1
LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Nguyễn Văn Khải đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phòng sau đại học, Khoa Toán đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường THPT
Yên Lập, THPT Minh Hoà đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và
hoàn thành tốt luận văn tốt nghiệp.
Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên tôi trong suốt quá trình học tập
và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 10 năm 2009
Tác giả
3
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………… 1
Lời cam đoan………………………………………………………………

2
Mục lục…………………………………………………………………… 3
Mở đầu……………………………………………………………………. 5
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………

7
1.1. Không gian metric…………………………………………………….

7
1.2. Không gian Banach…………………………………………………

8
1.3. Không gian Hilbert……………………………………………

9

t nh
ấ
t trong không gian các hàm liên t
ụ
c
nh
ờ
h
ọ
phi tuy
ế
n………………………………………………………27
K
ế
t lu
ậ
n ch
ươ
ng 2………………………………………………… 29
Chu
ơ
ng 3: B
Ậ
C C
Ủ
A X
Ấ

ấ
p x
ỉ
trong không gian các hàm liên t
ụ
c……………

39
K
ế
t lu
ậ
n ch
ươ
ng 3………………………………………………………… 47
Ch
ươ
ng 4: M
Ộ
T VÀI
Ứ
NG D
Ụ
NG C
Ủ
A LÝ THUY
Ế
T X
Ấ
P X

a th
ứ
c b
ậ
c không…………………

48
4.2. X
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t b
ằ
ng
đ
a th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t…………………………… 48
n…………………………………………………

63
Tài li
ệ
u tham kh
ả
o…………………………………………………………

64
ớ
i quá trình phát tri
ể
n c
ủ
a toán h
ọ
c là lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ
hàm.
Đ
ây là l
ĩ
nh v
ự
c v
ừ
a
có ý ngh
ĩ
a khoa h
ọ
c có tính lý thuy
ế
t sâu s
ắ

ự
phát tri
ể
n c
ủ
a toán h
ọ
c lý
thuy
ế
t, v
ừ
a làm ti
ề
n
đề
cho các ngành c
ủ
a toán h
ọ
c
ứ
ng d
ụ
ng c
ũ
ng nh
ư
các ngành
khoa h

ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n,
X
y
∈
là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ
và A là không gian con
h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u c
ủ
a X. Hãy tìm
0

ọ
i là x
ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
y
trong A.
V
ấ
n
đề
này có nh
ữ
ng k
ế
t qu
ả

đặ
c tr
ư
ng trong nh
ữ

m (b
ậ
c c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ
).
Là m
ộ
t giáo viên ph
ổ
thông, trong quá trình h
ọ
c t
ậ
p tôi luôn có ý th
ứ
c tìm
ki
ế
m các
ứ
ng d
ụ
ng khác nhau c
ủ
a toán h
ọ

ớ
p các bài
toán s
ơ
c
ấ
p dành cho h
ọ
c sinh khá gi
ỏ
i.
Do v
ậ
y tôi
đ
ã quy
ế
t
đị
nh ch
ọ
n
đề
tài
‘‘ Một số vấn đề về lý

thuyết xấp xỉ tốt
nhất, bậc của xấp xỉ và ứng dụng trong toán sơ cấp’’

để

ấ
p x
ỉ
t
ố
t nh
ấ
t và nêu m
ộ
t s
ố

ứ
ng d
ụ
ng trong toán s
ơ
c
ấ
p.
6

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Lý thuy
ế
t x
ấ

ng h
ợ
p c
ụ
th
ể
trong không gian các hàm liên
t
ụ
c
[ , ]
a b
C
, trong không gian Hilbert.
M
ộ
t s
ố

ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a nó trong toán s
ơ
c
ấ
p.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

ỉ
trong nh
ữ
ng không gian
đ
ó.
5. Phương pháp nghiên cứu

Đọ
c và nghiên c
ứ
u tài li
ệ
u, t
ổ
ng h
ợ
p v
ậ
n d
ụ
ng.

