SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
1) Rút gọn:
3 2 1 3 2 1
:
2 5 10 2 3 12
A
   
= − + − +
 ÷  ÷
   
.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2012 2013P x x= − + −
với
x
là số tự nhiên.
Câu 2. (5,0 điểm)
1) Tìm
x
biết
2 1

. Chứng minh hai tam
giác ABI và BEC bằng nhau và
BI CE
⊥
.
2) Phân giác của các góc
·
·
,ABC BDC
cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác của
góc
·
BDA
cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
1
.
2
BD MN=
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013
S = − + − + + − +
và
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
.

   
= − + − +
 ÷  ÷
   
0.5đ
12 11
:
10 12
=
0.5đ
6 12 72
.
5 11 55
= =
0.5đ
Vậy
72
55
A =
.
0.5
2
(2điểm)
2012 2013P x x= − + −
+ Nếu
2012x
=
hoặc
2013x
=

2.3.5 900
x
⇔ =
0.5 đ

2
30 30 2
x
x⇔ = ⇔ =
0.5
Vậy
2x =
là kết quả cần tìm.
0.5 đ
2
(2.5điểm)
+ Gọi số viên bi của An, Bình, Cường lần lượt là
, ,a b c
. Vì tổng số viên bi
của ba bạn là 74 nên
74a b c+ + =
0.5 đ
+ Vì số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6 nên
5 6 10 12
a b a b
= ⇒ =
0.5 đ
+ Vì số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5 nên
4 5 12 15
b c b c

2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = + + = + + ⇒ + M

0.5
+Với
3 1p k= −
suy ra
( )
( )
2
2 2 2
2012 3 1 2012 9 6 2013 2012 3p k k k p+ = − + = − + ⇒ + M

0.5
Vậy
2
2012p +
là hợp số.
0.5
2
(2điểm)
+ Vì
n
là số có hai chữ số nên
9 100 18 2 200n n
< < ⇒ < <
0.5đ
+ Mặt khác
2n
là số chính phương chẵn nên
2n

+ Xét hai tam giác AIB và BCE
Có AI=BC (gt)
BE=BA( gt)
0.5
+ Góc
¼
IAB
là góc ngoài của tam giác ABH nên
¼
¼
¼
¼
0
90IAB ABH AHB ABH= + = +
0.5
+ Ta có
·
·
· ·
0
90EBC EBA ABC ABC= + = +
. Do đó
·
·
IAB EBC=
.
+ Do đó
( )ABI BEC c g c= − −V V
0.5 đ
+ Do

= =
.
0.5 đ
+ Tam giác FDM cân tại F nên
·
·
FMD MDF=
.
·
·
·
( óc ngoài tam giác)FMD MBD BDM g= +

·
·
MBD CDM= +
0.5 đ
Suy ra
·
·
MBD CDF=
(1)
0.5 đ
Ta có
·
·
·
MCD CDF CFD= +
(2)
Do tam giác ABC cân tại A nên

S P−
.
(1 điểm)
+ Ta có:
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 
1 1 1
1
2 3 1006
 
− + + + +
 ÷
 
0.5 đ
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 