SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
QUẢNG TRỊ GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY LỚP 12 THPT
Khóa ngày 09-01-2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Qui định chung:
1. Đề thi gồm 10 bài toán, mỗi bài 5 điểm
2. Thí sinh trình bày vắn tắt cách giải và cách thiết lập công thức tính
3. Thí sinh chỉ ghi quy trình bấm phím nếu đề bài có yêu cầu, khi đó cần phải ghi rõ loại máy sử dụng
4. Các kết quả tính gần đúng được lấy đến 4 chữ số thập phân
5. Số đo các đoạn thẳng được ngầm hiểu là đơn vị dài; Số đo diện tích và thể tích là đ.v.d.t và đ.v.t.t. tương ứng Bài 1. Cho hai hàm số
(
)
3
sin 2012 2013
f x x
= −
và
( )
(
)
2 2
tan cos 2012
2013
x
x
g x e
π

)
6
6 4log 6 1 2 1
x
x x
= + + +

Bài 4.
Cho
sin cos
3 3
n
n n
u
π π
   
= +
   
   
, Gọi
1 2

n n
S u u u
= + + +
. Tính
16
S
và
2013




− + = −



Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,


0
90
BAD ADC= =
,
5,12; 2,14; 3,14.
AB AD DC
= = =

4
SA
=
và vuông góc với (ABCD). Gọi G là trọng tâm của tam giác SAD. Tính thể tích của khối chóp
S.GCB và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC).
Bài 8. Cần chia một số viên bi cho một nhóm hơn 10 nhưng không quá 20 em học sinh. Hỏi có bao nhiêu viên
bi và bao nhiêu em học sinh biết rằng có thể chia được theo hai cách: hoặc là chia đều hoặc là chia theo
quy luật: em thứ nhất 2 viên, em thứ hai 4 viên, em thứ ba 8 viên
Bài 9. Cho 3 đường thẳng
1; 2; 3
y y y
= = =


12,6251
≈ −

2
1
b)
(
)
(
)
(
)
3
f g f
12,6250
≈ −

3
Ta có:
(
)
2
2
2 2
2013 2013
'
2013 2013 1
x
y

f(x)
y
CĐ y
CT
1
2
Vậy khoảng cách giữa hai cực trị là:
4025,0004
d
≈

2
Đk:
1/ 6
x
> −

Ta có:
(
)
6
6 4log 6 1 2 1
x
x x

)
6
( ) log (6 1)
f x f x
= +

(
)
2

1
Dễ thấy
f
liên tục và đồng biến trên
D
, nên từ
(
)
2
có thể suy ra:
6
log (6 1)
x x
= +
6 1 6
x
x
⇔ + =
6 6 1 0
x

ln6
x
g x x= ⇔ − = ⇔ =
Vì
'( ) 0
g x
=
có nghiệm duy nhất, nên phương trình
(
)
3
có nhiều nhất 2
nghiệm, tức phương trình
(
)
1
cũng có không quá 2 nghiệm số
1
3
Sử dụng máy tìm được 2 nghiệm của phương trình là:
0
1,1561
x
x
=
≈

2
Sử dụng máy có thể tính trực tiếp được
16

Nên
(
)
(
)
2013 1 2 3 4 5 6 1 2 3
335
S u u u u u u u u u
= + + + + + + + +

2013
0,7321
S ≈
2
Đường tròn có tâm
(
)
I 1;1 , 3
R
− =
,
( )
; , 1
1
t
M t H t
t
 



: 0
1 1
1 1 1
1 0.

t t t
y x t x y
t t
t t t
x t y t
∆
− = − ⇔ − + − =
+ +
+ + +
⇔ − + + =

1
Vì ∆IAB chỉ có thế vuông cân tại I nên ta tính được
( )
6
,
2
d I ∆ = .
Mặt khác,
(
)
(
)
(
)

t
t t
t
− −
= ⇔ + − + +
=
+ +( )
( )
2
2
4 7
4 7
1
1
3
3
4 7
4 7
1
1
3
3
t
t
t
t


(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
3 4
2,4884;1,6719 , 0,4884; 0,3281
1,6719; 2,4884 , 0,3281; 0,4884
M M
M M
−
− − −

2
Xét hệ phương trình
3 3
2
2012 2013 2012 2013 (1)
3 1 8 3 (2)
x x y y
x y x xy


+ = +



x x x
− + = −

Điều kiện.
2 6 2 6
3 3
x− ≤ ≤

Dùng chức năng solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:
1 2
0,6180339887 ; 1,618033989
x x= − =

1
6
Gán hai nghiệm này vào hai biến A và B. Ta nhận thấy:
1
1
A B
AB

+ =




= −




Đặt
, , ,
AB a AD b DC c SA d
= = = =2
3
SGCB
SICB
V
SG
V SI
= =

1
.
3

b a c db a c
d
+ +
= × × × =

3,9281
≈

1
2 2
SB a d
= +
;
( )
2
2
CB b a c
= + −
2 2 2
SC b c d
= + + ;
2
SB SC BC
p
+ +
=

1
( )( )( )
SCB

+ + + + =
−

1
Gọi p là số bi mỗi học sinh nhận được theo cách chia thứ nhất thì tổng số
bi sẽ là
.
n p
. Suy ra
( )
2 1
2. . 2 2 1 .
2 1
n
n
n p n p
−
= ⇔ − =
−

1
Do n và p là các số nguyên dương nên
(
)
2 2 1
n
n
−
⋮


I
A
B
C
S
D
3

và ứng với một điểm thuộc
1
y
=
sẽ: có 19 tam giác cạnh đáy bằng
π
,
có 18 tam giác cạnh đáy bằng 2
π
, có 17 tam giác cạnh đáy bằng 3
π
,
, có 1 tam giác cạnh đáy bằng 19
π
. Suy ra tổng diện tích các tam giác
nói trên là:
( )
1
19 1 18 2 17 3 1 19 20 13300
2
π π
× + × + × + + × × =

và
2
y
=

có đường cao cùng bằng 1 và có tổng diện tích là:
26600
π

½
Còn các tam giác có đỉnh thuộc hai đường thẳng
3
y
=
và
1
y
=
có
đường cao cùng bằng 2 và có tổng diện tích là:
2 26600
π
×

½
Do đó tổng diện tích tất cả các tam giác là
4 26600 106400
π π
× =


1
R
=
thỏa mãn
2
2 2 2 2
. 1
R h h
R
R h h
− −
= ⇒ =
(2)

1
1
Từ (1) và (2), suy ra
2 5 2 6

22,2676
≈

22,2676
≈

1