)
≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
m−1
, x
m
)
≤ α
n
d(x, x
1
) + α
n+1
d(x, x
1
) + + α
n+p−1
d(x, x

1
)  c với mọi n ≥ n
0
. Từ đó suy ra d(x
n
, x
n+p
)  c ∀n ≥
n
0
, ∀p = 0, 1 Do đó {x
n
} là dãy Cauchy. Do X đầy đủ nên x
n
→ x
0
∈ X.
Bây giờ, ta chứng minh x
0
là điểm giả bất động của f. Thật vậy, vì f là ánh
xạ co nên f liên tục. Do đó, từ x
n
→ x
0
ta có f(x
n
) → f(x
0
). Từ đó suy ra rằng
với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n

0
))  c với mọi c ∈ intP . Theo Bổ đề 1.2.7.viii) thì d(x
0
, f(x
0
)) = 0.
Như vậy x
0
là điểm giả bất động của f.
Cuối cùng, giả sử y
0
cũng là điểm giả bất động của f, nghĩa là d(y
0
, f(y
0
)) = 0.
Khi đó, ta có
d(x
0
, y
0
)  d(x
0
, fx
0
) + d(fx
0
, fy
0
) + d(f(y

n
0
y)  αd(g
n
0
−1
x, g
n
0
−1
y)   α
n
0
d(x, y) ∀x, y ∈ X.
Do α
n
0
∈ [0, 1) nên ta suy ra g
n
0
là ánh xạ co.
Vì g
n
0
là ánh xạ co nên g
n
0
có điểm giả bất động. Suy ra F ixg
n
0

n
0
d(ga, a).
Vì α
n
0
∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.2.7.ix) ta có d(ga, a) = 0. Như vậy a ∈ F ixg. Do
đó F ixg
n
0
⊂ F ixg.
Mặt khác, nếu b ∈ Fixg thì d(gb, b) = 0. Do đó
d(g
n
0
b, b)  d(g
n
0
b, g
n
0
+1
b) + d(g
n
0
+1
b, gb) + d(gb, b)
 α
n
0

với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n
c
, sao cho với mọi n ≥ n
c
và với mọi x ∈ X
ta có d(f
n
x, fx)  c.
2.1.10 Định lý. Giả sử X là không gian giả mêtric nón đầy đủ, F : X → X. Cho
F
n
: X → X là dãy các ánh xạ liên tục sao cho mỗi F
n
có điểm giả bất động là
x
n
, n = 1, 2, và {F
n
} hội tụ đều tới F trên X. Khi đó,
22