SỞ GIÁO DỤC - ðÀO TẠO ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 THPT
Khóa ngày 05-01-2012
ðỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)

Qui ñịnh chung:
1. ðề thi gồm 10 bài toán, mỗi bài 5 ñiểm
2. Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính
3. Thí sinh chỉ ghi quy trình bấm phím nếu ñề bài có yêu cầu, khi ñó cần phải ghi rõ loại máy sử dụng
4. Các kết quả tính gần ñúng ñược lấy ñến 4 chữ số thập phân

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
4 3 2
3
2011
3 1
17
2
2012
y x x x x= − − + −
trên ñoạn
3; 2
 
−
 
 

Bài 2. Cho
(
)
( )

Bài 3. Tìm các nghiệm của phương trình
3 7sin
x
x x
= +
trên
(
)
0;
+∞

Bài 4. Giải hệ phương trình:
3
1 1
(1)
2 5 (2)
x y
x y
y x

− = −



= +


Bài 5. Một hộp ñựng 4 viên bi màu ñỏ và 18 viên bi màu xanh (các viên bi giống nhau về kích thước và
khối lượng). Cần phải bốc một lần ngẫu nhiên ít nhất bao nhiêu viên bi ñể xác suất có ít nhất một
viên bi màu ñỏ lớn hơn 0,9765

có các mặt bên nghiêng ñều trên ñáy một góc bằng
0
75 23'45''
α
=
. Tính
thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của hình chóp biết
5,6789; 6,7891; 7,8912
AB BC CA
= = =

Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA=a vuông góc với mặt phẳng ñáy, ABCD là hình thang vuông tại A và
B,
, 2
AB BC a AD a
= = =
; E là trung ñiểm cạnh AD. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
S.CDE biết rằng
3
a
=

Bài 10. Cho 2 dãy số
(
)
(
)
;
n n
u v

;
u v
n n
S S
lần lượt là tổng của n số hạng ñầu tiên của dãy
(
)
(
)
;
n n
u v
.
Tính:
= −
16 16
2
u v
M S S
và
= −
2012 2012
u v
N S S_ Hết _
1/4

HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ THI CHÍNH THỨC


1
(
)
{
}
' 0 0,1824; 0,9603
f x x
= ⇔ ∈ −
(ñã loại giá trị 1,4275
D
∉
)
1
Ta có:
(
)
3 3,0579
f
− ≈
,
(
)
0,9603 2,7104
f
− ≈ −
,

(
)

∈
(Dấu bằng xẩy ra)
( ) 3,1741
x D
Max f x
∈
≈

( ) 0
x D
Min f x
∈
=

2
Sử dụng lệnh Shift Solve ñể giải phương trình và lưu vào biến nhớ,
sau ñó tính ñược ba giá trị:

2
(
)
≈
1
14955,0177
f x

(
)
≈
2

y y y
ñều là các hàm số liên tục trong khoảng
(
)
0;
+∞

1
Xét
(
)
0;
x
π
∈
ta có
sin 0
x
>
và
2
3 ln 3 0
x
>
(
)
" 0 0;
y x
π
⇒ > ∀ ∈

,
0
y
=
có nhiều nhất một nghiệm trên
(
)
0;
+∞

Do ñó phương trình
0
y
=
(tức phương trình ñang xét) có nhiều nhất hai nghiệm.
2
3
Sử dụng máy tìm ñược nghiệm:
0,1474; 1,9439
x x
≈ ≈

2
ðk:
0
xy
≠
.
Ta có:
1

 
⇔ ⇔ = ≈ −
 
= + − + =
 
3 3
2,0946
2 5 2 5 0
x y x y
x y
y x x x

2,0946
x y
= ≈ −

1
2/4
TH2:
3
1
2 5
xy
y x
= −

⇔

= +

3
3
'( ) 0 4 5 0 5/ 4
f x x x= ⇔ + = ⇔ = −
Vì
=
'( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất nên phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm.
1

4
Sử dụng máy tính ta tìm ñược hai nghiệm gần ñúng là:
≈


≈

-1.5478
0,6461
x
y
;
≈


≈


.
Bây giờ ta tìm trong tập
{
}
1,2, ,18
xem còn giá trị
k
nào nữa
không. Ta có:
(
)
22
k
n C
Ω =
;
(
)
18
k
n A C
= ;
( )
18
22
k
k
C
p A
C


2
5
Vậy:
13
k
=

1
Gọi
r
là bán kính lõi gỗ,
d
là ñộ dày của vải,
k
l
là chiều dài của vải ở vòng thứ
1, ,
k n
=
.
Ta có:
1
2
l r
π
=
;
(
)

[
]
π
= + + + + −
2 . (1 2 3 1)
n r n d(
)
[ ]
π π
−
 
= + = + −
 
 
1
2 . 2 ( 1)
2
n n
n r d n r n d

2
6
Thay
357; 0,05678; 0,0005234
n r d
= = =
(ñơn vị là mét) ta có :

1
3/4
Tam giác
IAB
vuông tại I, có
IAB
α
∠ =
nên
90
ABI
α
∠ = −
o

Với
2
x
≠ −
, ta có:
( )
2
7
0 2
2
f '( x ) , x
x
= > ∀ ≠ −
+
. Chứng tỏ

0
0
0
1 0400
2 7
2 9600
x ,
x .tan
x ,
α
≈ −

⇔ = − ± ⇔

≈ −
1
Với
(
)
0 0
1 0400 5 2918
x , y ,
≈ − ⇒ ≈ −
, có phương trình tiếp tuyến
(
)
0 0

r
là bán kính
ñường tròn nội tiếp ñáy. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của ñỉnh
S

trên mặt ñáy, dễ dàng chứng minh ñược
H
là tâm ñường tròn nội
tiếp ñáy.

Ta có:
( )( )( )
ABC
S p p a p b p c
∆
= − − −
;
ABC
S
r
p
∆
= ;
.tan
SH r
α
=



2
2a
a
a
a
x
Q
I
M
H
N
P
C
E
A
D
B
S

* Xác ñịnh tâm mặt cầu.
Gọi M là trung ñiểm CD thì M là tâm ∆CED.
Kẻ Mx//SA thì Mx là trục của ñáy CED. (1)
1



⊥


nên trong
1
4/4
(
)
,
Mx HP
, kẻ HI//MP thì HI là trục của ∆SED. (2)
Từ (1) và (2), suy ra
IS IC ID IE R
= = = =
.
Vậy, tâm của mặt cầu ngoại tiếp S.CDE hoàn toàn ñược xác ñịnh.
* Tính bán kính R.
QNH QPD
∆ ∆
 nên
. 5 5 5
. :
4 4 4 4
QH QD QD QN a a a a
QH
QN QP QP
= ⇒ = = =
.



 

 
.
2
9
3
4
99,2589
3
V R
π
= ≈

99,2589
≈

1
Ta có:
[
]
+ + + +

2
4 3
n
n n
v v v
+
+
= −

Suy ra:
1 2 3 4 5
2; 8; 26; 80; 242
v v v v v= = = = =

1
Bằng quy nạp, chứng minh ñược:
1 3
n
n
u
= +
và
= − +
1 3
n
n
v

1
Dễ thấy: