PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức.
Ví dụ:
a) 2x
2
+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)
b) x - 2
x
y +5
x
- 10y = [(
x
)
2
– 2 y
x
] + (5
x
- 10y)
=
x
(
x
- 2y) + 5(
x
- 2y)
= (
x

2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= (A + B)(A - B)
(A+B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
(A - B)
3
= A
3
- 3A
2
B + 3AB
2
-B
3
A
3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 .2 4x y x y x y x y x y x y x y xy           
Cách khác:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2 ( 2 ) 4x y x y x xy y x xy y xy         
c) Phương pháp nhóm hạng tử:
Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân
tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.
Ví dụ:
1. x
2
– 2xy + 5x – 10y = (x
2
– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 5)
2. x - 3
x
+
x
y – 3y = (x - 3
x
) + (
x
y – 3y)
=
x
(
x
- 3) + y(
x
- 3)= (

- 2x - x +1
= 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1)
   
  
3 2 2 2
1 2 1
2 1
y y y y y
y y y
y y
     
   
  
b)
e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
Ví dụ:
a) y
4
+ 64 = y
4
+ 16y
2
+ 64 - 16y
2
= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2

3
= a
2
(a - b) - b
2
(a - b)
=(a - b) (a
2
- b
2
)
= (a - b) (a - b) (a + b)
= (a - b)
2
(a + b)
 
 
 
 
3 3 3 3 3 3
3
3
2 2 2
b) 27 27
(3 )
3 9 3
  
 
 
 

2(x + 3) – x(x + 3) = 0
  
x 3 0 x 3
x 3 2 x 0
2 x 0 x 2
   
 
     
 
  
 
Vậy nghiệm của phương trình là x
1
= -3: x
2
= 2
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x
3
+ 4x
2
- y
3
- y
2
= (8x
3
- y
3
) + (4x

2
+ 6x - x - 6
= x(x + 6) - (x + 6)
= (x + 6)(x - 1)
c) a
4
+ 16 = a
4
+ 8a
2
+ 16 - 8a
2
= (a
2
+ 4)
2
- (
8
a)
2
= (a
2
+ 4 +
8
a)( a
2
+ 4 -
8
a)
Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành

+ 1)
nên (x
5
+ x
3
+ x
2
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
3
+ 1):(x
3
+ 1)
= (x
2
+ 1)
b)Vì x
2
- 5x + 6 = x
2
- 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)
nên (x
2
- 5x + 6):(x - 3) = (x - 3)(x - 2): (x - 3) = (x - 2)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x
2
- y
2
- 2x + 2y b) 2x + 2y - x
2
- xy
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2
d) x
2
- 25 + y
2
+ 2xy
e) a
2
+ 2ab + b
2
- ac - bc f) x
2
- 2x - 4y
2
- 4y
g) x
2

4) x
2
– xy + x – y 12) x
2
– 2x – 15
5) ax – bx – a
2
+ 2ab – b
2
13) 2x
2
+ 3x – 5
6) x
2
+ 4x – y
2
+ 4 14) 2x
2
– 18
7) x
3
– x
2
– x + 1 15) x
2
– 7xy + 10y
2
8) x
4
+ 6x

– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2
3. 2ab
2
– a
2
b – b
3
23. a
4
+ b
4
+ c
4
– 2a
2
b
2
– 2b
2
c
2
– 2a
2

4
+ 2a
3
+ 2a
2
6. x
3
– x
2
– x + 1 26. (a + b)
3
– (a – b)
3
7. x
4
+ x
3
+ x
2
- 1 27. X
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – y
3
8. x
2
y
2
+ 1 – x

12. a
2
+ 2ab + b
2
– 2a – 2b + 1 31. (b – c)
3
+ (c – a)
3
+ (a – b)
3
13. a
2
– b
2
– 4a + 4b 32. x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz
14. a
3
– b
3
– 3a + 3b 33. (x + y)
5
– x
5
– y

2
y – 14xy
2
17. x
3
– 4x
2
+ 4x - 1 36. x
4
– 7x
2
+ 1
18. 4a
2
b
2
– (a
2
+ b
2
– 1)
2
37. 4x
4
– 12x
2
+ 1
19. (xy + 4)
2
– (2x + 2y)

y
4
+ 4 6 x
7
+ x
2
+ 1
2. x
4
y
4
+ 64 7 x
8
+ x + 1
3. 4 x
4
y
4
+ 1 8 x
8
+ x
7
+ 1
4. 32x
4
+ 1 9 x
8
+ 3x
4
+ 1

+ 5xz – 5yz + 2z
2
5. x
2
+ 3xy + 2y
2
+ 3xz + 5yz + 2z
2
6. x
2
– 8xy + 15y
2
+ 2x – 4y – 3
7. x
4
– 13x
2
+ 36
8. x
4
+ 3x
2
– 2x + 3
9. x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1

– y
3
– z
3
5. 3x
5
– 10x
4
– 8x
3
– 3x
2
+ 10x + 8
6. 5x
4
+ 24x
3
– 15x
2
– 118x + 24
7. 15x
3
+ 29x
2
– 8x – 12
8. x
4
– 6x
3
+ 7x

) + c(a
2
– b
2
)
4. (x – y)
5
+ (y – z)
5
+ (z – x)
5
5. (x + y)
7
– x
7
– y
7
6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc
7. (x + y + z)
5
– x
5
– y
5
– z
5
8. a(b
2
+ c
2

2
+ 4x + 8) + 2x
2
3. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12
4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5. (x
2
+ 2x)
2
+ 9x
2
+ 18x + 20
6. x
2
– 4xy + 4y
2
– 2x + 4y – 35
7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8. (x
2
+ x)
2
+ 4(x
2
+ x) – 12
9. 4(x