SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2 2
1 1 2x x x x+ + + − + =

( )
x ∈¡
.
2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn
x
(
m
là tham số):
( ) ( )
2
2 3
2 1 1 0x m x m m− − − + + =
có hai
nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn điều kiện
1 2

,x y
là hai số thực dương thoả mãn điều kiện
(
)
(
)
2 2
1 1 2012x x y y+ + + + =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của
P x y= +
.
Câu 4 (3,0 điểm).
1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng
của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam
giác MNP. Chứng minh rằng
OA OB OC OH+ + =
uuur uuur uuur uuur
và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
·
·
·
·
MAB MBC MCD MDA
ϕ
= = = =
. Chứng minh đẳng thức sau:
2 2 2 2
cot

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 1 2,0 điểm
Ta có
2 2
2 2
1 3 1 3
1 , 1
2 4 2 4
x x x x x x
   
− + = − + + + = + +
 ÷  ÷
   
nên phương trình xác định
với mọi
x
∈

+ + = −



0,5
1 1
0
0
x
x
x
− ≤ ≤

⇔ ⇔ =

=

. Vậy pt có nghiệm duy nhất
0.x
=
0,5
2 2,0 điểm
Phương trình đã cho có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn
1 2
4x x+ ≤
( )
( )

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− ≤ ≤
  


+ ≤
≤ ≤
− ≤


 

≤

0,5
Theo định lí Viet ta có
( ) ( )
2
3
1 2 1 2
2 1 , 1x x m x x m m+ = − = − + +
suy ra
( ) ( ) ( )
3 3 2
3 2
1 2 1 2
8 8 1 8 8 1 16 40P x x x x m m m m m= + + = − − + + = − +
0,5
Bảng biến thiên
-24

1
(2 1) 1
1
x y xy x y xy
x x y xy xy y
x y xy x
x y xy

− + − + =

+ − + − =
 
⇔
 
+ − − =
− + =

 

0,25
Đặt
2
a x y
b xy

= −

=

. Hệ trở thành:

( ; ) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)a b ∈ − −
0,25
* Với
( ; ) (0; 1)a b =
ta có hệ
2
0
1
1
x y
x y
xy

− =
⇔ = =

=

. 0,25
* Với
( ; ) (1; 0)a b =
ta có hệ
2
1
( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
0
x y
x y
xy



 
+ + = + − + =
 
.
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm
{ }
( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)x y ∈ − − −
.
0,25
3 1,5 điểm
Đặt
2
1t x x= + +
thì dễ thấy
0t >
và
2
1
2
t
x
t
−
=
(1) 0,25
Từ giả thiết ta có
2
2012
1y y

x y t
t
+ ≥ = =
. 0,5
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2012t =
. Từ (1) và (2) suy ra
2011
2 2012
x y= =
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
2011
2012
, khi
2011
2 2012
x y= =
.
0,25
4 1 1,0 điểm
K
P
N
M
D
O
H
C
A
B

AB MA MB
S
ϕ
+ −
=
0,5
Tương tự ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cot
4 4 4
MAB MBC MCD
AB MA MB BC MB MC CD MC MD
S S S
ϕ
+ − + − + −
= = =
( )
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4
4 2 . .sin
MDA MAB MBC MCD MDA
ABCD
DA MD MA AB BC CD DA
S S S S S
AB BC CD DA AB BC CD DA
S AC BD
α
+ − + + +
= =

AB KP⊥
nên AB có vtpt
( )
5
2; 1
2
AB
n KP= = − −
uuur uuur
. Suy ra phương trình
( ) ( )
: 2 1 1 1 0 2 3 0AB x y x y+ − − = ⇔ − + =
. Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ
phương trình
2 2 2
2 3 0 2 3
1, 5
4, 5
3 29 0 3 4 0
x y y x
x y
x y
x y x x x
− + = = +
= =
 

⇔ ⇔
 


x y
x y
x y x x x
+ − = = − +
= =
 

⇔ ⇔
 

= = −
+ + − = − + =

 
. Từ đây suy ra
( )
4; 1C −
.
Vậy
( ) ( )
1;5 , 4; 5A B − −
,
( )
4; 1C −
.
0,5