HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN VÙNG DUYÊN HẢI VÀ
ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH,
TỈNH YÊN BÁI
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM 2015
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
3 3
2
4 3 2
3 2 4 1
 − + − = −


− + + = + − −


x y x y xy x y
y x x y xy x
Câu 2 (4 điểm) Xét một tam giác không vuông ABC. Ba đường thẳng l
A
, l
B
, l
C
lần
lượt dựng qua các đỉnh A, B, C như sau: Gọi A’ là chân đường cao hạ từ đỉnh A

2 2 2
3
5
y z x z x y x y z
y z x z x y x y z
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +

Câu 5 (4 điểm) Cho 2015 số đôi một khác nhau a
1
,

a
2
,…, a
2015
.Hỏi có tất cả bao
nhiêu hoán vị của 2015 số đó, mà trong mỗi hoán vị không có ba số nào trong bốn
số a
1
, a
2
, a
3
, a
4
nằm ở ba vị trí liên tiếp?
HẾT
Người ra đề


( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3
2
2
1 2 2
2 2 2 1
⇔ − + − = +
⇔ − − − + − + + ⇔ =
( )
.
x y x y y y
x y y x y y x y y x y
1,0
Thay y=x vào phương trình (2) ta được:
3 2
3 2
3 2 4 1
5 4
3 2
3 3
5 4
4 1 (*)
3 3
x x x x x
x x
x x


+ + >


1,0
( )
( )
2 2
2
1 2 2
(*) 2 2
5 4
9
3 2
3 3
x x x x
x x x
x x
x x
 
 ÷
− + + − + +
⇔ + = − − + + +
 ÷
− + +
 ÷
− + + +
 
( )
( )

=

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (x:y) là (-1;-1) và (2;2)
1,0
2 Xét một tam giác không vuông ABC. Ba đường thẳng l
A
, l
B
, l
C
lần lượt dựng qua các đỉnh A, B, C như sau: Gọi A’ là chân đường
cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC, đường tròn đường kính AA’ cắt
AB tại M, AC tại N thì l
A
là đường thẳng qua A vuông góc với MN.
Các đường thẳng l
B
, l
C
được dựng một cách tương tự. Chứng minh
rằng l
A
, l
B
, l
C
đồng qui tại một điểm.
K
N
M

'MNA CAK=

·
·
'MAA CAK⇒ =
. Mà
·
·
0
' 90MAA ABC+ =
và
·
·
0
90CAK AKC+ =
nên
·
·
ABC AKC K= ⇒
nằm trên đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Do
·
0
90ACK =
nên AK là đường kính của
đường tròn. Do đó l
A
đi qua O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC).
1,0

1,0
Vì BIPQ là tứ giác nội tiếp nên
·
·
PBI PQI=
. Mặt khác
·
·
·
·
PQI CBD PBI CBD= ⇒ =
. Mà
· ·
·
·
0 0
90 , 90PBI PAI CBD BDC+ = + =

⇒

·
·
BAI BDC=
·
·
0
180BDC BAC⇒ + =
. Do đó D nằm trên đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC và
·

x p
p y− =
Nếu (x;y) là một nghiệm của (1) thì
( )
( )
1 2
1 1 1
x p p
p y y y y y
−
= + = + − + − +
. Do đó
1
n
y p+ =
( )
n∈¢
.
Nếu n=0 thì (x;y)=(0;0) và p là một số nguyên tố lẻ tùy ý.
1,0
Nếu
0n ≠
thì
( )
( ) ( )
1 2
2
2 2
1 1 . .
p

np n p p p n
p
p p p C p C p
−
−
−
= − + + −
(**)
Với p=3 thì
3 2
0 3 3.3
n n
= −
, điều đó có nghĩa là n=1, khi đó
(x;y)=(2;2).
1,0
Với
5p ≥
,
2
p
p
C
−
không chia hết cho p
2
nên vế phải của (**) không
chia hết cho
2 2n
p

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2

+ + +
⇔ + + ≤
+ + + + + +
1,0
Chuẩn hóa
1x y z+ + =
, khi đó (2) trở thành
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
6
2 2 1 2 2 1 2 2 1 5
x x y y z z
x x y y z z
− − −
+ + ≤
− + − + − +

1,0
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1,0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
1 1 1 3
2 1 2 2 1 1
4 4 4

1 1 1
4 4 4
2 2 1 2 2 1 2 2 1 3 3 3
x x y y z z
x y z
x x y y z z x y z
− − −
+ + ≤ + +
− + − + − + + + +
Ta chỉ cần chứng minh:
4 4 4 6 1 1 1 9
3 3 3 5 3 3 3 10
x y z
x y z x y z
+ + ≤ ⇔ + + ≥
+ + + + + +
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số, ta được:
1 1 1 9 9
3 3 3 9 10x y z x y z
+ + ≥ =
+ + + + + +
Vậy bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng
minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z>0
1,0
5 Cho 2015 số đôi một khác nhau a
1
,

a
2

.
Số cách lấy ba số thuộc E và hoán vị của chúng là
3
4
.(3!) 4!C =
1,0
Xét tập
B A⊂
mà trong phần tử
a B∈
thì ba số của tập E nằm ở ba
vị trí liên tiếp. Tập B chứa tập B
1
mà B
1
gồm các hoán vị chứa đúng
bốn số của E nằm ở bốn vị trí liên tiếp. Giả sử
a B∈
chứa (a
i
, a
j
,
a
k
), nếu ta coi bộ ba số này chỉ chiếm một vị trí trong hoán vị a thì
số các hoán vị a là 2013! (gồm 2013 phần tử là (a
i
, a
j

i j k h
a a a a
) và a
m
với m=5,6,…,2015). Như vậy:
3
4
| | (3!).(2013! 2012!) 4!.2012!.2012B C= − =
.
Số các phần tử của A là 2015!; do đó số các hoán vị phải tìm gồm
các hoán vị mà không có ba số nào trong bốn số của E nằm ở ba vị
trí liên tiếp là:
|A|-|B|=2015!-4!.2012!.2012.
1,0