KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
a. Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì số
n
3
2 1
+
chia hết cho 3
n+1

nhưng không chia hết cho 3
n+2
.
b. Tìm tất cả các số nguyên x, y biết x > y > 0 thỏa mãn x³ + 7y = y³ +
7x
Câu 2: Giải phương trình
x 3 2 x 4 x 4 x 4 a− − − + − − =
(a là tham số).
Câu 3: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R kẻ hai tiếp
tuyến PA, PB với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là chân đường vuông góc
hạ từ điểm A đến đường kính BC. Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung
điểm của AH; Tính AH theo R và PO = d.
Câu 4: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P = ab + c(b – c + 1).
Câu 5:
a. Giải phương trình:
3
2
3

Câu 8: Cho tam giác IDC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường thẳng
AB tiếp xúc với (O) tại M và song song với CD (A thuộc ID, B thuộc
IC). Kẻ đường kính MN của đường tròn (O). Gọi giao điểm của IN với
AB là M’. Chứng minh rằng: AM’.CN = BM’.DN; AM’ = BM.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức:
3
3( ab b) ( a b) 2a a b b
A
a b
a a b b
− − + +
= +
−
+
với a > 0, b > 0
và a ≠ b.
2. Tính giá trị của biểu thức:
2
(x 3) 3
y
x x 1
−
=
− +
với
x 2 3= +

BP CN
−
không đổi khi M và d thay đổi.
Câu 5: Chứng minh rằng với mọi x, y khác nhau và khác 0 thì:
2 2 2 2
2
x y (x y) y
x
( ) 1
xy x y x y
−
+ − =
−
.