HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI: 10
NĂM 2015
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này gồm có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình sau
( )
3 2 2 2
3 2 2
3 3 2 1 0
, .
2 3 3 0
x y x x y x y
x y
y xy y x

+ + + + − + =

∈

+ + − − =


¡

Câu 2 (4 điểm). Gọi
I
và

+ + +
=
.
Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác đều có 2015 cạnh. Mỗi đỉnh của nó được tô bằng một trong
các màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng luôn có ba đỉnh là các đỉnh của một tam giác
cân mà chúng được tô cùng một màu.
Giáo viên ra đề
Lại Thị Quỳnh Nguyên
(DĐ: 0915.38.20.47)
ĐÁP ÁN + BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN KHỐI 10
Câu Nội dung chính cần đạt Điểm
Câu 1
Giải hệ phương trình
( )
3 2 2 2
3 2 2
3 3 2 1 0
, .
2 3 3 0
x y x x y x y
x y
y xy y x

+ + + + − + =

∈

+ + − − =



uy y u

+ =


+ =



Dễ thấy
0u y= =
là một nghiệm của hệ
( )
*
.
Xét
0u ≠
, đặt
, 0y tu t= ≠
, ta có hệ phương trình
3 2 3
3 3 3
2
2 3
u t u tu
tu t u u

+ =



+
= ⇔ = ±


Với
1t =
, ta có
y u=
, thế vào
( )
1
ta được
3
1 1 0
2 2
1 1 2
y u x
y y
y u x
= ⇒ = ⇒ =

= ⇔

= − ⇒ = − ⇒ = −

Với
1t = −
, ta có
y u= −
, thế vào

BCD CBD BAD= =
.
+ Ta có
·
·
·
·
·
·
BID IAB ABI CBD CBI IBD= + = + =
hay tam giác
DBI
cân tại
đỉnh
D
nên
BD CD ID= =
.
1,0
1,0
D
O
I
A
B
C
+ Ap dung inh li Ptoleme cho t giac nụi tiờp
ABDC
co
( ) ( )

2 5
x y
k k+ = Ơ
.
Nu
0x =
thỡ
2
1 5
y
k+ =

k
l s chn.

2
4k M
, nhng
( )
1 5 2 mod4
y
+
. Do ú
0x
.
T
2
2 5
x y
k+ =

1 mod5k
.
T
2
2 5
x y
k+ =
suy ra
( )
2 1 mod5
x


x
chn.
t
2x n=
, ta cú
( ) ( )
5 2 2
y n n
k k= +

2 5
2 5
n a
n b
k
k


n t+
= M
(vụ lý)
- Do ú ta cú
y
l. Khi ú
( )
1 1 2
2 5 1 4 5 5 5 1
n y y y+
= = + + + +

Nu
1y >
thỡ
1 2
5 5 5 1
y y
+ + + +
l s l (vụ lý)
Vy
1 1, 2, 1y n x y= = = =

Th li cú
2 1
2 5 9+ =
l s chớnh phng.
Cõu 4
Ta cú:
1 1 1 1 1 1 1

- -
+ - - =
1,0
Suy ra:
1 1 730
27
27 27
abc
abc
+ + =³
Mặt khác ta lại có:
( )
1 1 1 1 1 1
9 9a b c
a b c a b c
æ ö
÷
ç
÷
+ + + + + +³Þ ³
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Từ đó suy ra:
2
730 10
9 1

.
1,0
1,0
1,0
Câu 5
Vì đa giác có số lẻ đỉnh nên tồn tại hai đỉnh kề nhau được sơn cùng màu.
Ta gọi hai đỉnh đó là
A
và
B
và giả sử
,A B
có cùng màu đỏ.
Do đa giác đã cho có số lẻ cạnh nên tồn tại đỉnh
M
nằm trên trung trực của
đoạn
AB
. Rõ ràng,
MAB
là tam giác cân.
Có hai khả năng xảy ra:
-
M
màu đỏ: Khi đó,
MAB
là tam giác cân đỏ (có ba đỉnh màu đỏ) và
bài toán đã được giải.
-
M

MEF
là tam giác cân xanh.
Bài toán được giải.
2. Một trong hai đỉnh
,E F
màu đỏ: Giả sử
E
đỏ, khi đó
EAB
là
tam giác cân đỏ.
Như thế luôn tồn tại ba đỉnh của đa giác đều đã cho lập nên một tam giác
cân cùng màu.
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0