KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n thì n
4
+ 6n³ + 11n² + 30n – 24 chia hết
cho 24.
Bài 2: Xác định a và b để A = x
4
– 2x³ + 3x² + ax + b là bình phương của
một số thực.
Bài 3: CMR với mọi số thực a, b, c, d ta có (ab + cd)² ≤ (a² + c²)(b² + d²)
với a ≥ c; b ≥ c; c > 0. CMR:
( ) ( )
c a c c b c ab
− + − ≤
Bài 4: Rút gọn
B 4 10 2 5 4 10 2 5
= + + + − +
Tìm x để biểu thức
C x x 2012= − −
có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất
đó.
Bài 5: Cho tam giác ABC (AB < AC), M là điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥
AM, CK ⊥ AM. Xác định vị trí của M để tổng BI + CK lớn nhất.
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Đường thẳng qua C cắt các cạnh
AB và AD kéo dài tại F và E.
a. CMR: Tích DE.BF không đổi.
b. CMR:
2
2

2
=
và
AMP
2
S k
S (k 1)
=
+
b. Tìm k để S
MNP
nhỏ nhất
Câu 5: Cho tam giác vuông cân ABC ở A, AD là trung tuyến thuộc cạnh
huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N
xuống đường thẳng PD.
a. Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b. Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một
điểm cố định.