6. Đóng góp của đề tài

Trình bày m
ộ
t cách có h
ệ
th

Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a lý thuy
ế
t x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t
để
gi
ả
i và sáng t
ạ
o m
ộ
t l
ớ
p bài
toán s
ơ


,
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t kho
ả
ng cách (hay metric) n
ế
u các tiên
đề
sau
đượ
c tho
ả
mãn:
1)
( , ) 0 , X
d x y x y
≥ ∀ ∈
đồ
ng th
ờ
i
( , ) 0 ;
d x y x y
= ⇔ =


metric.
Định nghĩa 1.1.2
. Cho không gian metric
M (X, )
d
=
. Dãy
đ
i
ể
m
( ) X
n
x
⊂
g
ọ
i
là dãy c
ơ
b
ả
n trong M n
ế
u

∀
0
ε
>

M (X, )
d
=
g
ọ
i là không gian
đủ
n
ế
u m
ọ
i
dãy c
ơ
b
ả
n trong không gian này h
ộ
i t
ụ
.
Ví dụ 1.1.1
. Ta kí hi
ệ
u
[a,b]
C
là t
ậ
p các hàm s

= −
| |
. (1.1.1)
D
ễ
th
ấ
y (1.1.1) tho
ả
mãn các tiên
đề
v
ề
metric. Có th
ể
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
[a,b]
C

là không gian metric
đủ
.
Ví dụ 1.1.2
. Ta kí hi
ệ
u

t:

( , ) ( ) ( )
b
a
d x y x t y t dt
= −
∫
| |
. (1.1.2)
D
ễ
th
ấ
y (1.1.2) tho
ả
mãn các tiên
đề
v
ề
metric. Khi
đ
ó có th
ể
ch
ứ
ng minh
r
ằ
ng

ớ
i m
ỗ
i ph
ầ
n t
ử

x
∈
X, ta có m
ộ
t s
ố
th
ự
c ký hi
ệ
u
x
 
tho
ả
mãn các tiên
đề
:

1)
0
x

α
∀ ∈ ∀ ∈

(thu
ầ
n nh
ấ
t d
ươ
ng);
3)
, X
x y x y x y
+ ≤ + ∀ ∈
     
(b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c tam giác);
Khi
đ
ó
x
 

đượ
c g


t
ớ
i
đ
i
ể
m
X
x
∈
n
ế
u
lim 0
n
n
x x
→∞
− =
 
. Ký hi
ệ
u

lim
n
n
x x
→∞

u

,
lim 0
n m
m n
x x
→∞
− =
 
.

Định nghĩa 1.2.4.
Không gian
đị
nh chu
ẩ
n X g
ọ
i là không gian Banach n
ế
u
m
ọ
i dãy c
ơ
b
ả
n trong X
đề


là không gian Banach .
9

Ví dụ 1.2.2.
Không gian tuy
ế
n tính
[a,b]
L

v
ớ
i chu
ẩ
n
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a

b
a

= ( )

.
V
ớ
i
( ) [ , ]
p
x x t L a b
= ∈
đặ
t
1
( ) .
b
p
p
a
x x t dt
 
=
 
 
∫
  | | Khi
đ
ó
.
 
là m
ộ
t chu

n:
1)
ψ
( , ) 0 X
x x x
≥ ∀ ∈
;
2)
ψ
( , ) 0 0
x x x
= ⇔ =
;
3)
ψ
( , )
ψ
( , ) , X
x y y x x y
= ∀ ∈
;
4)
1 2 1 2 1 2
ψ
( , )
ψ
( , )
ψ
( , ) , , X
x x y x y x y x x y

n t
ử

,
x y
và th
ườ
ng
đượ
c kí hi
ệ
u là
( , )
x y
.
Định lý 1.3.1 ( B
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c Schwarz).
Đố
i v
ớ
i m
ỗ
i
X
x

ẩ
n trên không gian X.
10
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuy
ế
n tính X trên

cùng v
ớ
i m
ộ
t tích vô
h
ướ
ng g
ọ
i là không gian ti
ề
n Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta g
ọ
i m
ộ
t t
ậ
p
H

c trang b
ị
tích vô h
ướ
ng ;
3) H là không gian Banach v
ớ
i chu
ẩ
n
( , ), H
x x x x
= ∈
 
