HỘI CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 10
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề này có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm)
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
3 3 2
2 2 2
x 12x y 6y 16 0

4x 2 4 x 5 4y y m 0

− − + − =


+ − − − + =


Câu 2 (4.0 điểm)
Các đường tròn
1 2 3
, ,ω ω ω
nằm trong mặt phẳng và tiếp xúc ngoài với nhau
từng cặp. Gọi P
1
, P

3
ω
.
Đường thẳng AP
2
cắt lại
1
ω
tại X, đường thẳng BP
1
cắt lại
2
ω
tại Y, và các đường
thẳng AP
1
, BP
2
cắt nhau tại Z. Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng.
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn:
x y x y 1
3 2.3 2 1
+ +
+ = −
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn :
2 2 2 2
a b c d 1+ + + =
. Tìm giá trị lớn nhất

2 2 2
x 12x y 6y 16 0 (1)
4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)

− − + − =


+ − − − + =


Ta có
( ) ( )
3
3
(1) x 12x y 2 12 y 2⇔ − = − − −
2 2 2
(x y 2) (x x(y 2) (y 2) 12) 0⇔ − + + − + − − =
Ta có
x
và
y 2
−
cùng thuộc đoạn
[ ]
2;2−
suy ra
2 2
x x(y 2) (y 2) 12 0+ − + − − ≤
Do đó
(1) x y 2

Gọi O
1
, O
2
, O
3
thứ tự là tâm các đường tròn
1 2 3
, ,ω ω ω
Gọi O là giao của các tiếp tuyến chung tại P
1
, P
2
, P
3
của
1 2 3
, ,ω ω ω
.
O
1
A
O
3
B
O
2
P
3
P

3
P
2
) = (P
3
P
1
, P
3
O) + (P
3
O, P
3
P
2
)
=
2 1 2 3 1 3 1 2
1 1
(O P , O P ) (O P , O P )
2 2
+
=
3 2 3 1
1
(O P , O P )
2 2
π
−
=

3
X, P
3
P
2
) +(P
3
P
2
, P
3
Z) =

1 1 2 1 2 1
1
(O X, O P ) (P P , P Z)
2
+
uuuur uuuuur
=
1 1 2 3 2 3
1 1
(O X, O P ) (O P , O A)
2 2
+
uuuur uuuuur uuuuur uuuuur
Vì
1 2
,ω ω
tiếp xúc ngoài nên

(n 1)
x y n 1
3 3 3
2
3 ,3 2 8 9 3 x,y (n 1)
3
n 2 2(n 1)
x,y
3 3
+ +
+
+
⇒ < = < = ⇒ < +
− +
⇒ < <
+ n = 0 ;1 ;2 ; 4 : không tồn tại x, y
+ n = 3: x = 2, y =1
+ n = 5 : x = 2, y = 3
+
n 6
≥
: Đặt
n 1 m n 1
m min{x;y} m>1 2 1 3 2 1 9 n 1 6
+ +
= ⇒ ⇒ − ⇒ − ⇒ +
M M M
(vì bậc của 2 theo mod 9 là 6)
Đặt
n 1 6k+ =

+


⇒ ≤ + ≤ =
− +
/
⇒ − < − ≤ ⇒ < ⇒ +
M
M M
M
M
Vậy phương trình vô nghiệm khi n ≥ 6.
Kết luận: (x; y) = (2; 1), (2; 3)
0,5
4
4
điểm
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1
( )( ) ( )( )
2
[( 2 1)( )][( 2 1)( )]
( 2 1)( ) ( 2 1)( )
2
2 1 2 1
( )

⇔
 
= +
 
− −
= = −
 
+ + + =


a c
a c
b d
a b
b d
a b c d

hoặc
2 2 2 2
;
8 8
2 2 2 2
;
8 8

+ +

= − =



a c
a c b d
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2 2 2 2
2 2 2 2
;
8 8
( 2 1)
2 2 2 2
;
1
8 8
= −


− −

= − =
= −
 
⇔
 



a c
b d
5
4
điểm
Dựng
2
(n 3)
1
3
 
+
+
 
 
đường tròn bán kính
1
2
có tâm là
2
(n 3)
1
3
 
+
+
 
 

 
+
+
 
 
đã dựng. Suy ra điều phải chứng minh.
1
2
1
(Họ tên, ký tên -Điện thoại liên hệ)