SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN LÊ KHIẾT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2013-2014
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: 27-6-2013
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5 điểm)
1. Rút gọn biểu thức
2 2
2
1
1 1
x x x x
x
x x x x
− +
+ + +
+ + − +
với x ≠ 0.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng (m−1)x + (2m+1)y = 4m + 5
luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5 điểm)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới
được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2 2
3 1x xy y x y
+ + = + −
Bài 3: (2,5 điểm)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình
( )
2
2 1 0x m x m

3 6 8 1 3x x
− = − −
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) nội tiếp(O;R). Tiếp tuyến tại A của(O) cắt
đường thẳng BC tại M. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng BC=2R.sin
·
BAC
2. Điểm N chuyển động trên BC ( N khác B và C). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của N
lên AB, ẠC Xác định vị trí của N để độ dài EF ngắn nhất.
3. Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Tính MA theo a, b, c.
4. Các tiếp tuyến tại B và C của(O) cắt đường thẳng MA lần lượt tại P và Q. Chứng minh
rằng HA là tia phân giác của góc
·
PHQ
Bài 5:(1 điểm)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm
trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá
3
.
3
HẾT
Trang 1
Bài 1:
1)
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2 2

0
0 0
0 0
0
16
2 4 0
3
5 0 1
3
x
x y
x y
y

=

+ − =


⇒
 
− − =


=


Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định có tọa độ là
16 1
;

2
=> x
2
- y
2
= 1111 => (x-y)(x+y)=101.11=1111.1
Trang 2
101 56
11 45
x y x
x y y
+ = =
 
⇒
 
− = =
 
(nhận)
1111 556
1 555
x y x
x y y
+ = =
 
⇒
 
− = =
 
(loại)
Vậy số chính phương cần tìm là x

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: (1;-1),(3;-1),(1;1)
Bài 3:
1. Tìm các giá trị của m để phương trình
( )
2
2 1 0x m x m
+ + − + =
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thỏa mãn hệ
thức
1 2
1 1 3
10x x
− =
∆ = (m+2)
2
- 4(-m+1) = m
2
+ 8m. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m<-8; m>0 (1)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2

 
 
+ + −
⇒ = ⇒ + − = ⇒ = =
−
(1),(2)suy ra m = 1/91 hoặc m = 9.
2. Giải hệ phương trình
( )
( )
1 2
1 2
x x y
y y x

+ =


+ =



( ) ( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3 0 3 0x x y y y x x x y y x y x y x xy y
⇒ + − + = − ⇒ − + − = ⇒ − + + + =
Vì x≥0;y≥0 nên x = y
Thay vào một trong hai phương trình tìm được hai nghiệm cuay hệ là (0;0),(1;1)
3. Giải phương trình
( )
(

9 8 10
' 16 90 74 0
x x
+ +
∆ = − = − <
2
1 2
8 10 0
' 16 10 6
4 6; 4 6
x x
x x
− + =
∆ = − =
⇒ = + = −
1)
BC=2R.sin
·
BAC
Tia Bo cắt (O) tại G =>
·
·
BGC BAC
=
Mà BC = BG.sin
·
BGC
=2R. sin
·
BAC


=
·
2. .sin
2
AN
BAC
= AN sin
·
BAC
Mà BAC không đổi nên EF nhỏ nhất khi AN nhỏ nhất => N trùng H
3)

Tính MA theo a, b, c.
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
1
.
2
( . )
1
.
2

. ( ) .


 
= = ⇒ =
÷
 ÷
− − − −
 

4) Kẻ PJ và QK vuông góc với đường thẳng BC.
Trang 4
I
O'
F
E
G
H
M
O
A
B
C
N
Ta có
( . ) ,(PA=PB,QA=QC)
PJ//AH//QK

( . . )
PJ PB PA
PBJ QCK g g
QK QC QA

điểm.
Xét tam giác đều này,Gọi G là trọng tâm của tam giác, Từ G vẽ các đoạn thẳng vuông góc đến các
cạnh, tạo thành 3 tứ giác bằng nhau(hình 2)
Đặt ngẫu nhiên 4 điểm vào tam giác này theo nguyên lí dirichlet sẽ có một
tứ giác chứa ít nhất 2 điểm. Mà tứ giác này nội tiếp trong đường tròn đường kính
GA nên khoảng cách của chúng d≤ GA
Trang 5
15
13
11
9
7
5
3
1
O
G
H
I
K
C
A
B
3 2 2 3 3
. .
2 3 3 2 3
AB AB
AH GA AH
= ⇒ = = =
K