SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
(Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN 12 THPT - BẢNG B
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (3,0 điểm)
Cho hàm số
3x 4
y
3x 3
+
=
+
có đồ thị
(C).

Tìm các giá trị của tham số
m
để đường thẳng
d : y x m= +
cắt đồ thị
( )
C
tại hai điểm
phân biệt
A
và
B
sao cho tam giác
OAB
đều ( với

của điểm
A'
lên mặt phẳng
(ABC)
trùng với trọng tâm tam giác
ABC
. Biết khoảng
cách giữa hai đường thẳng
AA'
và
BC
bằng
a 3
4
. Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C'
.
2. Cho điểm
I
nằm trong tứ diện
ABCD
. Các đường thẳng
AI, BI, CI, DI
lần lượt
cắt các mặt phẳng
(BCD), (CDA), (DAB), (ABC)
tại
A', B', C', D'

của đường tròn
( )
T
) và điểm
A
có tung độ dương. Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu V: (2,5 điểm)
Cho các số thực dương
x, y, z
thỏa mãn
2
y xz≥
và
2
z xy≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
x y 3z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
.
- - Hết - -
Họ tên thí sinh:………………………………………………. Số báo danh:……………………
Đề thi chính thức
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN 12 THPT- BẢNG B

(đúng
m∀
)
0,5
Gọi
1 2
x , x
là các nghiệm của phương trình (1), ta có:
( )
1 2
1 2
x x m *
3m 4
x x
3
 + = −


−
=


Giả sử
( )
1 1
A x ; x m+
,
( )
2 2
B x ; x m+

2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x 2 x x x x 6x x 0⇔ + = − ⇔ + − =
0,5
2
m 2
m 6m 8 0
m 4
=

⇔ − + = ⇔

=

. Vậy giá trị cần tìm là
m 2, m 4= =
0,5
II.
1,
(3,0đ)
ĐKXĐ:
1 1
x
2 2
− ≤ ≤
. Đặt
( )
t 1 2x 1 2x *= − + +
0,5

Ta có hàm số
( )
f t
liên tục trên đoạn
2;2
 
 
.

( ) ( )
3
f ' t 4t 8t 16, f ' t 0 t 2= − − = ⇔ =
0,5
Suy ra
( )
2;2
Min f t 32
 
 
= −
,
( )
2;2
Maxf t 4 16 2
 
 
= − −
0,5
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
32 16m 4 16 2− ≤ ≤ − −


+ + + = −


− + − =


0,5
( ) ( )
x y 1 x 2y 0
x 1 2y 3 3
 + − + =

⇔

− + − =


x y 0
1 x 2y 0
x 1 2y 3 3
 + =



− + =
⇔





( )
2
2
2
4 x 7
x 4
x 5x 4 7 x
x 5x 4 7 x
≤ ≤
≥


 
⇔ ⇔
 
− + = −
− + = −




0,5
( )
4 x 7
x 5 TM
x 5
≤ ≤

⇔ ⇔ =

. Ta có
( )
BC AE
BC AA'E
BC A'G
⊥

⇒ ⊥

⊥

Gọi
D
là hình chiếu vuông góc của
E
lên đường thẳng
AA'
.
0,5
Do đó
BC DE, AA' DE⊥ ⊥
Suy ra
DE
là khoảng cách giữa hai đường thẳng
AA'
và
BC
0,5
Tam giác
ADE

= =
(đvtt). 0,5
III.
2,
(3,0đ)
Gọi
2 3 4
V , V , V
lần lượt là thể tích
của tứ diện
ICDA, IDAB, IABC
0,5
Ta có :
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 4
1 1 1 1
d A, BCD
AA' V IA V IA V V V V
1 1 1
IA' d I, BCD V IA' V IA' V V
+ +
= = ⇔ + = ⇔ = − =
0,5
Tương tự ta có :
( )
1 3 4

1 , 2 , 3
và
( )
4
ta có :
= + + + =
AI BI CI DI
VT
A'I B'I C'I D'I
2 3 4 3 4 1 1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
V V V V V V V V V
V V V
V V V V
+ + + + + +
+ +
= + + +
0,5
3 3 3
1 2 2 4 4 1 1 2 4
2 1 3 2 4 3 1 4 1 3 4 2
V V V
V V V V V V V V V
VT 12
V V V V V V V V V V V V
     
     
= + + + + + + + + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷

cắt đường tròn
( )
T
tại
A
và
A'
có tọa độ là nghiệm của hệ
2 2
x y 4x 2y 0
x y 0

+ − − =

− =

x 0
y 0
=

⇔

=

hoặc
x 3
y 3
=



S 3S d A, BC .BC 3. d I, BC .BC d A, BC 3.d I, BC
2 2
= ⇔ = ⇔ =
0,5
4
m 3
m 9 m 5
3. m 9 3. m 5
m 6
5 5
= −
+ +

= ⇔ + = + ⇔

= −

0,5
. Với
m 3= −
khi đó
BC: 2x y 3 0+ − =
Tọa độ các điểm
B, C
là:
6 21 3 2 21 6 21 3 2 21
; , ;
5 5 5 5
   
− + + −

và
2x y 6 0+ − =
.
0,5
V.
(2,5đ)
Ta có:
1 1 3
P
y z x
1 1 1
x y z
= + +
+ + +
, đặt
y z x
a ;b ;c
x y z
= = =
kết hợp với giả thiết ta
suy ra
a b c 0 0 c 1
abc 1 ab 1
≥ ≥ > < ≤
 
⇒
 
= ≥
 
. Khi đó

c 1
c 1 c 1 c 1 c 1
+
≥ + ≥ + =
+
+ + + +
vì
0 c 1 c c< ≤ ⇒ ≤
0,5
Đặt
t c 0 t 1= ⇒ < ≤
Xét hàm số
( )
2t 3
f t
t 1
+
=
+
với
0 t 1< ≤
. Ta có hàm số
( )
f t
liên tục trên
(
]
0;1
,
( )

.
0,5
- - Hết - -
Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
5