SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THẾN HUẾ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM 2015
MÔN THI: TOÁN LỚP 10
(Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm).
Giải phương trình sau trên tập số thực:
(
)
2 2
1 3 ( ) 5 15 6 9 .x x x x x+ = − + + −
Câu 2 (4 điểm).
Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi trên đường thẳng
∆
cắt
đường thẳng AB và
1
0;
2
k
 
∈
 ÷
 
, ( k là hằng số ). Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho

X
luôn
có hai phần tử
1 2
,x x
sao cho
5 5
1 2
2.x x− <

HẾT
ĐÁP ÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực:
(
)
2 2
1 3 ( ) 5 15 6 9 .x x x x x+ = − + + −
4,0
Điều kiện:
5
1 .
3
x− ≤ ≤
Vì
0x =
và
1x =
đều không phải là nghiệm của phương trình nên phương
trình đã cho tương đương với:

x
 
∈ − ∪


 
thì
1 4
0
1
x x
x x
−
+ <
−
trong khi đó
2
16 (3 1) 0.x− − ≥

Vậy
[
)
5
1;0 1;
3
x
 
∈ − ∪



Mặt khác
2
16 (3 1) 16x− − ≤
với mọi
( )
0;1x ∈
, dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi
1
.
3
x =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
.
3
x =
1,5
Câu 2 Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi trên đường
thẳng
∆
cắt đường thẳng AB và
1
0;
2
k
 
∈
 ÷
 

. . .ME MF MD MB MH MA= =

do đó tứ giác AEHF là tứ giác
nội tiếp.
1,0
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm trên đường thẳng d là
đường trung trực của AH.
1,0
Đảo lại, với điểm I bất kỳ trên đường trung trực của AH, gọi E và F là các
giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IA với đường tròn đường kính BD.
Gọi M là giao điểm của EF và AB. Khi đó
. . .ME MF MH MA MD MB
= =
, suy
ra
1
MH MB MB MH BH
MD MA MA MD AD
−
= = = =
−
, tức là M là trung điểm của HD và do
đó cũng là trung điểm của AB.
1,0
Nếu
∆
đi qua M và cắt đường tròn đường kính BD tại E,F thì quỹ tích là
một điểm I, chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.
0,5
Nếu

− −
≡ ⇒ ≡

*
( ).m ∈N

1,0
Lấy
1m kp= −
,
*
k ∈N
ta có
1(mod )m p≡ −
và
( 1) 1(mod ).m p p− ≡
Từ đó ta
có
( 1)
2015 ( 1)(mod ).
m p
m p p
−
≡ −
1,0
Như vậy với mọi
*
k ∈N
, đặt
1m kp= −


Đặt
1 1 1
; ;x y z
a b c
= = =
. Khi đó
3x y z+ + =
và
2 2 2
.
1 2 1 2 1 2
x y z
P
z x y
= + +
+ + +

1,0
Ta có
( )
2 2
3
2
2 2
3
4
2 2 2 2 7 4
. 1 2 .
1 2 1 2 3 9 9 9

z
z yz
y
≥ −
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1.y =

1,0
Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta có:
7 4
( ) ( ).
9 9
P x y z xy yz zx≥ + + − + +

Mặt khác
2
( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + +
do đó
2
7 4
( ) ( ) 1.
9 27
P x y z x y z≥ + + − + + =
1,0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 khi
1x y z= = =
hay
1.a b c= = =


Ta chia nửa khoảng thành hai nửa khoảng và . Khi đó theo nguyên lý
Dirichlet thì ba trong số
1 2 3
, ,y y y
có hai số cùng thuộc một trong hai nửa
khoảng nói trên.
2,0
Giả sử hai số đó là và thì hai số
1 2
,x x
là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1,0
HẾT