.
T
ươ
ng t
ự
ta có th
ể

đị
nh ngh
ĩ
a cho không gian Hilbert ph
ứ
c.
Ví dụ 1.3.1. Không gian
k

tích
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
,
[ , ]
p
x L a b
∈ thì

2
( ) ( )
b
a
p t x t dt
< +∞
∫

trong
đ
ó
( )
p t
là hàm tr
ọ
ng (

trên
[ , ]
a b
và
( ) 0
p t
=
ch
ỉ
trên m
ộ
t t
ậ
p có
độ

đ
o 0).
Ta trang b
ị
trên
[ , ]
p
L a b
m
ộ
t tích vô h
ướ
ng b
ằ

ầ
n t
ử

, H
x y
∈
g
ọ
i là tr
ự
c
giao và ký hi
ệ
u
x y
⊥
n
ế
u
( , ) 0
x y
=
.
11
Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian Hilbert H và t
ậ

và ký hi
ệ
u
A
x
⊥
.
Định lý 1.3.2 (
đị
nh lý Pythagore). N
ế
u
, H
x y
∈
và
x y
⊥
thì

2 2 2
x y x y
+ = +
     
. (1.3.3)
Định nghĩa 1.3.6. M
ộ
t h
ệ


đ
ó
ij
δ
là ký hi
ệ
u Kronecker ( t
ứ
c
1
ij
δ
=
với
i j
=
và
0
ij
δ
=
với
i j
=
).
Như vậy một hệ trực chuẩn là một hệ trực giao ( các phần tử của nó trực giao
từng đôi một ) và chuẩn hoá:
1
i
e

( , )
x x e e
e
x x e e
−
=
−
 
,….,
1 1
1
1
1 1
1
( , )
( , )
k
k k i i
i
k
k
k k i i
i
x x e e
e
x x e e
+ +
=
+
+ +

c Bessel
)
. N
ế
u
{
}
1
n
n
e
≥
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n nào
đ
ó trong không gian Hilbert H thì v
ớ
i m
ọ
i
H
x
∈

{
}
1
n
n
e
≥
g
ọ
i là
đầ
y
đủ
trong không gian
Hilbert H khi ch
ỉ
duy nh
ấ
t véc t
ơ
không tr
ự
c giao v
ớ
i t
ấ
t c
ả
các ph
ầ

e
≥
là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H.
Các m
ệ
nh
đề
sau
đ
ây t
ươ
ng
đươ
ng:
1)
{
}
1
n
n
e
≥

=
∀ ∈ =
∑
 
| |
(ph
ươ
ng trình
đ
óng);
4)
1
( , H) ( , ) ( , )( , )
n n
n
x y x y x e e y
∞
=
∀ ∈ =
∑
(
đẳ
ng th
ứ
c Parseval);
5) H
ệ

{
}

ệ

{
}
1
n
n
e
≥
) trù m
ậ
t trong H.

Định lý 1.3.5.
N
ế
u
1 2
, , ,
e e là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H
và v
ớ

t kì.
Ch
ứ
ng minh.
2
1 1 1
( , ) ( , ) , ( , )
N N N
i i i i i i
i i i
y y e e y y e e y y e e
= = =
 
− = − −
 
 
∑ ∑ ∑
 1 1 , 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N N N
i i i i i j i j
i i i j
y y a e y a y e a a e e
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑


i i
y y y e a y e
= =
= − + −
∑ ∑
| | | |

13

2 2
1 1
( , ) ( , ) ( , )
N N
i i i
i i
y y y e y y e e
= =
≥ − = −
∑ ∑
 
| |
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
( , ) ( 1, 2, , )
i i
a y e i N
= =

1.4. Hàm giải tích
1.4.1. Chuỗi luỹ thừa

Chuỗi hàm có dạng
0
0
( ) , ,
n
n n
n
a x x x a
∞
=
− ∈ ∈
∑
 
gọi là chuỗi luỹ thừa tại
0
x
∈

.
Đặt
0
X
x x
= −
thì chuỗi hàm trên có dạng
0
X

là
1
R
lim
n
n
n
sup a
→+∞
=
| |
.

