SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 8 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,5 điểm)
1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử:
3 2 2 3
2 7 7 2P a a b ab b= + + +
.
2) Cho
2
1x x+ =
. Tính giá trị biểu thức
6 5 4 3 2
2 2 2 2 2 1Q x x x x x x= + + + + + +
.
Câu 2. (4,5 điểm)
1) Cho biểu thức:
2 2 3
1 1 4 4026
:
2 2 4
x x
R
x x x x x x x

vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và
2BC a=
.
a. Tính diện tích hình thang
ABCD
theo
a
.
b. Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D
xuống AC. Chứng minh
·
0
45HDI =
.
2) Cho tam giác
ABC
có
, ,BC a CA b AB c= = =
. Độ dài các đường phân giác
trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là
, ,
a b c
l l l
. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
a b c
l l l a b c
+ + > + +
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho hai số không âm

( )
( )
3 3
2 7P a b ab a b= + + +
0,5

( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 7
2 2 5
a b a ab b ab a b
a b a b ab
= + − + + +
= + + +
0.5

( )
( )
2 2
2 4 2a b a ab b ab= + + + +
0.5

( ) ( ) ( )
2 2 2a b a a b b b a= + + + + 
 

(2.5 điểm)
Ta có
( ) ( )
( )
2
1 1 4
.
2 2 4026
4
x x x
R
x x x x
x x
 
− +
 
= + −
− +
−
 
 
ĐK:
( )
2
4 0x x − ≠
0.5
0
2
x
x

=
−
0.5

( )
2
2
2 4
1 1
.
4026 4 2013
x
x
−
= =
−
0.5
Vậy
R
xác định khi
0
2
x
x
≠


≠ ±

và

x l
x tm
x l
=

⇔ =


= −


0.5
Nếu
2x
≥
, phương trình đã cho trở thành

( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 2 4x x x x− − + + =

( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 2 4x x x x⇔ − − + + = −

( ) ( )
2 2
1 4 4x x⇔ − − = −

4 2
5 8 0x x⇔ − + =


3n n− M
(1)
0.5
Vì
n
là số tự nhiên lẻ nên
1n
−
và
1n
+
là hai số tự nhiên chẵn liên
tiếp. Do đó
( ) ( )
( )
3
1 1 8 8n n n n− + ⇒ −M M
(2)
0.5
Vì
3
và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2)
suy ra
( )
3
24n n− M
(đpcm)
0.5
2
(2 điểm)

0.5
• TH1:
2 287 147
2 7 138
m n m
m n n
+ + = =
 
⇔
 
− − = =
 
• TH3:
2 49 45
2 41 2
m n m
m n n
+ + = =
 
⇔
 
− − = =
 
0.5
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0.5
Câu 4 (6 điểm)
1
(4 điểm)


ADH ACD=
(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông
góc)
0.5
+ Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có

1
2
AD IB
DC BD
= =
, do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng.
Suy ra
·
·
ACD BDI=
(2)
0.5
+ Từ (1) và (2), suy ra
·
·
ADH BDI=
0.5
+ Mà
·
·
·
·
0 0
45 45ADH BDH BDI BDH+ = ⇒ + =

AM AC b= =
+ Do AD//CM nên
AD BA c
CM BM b c
= =
+
0.5
+ Mà
1 1 1 1
2
2 2
a
c AD
CM AM AC b
b c b l b c
 
< + = ⇒ > ⇒ > +
 ÷
+
 
(1)
0.5
+ Tương tự ta có

1 1 1 1
2
b
l c a
 
> +

2 2 1
1 1 1 1
S
a b a b
 
= − + ≤ − ≤
 ÷
+ + + + +
 
0.25
+ Kết luận: GTLN của S là 1, đạt được khi
1a b
= =
. 0.25
Điểm toàn bài
(20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ,
hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần
theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.