 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN 1 Bùi Văn Chi 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
BÌNH ĐNNH TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN
NĂM HỌC 2009 – 2010

Đề chính thức Mơn thi: TỐN (chun)
Ngày thi: 19/06/2009
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (1,5 điểm)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a b c
1 2
b c c a a b
< + + <
+ + +Bài 2. (2 điểm)
Cho 3 s
ố
phân bi
ệ
t m, n, p. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ

1 1 1
3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1
+ + +
+ + + + +
⋯
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng S
n
<

1
2
.

Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác ABC n
ộ
i ti
ế
p trong
đườ
ng tròn tâm O có
độ
dài các c
ạ
nh BC = a, AC = b, AB =

b. Tính
độ
dài
đ
o
ạ
n AD theo a, b, c.

Bài 5. (1,5 điểm)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
( )
2
m 1
2
n
n 3 2
− ≥
+
v
ớ
i m
ọ
i s
ố
ngun d
ươ

Th
ậ
t v
ậ
y, (1)
⇔
0 < m(n + k) < n(m + k)
⇔
0 < mk < nk
⇔
0 < m < n (0 < m, n, k)
Áp d
ụ
ng: 0 < a < b + c
⇒

a 2a
b c a b c
<
+ + +

0 < b < c + a
⇒

b 2b
c a a b c
<
+ + +

0 < c < a + b

ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c ph
ụ
:
( )
1 1 1
x y z 9
x y z
 
+ + + + ≥
 
 
(x, y, z > 0)
Ta có:
( )
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + +
 
 
=
x y y z x z
3
y x z y z x


c a c 9
1 1 1
a b b c a b 2
+ + + + + ≥
+ + +
⇔

a b c 9 3
3 1
b c c a a b 2 2
+ + ≥ − = >
+ + +
(3)
T
ừ
(2), (3) suy ra:
a b c
1 2
b c c a a b
< + + <
+ + +
.
Bài 2.(2 điểm)
Chứng minh phương trình
1 1 1
0
x m x n x p
+ + =
− − −

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x n x p x m x p x m x n 0
− − + − − + − − =

⇔
3x
2
– 2x(m + n + p) + mn + np + mp = 0
∆
’
= (m + n + p)
2
– 3(mn + np + mp) = m
2
+ n
2
+ p
2
– mn – np – mp =

( )
1 1 1
3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1
+ + +
+ + + + +

, n N, n 3
Ta cú b

t

ng th

c:
2n 1 2 n(n 1)
+ > +


(2n + 1)
2
> 4n(n + 1)

4n
2
+ 4n + 1 > 4n
2
+ 4n: B

T


+ (1)
Cho n l

n l

t l

y cỏc giỏ tr

t

1

n n, thay vo (1), r

i c

ng v

theo v

cỏc b

t

ng th



=
1 1 1
1
2 2
n 1

<+

.
Vy S
n
<
1
2
, n N, n 3.
Bi 4. (3 im)
a) Chng minh: AD
2
= AB.AC DB.DC
Xột hai tam giỏc ABD v AEC, ta cú:


1 2
A A
=
(AD l phõn giỏc gúc A)

CED (g.g),
nờn
BD DA
DE DC
=

BD.DC = DA.DE
T



ú: AB.AC BD.DC = AD.AE DA.DE = AD(AE DE) = AD
2

Vy AD
2
= AB.AC DB.DC (1)

b) Tớnh AD theo a, b, c
Theo tớnh ch

t

ng phõn giỏc c

a tam giỏc, ta cú:
DB DC DB DC DB DC BC a
AB AC c b c b c b c b
+
= = = = =

b c+

=
(
)
(
)
( )
2
b c a b c a
a a
bc 1 1 bc.
b c b c
b c
+ + +

+ =

+ +
+


S
S
A
B
C

Tr

c h

t, ta c

n ch

ng minh
( )
2
1 1
2
n
n 3 2

+
,

n

N
*
(1)
Vỡ n

N
*
nờn b



(
)
2
3 2 t t 2 0
+
(

t: 0 < t

1) (3)
Bi

n

i t

ng

ng:
(3)


(
)
(
)
(
)
2


(
)
(
)
3 2 t(t 1) 3 2 1 (t 1) 3 2 2 1
+ + + +


0


3 2 2 1
+

0 ( vỡ 0 < t

1 nờn t(t 1)

0)


3 1 2 2
+



4 2 3
+



ỳng.
Vỡ
m 1
2 2
n n

,

m

N
*
, nờn
( )
2
m 1
2
n
n 3 2

+
,

m, n

N
*
Vy
( )