1.4.2. Chuỗi Taylor

Gi
ả
s
ử

:( , )
f a b
→

kh
ả
vi vô h
ạ
n t
ạ

a
( )
f x
t
ạ
i
0
x
.
N
ế
u
0 ( , )
a b
∈
và
0
0
x
=
thì chu
ỗ
i có d
ạ
ng

' ( )
0
(0) (0)
( )

ọ
i là gi
ả
i tích n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
0
( , )
x a b
∈
t
ồ
n t
ạ
i
0
δ
>
sao
cho
0 0
( , ) ( , )
x x a b
δ δ
− + ⊂
và

a b
thì kh
ả
vi vô h
ạ
n trên kho
ả
ng
đ
ó.
N
ế
u
0 ( , )
a b
∈
thì ta có
1
( )
(0) 1
lim | | lim
!
n
n
n
n
n n
f
sup sup a
n R

G
z
∈
,
( )
f z

đượ
c g
ọ
i là gi
ả
i tích ( ho
ặ
c ch
ỉ
nh hình ) t
ạ
i
0
z
n
ế
u

0 0 0
0
( ) ( ) : ( )
n
n

G
z
∈
.
Bán kính h
ộ
i t
ụ

1
( )
1 1
R
(0)
lim
lim
!
n
n
n
n
n
n
f
sup a
sup
n
→+∞
→+∞
= =

A X
⊂
là
không gian con h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u và
X
y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh. Tìm
0
A
x
∈
sao cho

0
A

t nh
ấ
t c
ủ
a y trong A.
Nhận xét
. Cho
1 2
X
, , ,
n
x x x
∈
là c
ơ
s
ở
trong
A
. T
ậ
p h
ợ
p các t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n

ậ
y bài toán x
ấ
p x
ỉ
tuy
ế
n tính có th
ể
di
ễ
n
đạ
t l
ạ
i nh
ư
sau:
Cho X là không gian tuy
ế
n tính
đị
nh chu
ẩ
n,
1 2
X
, , ,
n
x x x

t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
y
b
ở
i t
ổ
h
ợ
p tuy
ế
n
tính c
ủ
a
1 2
, , ,
n
x x x
là ph
ầ
n t
ử

1 1 2 2

ẩ
n,
A X
⊂
là không
gian con h
ữ
u h
ạ
n chi
ề
u và
X
y
∈
là ph
ầ
n t
ử
c
ố

đị
nh. Bài toán tìm
0
A
x
∈
sao cho
0

thì
0
x y x y y y
− ≥ − > = −
         
, do
đ
ó
x
không x
ấ
p x
ỉ

y
t
ố
t b
ằ
ng ph
ầ
n t
ử

0
∈Ω
. Nh
ư
v
ậ

u h
ạ
n chi
ề
u A nên
Ω
compact.
Xét hàm
( )
x y x
Φ = −
 
, ta có
16

' ' ' '
( ) ( ) , ,
x x y x y x x x x x
| Φ − Φ | = − − − ≤ − ∈Ω
     
| | .
T
ừ

đ
ây suy ra
Φ

c ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.1.1.
Cho X là không gian
đị
nh chu
ẩ
n
1 2
X
, , ,
n
x x x
∈
là
n
ph
ầ
n t
ử

độ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính và
X

f x C
∈
và
n
là s
ố
nguyên c
ố

đị
nh. Bài toán tìm

0
2
0 1 2
, ,
( ) ( )
n
n
n
a a a x b
min max f x a a x a x a x
≤ ≤
− + + + +
| |

có nghi
ệ
m.
Ch

ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.1.3
. Cho
( ) [ , ]
p
f x L a b
∈ và
n
là s
ố
nguyên c
ố

đị
nh (
1
p
≥
). Bài
toán tìm

0
2
0 1 2

n

1
| ( ) |
b
p
p
a
f f x dx
 
=
 
 
∫
 
.
Xét A là không gian con c
ủ
a
[ , ]
p
L a b
sinh b
ở
i h
ệ

{
}
2

ố
t nh
ấ
t c
ủ
a ph
ầ
n t
ử

f
ngh
ĩ
a là
17
0 1
2
0 1 2
, , ,
A
( ) ( ) | ( ) ( ) |
n
b
p n p p
n n
a a a
Q

. Cho
0 2
, , ,
k
x x x
là
1
k
+

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t (
k n
≥
). Bài toán xác
đị
nh

0
2
0 1 2
, , 0
( ) ( )
n
n
i i i n i

nh

0
2 2
0 1 2
, ,
0
( ( ) ( ))
n
k
n
i i i n i
a a
i
min f x a a x a x a x
=
− + + + +
∑

có nghi
ệ
m.
Hệ quả 2.1.6
. Cho các giá tr
ị

,
ij i
a y
v

xác định không gian các hàm liên tục và tuần
hoàn trên đoạn
[- , ]
π π
thoả mãn
( ) ( )
f f
π π
= −
thì có một đa thức lượng giác bậc
n
≤0 0
( ) cos sin
n n
n k k
k k
T x a kx b kx
= =
= +
∑ ∑

sao cho

( ) ( )
n
x
max f x T x

, ,
( ) ( )
n
n
n
a a a x b
min max f z a a z a z a z
≤ ≤
− + + + +
| |

có nghiệm.
2.2. Tính duy nhất của xấp xỉ tốt nhất

Theo định lý 2.1.1 xấp xỉ tốt nhất luôn tồn tại nhưng có thể không duy nhất.
Vậy với điều kiện nào thì bài toán tìm xấp xỉ tốt nhất có nghiệm duy nhất ? Sau
đây sẽ là một điều kiện đủ để bài toán xấp xỉ tốt nhất có nghiệm duy nhất.

Định nghĩa 2.2.1
. Không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là lồi thực
sự nếu

, 0, ( > 0)
x y x y x y y x
λ λ
∀ ≠ + = +
⇒
=
     
. (2.2.1)

x y x y x y x y x y
⇔ + + = + = + +
         2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 .
x x x y y x y y x y x y
⇔ + + + = + +
       2 2 2 2
2( , ) 2 .
x y x y x y x y
⇔ + + = + +
           ( , ) .
x y x y
⇔ =
   
. (2.2.2)
Theo bất đẳng thức Schwartz
, H
x y
∀ ∈
ta có


Theo giả thiết
, 0 0
x y
λ
≠
⇒
≠
vậy
( 0)
y x
λ λ
= >
. Điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.2.2
. Không gian
[ , ]
a b
C
không lồi thực sự.
Thật vậy, với
( ) 1
x t
≡
, ( )
t a
y t
b a
−
≡
−


A
( 1, 2 )
i
x
y y d inf y x i
∈
− = = − =
   
.
Nếu
0
d
=
thì
( 1, 2 )
i
y y i
≡ =
.
Nếu
> 0
d
ta có

1 2
1 2
1 1
2 2 2
y y

= >
 
 
.
T
ừ

đ
ây suy ra

1 1
d y y y y d
λ λ
= − = − =
   

v
ậ
y
1,
λ
=
do
đ
ó
20


− + + +
 
có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t.
2.3. Xấp xỉ đều tốt nhất trong không gian các hàm liên tục nhờ hệ đơn
thức
2
1, , , ,
n
x x xKý hi
ệ
u
n
P
là t
ậ
p h
ợ
p các
đ
a th
ứ
c có b
ậ

X , A
n
a b
C
= =
P
, chu
ẩ
n trong
[ , ]
a b
C
là chu
ẩ
n
Chebyshev

( )
b t a
x max x t
≤ ≤
=
 
| |
.
Do m
ỗ
i
đ
a th

0 1
( , , , )
n
n
c c c c
+
= ∈

nên
n
P
là không gian con
c
ủ
a
[ , ]
a b
C
và
dim 1
n
n
= +
P
. Theo
đị
nh lý 2.2.1 bài toán tìm
n
P
∈

n
Q
∈
P
. N
ế
u t
ồ
n
t
ạ
i
2
n
+

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
0 1 1

n
a x x x b
+
≤ < < < ≤
sao cho
( ) ( )

i n
E f min f x Q x
µ
= +
≥ = −
| |

Ch
ứ
ng minh. Tr
ườ
ng h
ợ
p
0
µ
=
:
( ) 0
n
E f
≥
.
21
Tr
ườ
ng h

u t
ố
t nh
ấ
t
c
ủ
a
f
trên
đ
o
ạ
n
[ , ]
a b
. Khi
đ
ó
( )
n
f P E f
µ
− = <
 
suy ra

( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
P x f x P f Q x f x

= +
).
Nh
ư
v
ậ
y
đ
a th
ứ
c
n
Q P
− ∈
P

đổ
i d
ấ
u
2
n
+
l
ầ
n nên có ít nh
ấ
t
1
n

c ch
ứ
ng minh.

Định lý 2.3.2
(
Đị
nh lý Chebyshev).
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để

đ
a th
ứ
c
n
P
∈
P
là
đ

ể
m luân phiên
Chebyshev sao cho:

( ) ( ) ( 1) ( 0,1, , 1)
i
i i
f x P x f P i n
α
− = − − = +
 
(2.3.1)
trong
đ
ó
1
α
= ±
.
Ch
ứ
ng minh.

Đ
i
ề
u ki
ệ
n
đủ

f x P x f P P
α
− = − − ∈
 
P
. Ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
P
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
f
trên

nh lý Valée-Poussin ta
có

( ) ( )
n n
f P E f f P E f
µ µ
− ≥ ≥
⇒
− =
   
= .
T
ừ
tính duy nh
ấ
t c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t suy ra
P

ề
u ki
ệ
n c
ầ
n: Gi
ả
s
ử

( )
n
Q x
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a

( ) ( ) ( 1)
i
i n i n
f y Q y f Q
α
− = − −
 
.
Đặ
t
n
L f Q
= −
 
, ký hi
ệ
u
{
}
1
[a,b]: ( ) ( )
n
y inf x f x Q x L
= ∈ − =
| |
. T
ừ

đị
nh

y

1 1
( ) ( )
n
f y Q y L
− =
| |để
xác
đị
nh, ta quy
ướ
c r
ằ
ng

1 1
( ) ( )
n
f y Q y L
− = +
.
Ký hi
ệ
u:
{
}

k n k
f y Q y L
+ +
− = −
. Ti
ế
p t
ụ
c quá trình này cho
đế
n khi
m
y b
=

ho
ặ
c
đế
n
m
y
tho
ả
mãn
đ
i
ề
u ki
ệ

< +
, vì
( ) ( )
n
f x Q x
−
liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n
[a,b]
nên v
ớ
i m
ỗ
i
(2 )
k k m
≤ ≤
có th
ể
l
ấ
y
1
k
Z

ạ
n
1
[Z , ]
i i
Z
−

( 1, 2, , )
i m
=
có
đ
i
ể
m
i
y

ở

đ
ó sao cho
1
( ) ( ) ( 1)
i
i n i
f y Q y L
−
− = −

Xét hàm s
ố
:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
n n
f x Q x f x Q x dv x
− = − − trên
đ
o
ạ
n
0 1
[Z , ]
Z
.
Trên
0 1
[Z , )
Z
thì
( ) 0
v x
>
do
đ
ó ( ) ( ) ( )
d
n
f x Q x L dv x L

23

Đồ
ng th
ờ
i ta l
ạ
i có
0 1
( ) ( ) [Z ,Z ]
d
n
f x Q x L x− > − ∀ ∈
. Nh
ư
v
ậ
y t
ồ
n t
ạ
i
1
d

d
ươ
ng
đủ
nh

1 2
[Z , ]
Z
, v
ớ
i
1 2
( , )
x Z Z
∈
ta có
( ) 0
v x
<
suy ra ( ) ( ) ( )
d
n
f x Q x L dv x L
− > − − > −
.
Ta l
ạ
i có
1 2
( ) ( ) [Z , ]
n
f x Q x L x Z
− < ∀ ∈
.
V

d
n n
f Z Q Z f Z Q Z L
− = − <
| | | |
.
Do v
ậ
y t
ồ
n t
ạ
i
2
d
d
ươ
ng
đủ
nh
ỏ

để

2
[0, ]
d d
∀ ∈
ta có
( ) ( )

đố
i v
ớ
i các
đ
o
ạ
n
1
[Z , ]
i i
Z
−
v
ớ
i
2 1 ( 0,1, 2 )
i k k
= + =
ta
đượ
c k
ế
t qu
ả

