HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG
TỈNH PHÚ THỌ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
Đề thi gồm có 01 trang, 5 câu
Câu 1 (4,0 điểm)
Giải phương trình
5 33 5
2 2x x x x+ = −
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
nhọn có trực tâm
H
và tâm đường tròn ngoại tiếp
O
.
Trung trực của đoạn
AH
cắt các cạnh
,CA AB
lần lượt tại
;M N
. Chứng minh
rằng
A
là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác

2
8 ; ;
3
max a b b c c a
a b c abc
a b c
+ + + ≥
+ +
Câu 5 (4,0 điểm)
Xác định tất cả các tập con
, ,A B C
khác rỗng của tập các số nguyên
dương
*
ℵ
thoả mãn các điều kiện sau
1)
A B B C C A∩ = ∩ = ∩ = ∅
;
2)
*
ℵ=∪∪ CBA
;
3) Với mọi
,a A b B∈ ∈
và
c C∈
, ta có
,c a A c b B+ ∈ + ∈
và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
5 2
5
2 2
3
4 2
2 4 2 2 2 2 2 2 2 1 (*)
y y
y y y y y y y y
y
 
− +
   
= − − + = − − − ⇔ − − − = 
 ÷
 
   
 
Dễ thấy
( )
2
4 2 2
4
t t
f t t
t t
− +
= = + −

;M N
. Chứng minh rằng
A
là tâm
đường tròn bàng tiếp của tam giác
OMN
.
Ta có
(1)ANH AOC ANO AHC AON ACH∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠: :
Tương tự có
(2)AMH AOB AMO AHB AOM ABH∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ ⇒ ∠ = ∠: :
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
AON AOM∠ = ∠
, hay
OA
là phân giác của góc
MON∠
.
Lại có
0
180BNO BAO NOA CAH ACH AHC ABC ANM NA∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = − ∠ = ∠ = ∠ ⇒
là
phân giác ngoài của tam giác
ONM

thì
( )
4 ! 1 (1)k p+ M
.
Mặt khác
( )
2 2 1 modk i k i p+ ≡ − + −
với
1,2, ,2i k=
. Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 2 4 2 ! modk k k k p+ + ≡
Suy ra
( ) ( ) ( )
2
4 ! 2 ! mod (2)k k p≡  
 
Từ
( )
1
và
( )
2
ta có
( )
2
2 ! 1k p+ 
 
M
. Gọi

max a b b c c a
a b c abc
a b c
+ + + ≥
+ +
Do tính đối xứng của bất đẳng thức nên không mất tổng quát giả sử
0a b c≥ ≥ ≥
.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
( )
3 3 3 3 3
3 2 1a b c abc a b ab ab+ + + ≥ + ≥
Và
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 4 2a b c a b c ab bc ca ab ab+ + = + + + + + ≥ + ≥
Từ
( )
1
và
( )
2
suy ra
( )
( )
{ }
2
3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2
3 8 8 ; ;a b c abc a b c a b max a b b c c a+ + + + + ≥ ≥

và các hoán vị.■
Câu 5 (4,0) Xác định tất cả các tập con
, ,A B C
khác rỗng của tập các số nguyên dương
*
ℵ

thoả mãn các điều kiện sau :
1)
A B B C C A
∩ = ∩ = ∩ = ∅
;
2)
*
ℵ=∪∪ CBA
;
3) Với mọi
,a A b B∈ ∈
và
c C
∈
, ta có
,c a A c b B+ ∈ + ∈
và
a b C
+ ∈
.
Giả sử phần tử nhỏ nhất của
C
là

,a A b B∈ ∈
suy ra
1 , 1a A b B a b A B+ ∈ + ∈ ⇒ + ∈ ∩
, mâu thuẫn với
( )
1
.
Giả sử
2x
=
. Ta có thể giả sử
1 A∈
. Thì do
( )
3
, tất cả các số nguyên dương lẻ nằm trong
A
. Với
b B
∈
, ta có
1 b C
+ ∈
. Do đó
b
lẻ, dẫn tới
b A B
∈ ∩
, mâu thuẫn với
( )

. Ta chỉ ra
1
và
2
không thể cùng nằm trong
A
(hay cả hai cùng nằm trong
B
).
3
• Nếu
1,2 A∈
, thì
( )
3
suy ra
*
,23,13 ℵ∈∀∈++ kAkk
. Lấy
b B
∈
, ta có
1 b C
+ ∈
, điều
này suy ra
3 2b k A
= + ∈
. Do đó
b A B