HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN TOÁN
VÙNG DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ KHỐI 10-NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Thời gian làm bài 180 phút
TP ĐÀ NẴNG (Đề có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
( )
( )
2
3
3
7 2 3 2 11 5 0
,
2 8 4
x x y y
x y
y y x x
ì
ï
- - + - - =
ï
ï
Î
í
ï
- + + =
ï
ï
î
¡

EF
đi qua trung điểm đoạn
KL
.
Câu 3. (4,0 điểm) Cho
( )
3p p >
là số nguyên tố và
,m n
là các số nguyên thỏa mãn
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 3
3 3 3 3 3
.
1.2 2.3 3.4 1 2 2 1
k p
p p p p p
C C C C C
m
k k p p n
-
- - - - -
+ + + + + + =
+ + - -
Chứng minh
2m n-
chia hết cho
.p
(Với các số nguyên
0x y³ ³

mỗi học sinh nam đều đến chơi nhà mỗi học sinh nữ đúng 1 lần. Chứng minh rằng trong
1 tháng nào đó có 2 học sinh nam cùng đến chơi nhà 2 học sinh nữ.
HẾT
ĐÁP ÁN +BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
Câu Ý Nội dung Điểm
1
Điều kiện
3; 5.x y£ £
Phương trình ban đầu biến đổi thành
( )
( )
( )
( )
( )
2 3 1 3 2 5 1 5 *x x y y- + - = - + -
Đặt
( ) ( )
2 1f t t t= +
với
0t ³
thì
( ) ( ) ( )
* : 3 5f x f y- = -
(1)
Nhận xét. Với mỗi số không âm
1 2
0 t t£ ¹
thì
( ) ( )
( )

( ) ( )
( )
2
2 2
3
2
2 2
3
2 2 4 4
2 4 2 2 2 2 4 0
x x x x x
x x x x x x
+ + - + =
- + - + + + - + =Û
Đặt
3
2
2
2 4
x
t
x x
+
=
- +
phương trình trên thành
{ }
3 2 2
2 1 0 1 2 2 4 1;2t t t x x x x- - = = + = - +Û Þ ÞÎ
Vậy hệ có nghiệm

FH AH B HE AH C
HE C
= = =Þ
1,0
cos
cos , cos
cos
BF B
EC BC C BF BC B
EC C
= = =Þ
Vì
·
·
ECL ABK=
nên hai tam giác
BFK
và
CEL
đồng dạng nên
( )
cos
2
cos
FK BF B
EL EC C
= =

1,5
Từ

=
=
+ +
å
Với mọi
0 3k p-£ £
ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 3 !
2. ! 2 2 1 3
3 !
1 2 1 ! mod .
k
p
k
p
k C p k p k p
p k
k k k p
-
-
= = - - - - -
- -
- + +º
1,5
Do đó

C
pa
k p
k k k k
-
-
= + - + +
= + - = -Þ
+ + + +
( ) ( )
3
0
2
2 1 1
1 2
p
k
p
k
m a pA
A p
n k k B
-
=
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= = + = +ị
ỗ

2 2
3 3
2
3
10 2
2 10 2
2 5 0
a a b a c
abc a b
b c
a a bc
a a abc a b
b c
a a b a c
a abc a b
b c
+ +
+ +
+
ộ ự
+
ờ ỳ
- + + +
ờ ỳ
+
ờ ỳ
ở ỷ
- -
+ + - +
+

- -
+ + - +
+
- -
+ - -
+
+ +
- -
+
ồ ồ
ồ ồ
ồ
1,5
Theo bt ng thc Schur thỡ bt ng thc cui ỳng nờn bt ng
thc ban u c chng minh.
1,0
5 Kớ hiu 7 hc sinh nam : B
1
, B
2
,, B
7
; 13 hc sinh n G
1
,G
2
,,G
13

Xột cỏc b gm (2 nam-1 n) m 2 bn nam ú cựng n chi nh

7 7 14
6 2 3
n n n
T C C C n n n n n n
n n n n n n
T
= + + = + + - + +
+ + - + +³
- =Þ ³
Vậy có không dưới 5 bộ ứng với bạn nữ đó.
Xét bảng
G
1
G
2
G
3
… G
13
B
1
-B
2
X
B
1
-B
3
X
…