0
i
d
∃ <

−
v
ớ
i
2 ( 1, 2 )
i k k
= =
l
ậ
p lu
ậ
n t
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên
đ
o
ạ
n
1 2
[Z , ]
Z
ta
đượ
c
0
i

. Suy ra
0
( ) ( )
d
n
f x Q x L
− <
| |
trên
đ
o
ạ
n
1
[Z , ] ( 1, 2, , )
i i
Z i m
−
=
. Vì ( ), ( ) ( )
n n
d
n n
v x Q x Q x
∈
⇒
∈


và

− <
| |
trái v
ớ
i
gi
ả
thi
ế
t
( )
n
Q x
là x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t. Suy ra
2
m n
≥ +
.
Đị
nh lý

ố
t nh
ấ
t c
ủ
a hàm
[ , ]
a b
f C
∈
hay không ? Nó c
ũ
ng
đượ
c s
ử
d
ụ
ng
để

ch
ứ
ng
24
minh nhi
ề

đề
u t
ố
t nh
ấ
t c
ủ
a
[ , ]
a b
f C
∈
là duy nh
ấ
t.
Ch
ứ
ng minh. Gi
ả
s
ử

, Q
n
P
∈
P
là hai
đ
a th

P
c
ũ
ng là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t. Th
ậ
t v
ậ
y,

1 1
( ) ( )
2 2 2
n n
P Q
E f f f P f Q E f
+


( ) ( )
( ) ( ) ( 0,1, , 1)
2
i i
i n
P x Q x
f x E f i n
+
− = = +
| |

suy ra

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n i i i i i i i i
E f P x f x Q x f x P x f x Q x f x
= − + − ≤ − + −
| | | | | |2 ( )
n
P f Q f E f
≤ − + − =
   
.
Do
đ
ó

ây suy
ra
( ) ( ) ( 0,1, , 1)
i i
P x Q x i n
= = +
hay
P Q
≡
.
Đị
nh lý
đượ
c ch
ứ
ng minh.

Hệ quả 2.3.1
.
Đ
a th
ứ
c x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố

ả
s
ử

f
là hàm ch
ẵ
n. V
ớ
i m
ọ
i
[ 1,1]
x
∈ −
, ta có

( ) ( ) ( ).
n
f x P x f P E f
− ≤ − =
 
| |

Thay
x x
= −
, ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ 1,1].

. Do tính ch
ấ
t duy
nh
ấ
t c
ủ
a x
ấ
p x
ỉ

đề
u t
ố
t nh
ấ
t suy ra
( ) ( ) [ 1,1]
P x P x x
− = ∀ ∈ −
.
25

Định lý 2.3.4
. N
ế

( 1) ( 1)
2 1 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( 1) 2 ( 1)
n n
n n
n
n n
a x b a x b
b a b a
inf f x E f sup f x
n n
+ +
+ +
+ +
≤ ≤ ≤ ≤
− −
≤ ≤
+ +
| | | |
! !
. (2.3.2)
Ch
ứ
ng minh. G
ọ
i
P
là

a b b a k
x c k n
n
π
+ − −
= + = +
+

ta có
( ) ( ) ( 1, 2, , 1).
k k
f x P x k n
= = +

Theo công th
ứ
c
ướ
c l
ượ
ng sai s
ố
c
ủ
a phép n
ộ
i suy, ta có

1
( 1)

n
n
n
a x b
b a
E f f P sup f x
n
+
+
+
≤ ≤
−
≤ − ≤
+
  | |
!
.
Gi
ả
s
ử

Q
là
đ
a th
ứ
c x
ấ
p x

ầ
n nên
f Q
−
có ít nh
ấ
t
1
n
+
không
đ
i
ể
m
( 1, 2, , 1)
i
y i n
= +
sao cho
( ) ( ) ( 1, 2, , 1)
i i
f y Q y i n
= = +
.
Nh
ư
v
ậ
y

( )
( ) ( ) ( )
( 1)
n
n
f
f x Q x x
n
ξ
ω
+
+
− =
+ !

trong
đ
ó

1
1
1
( ) ( ), ( ) [ , ]
n
n i
i
x x y x a b
ω ξ ξ
+
+