toán tổng hợp.
Phần I: hàm số và các vấn đề liên quan.
Cực đại, cực tiểu
Các dạng toán cơ bản:
dang1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = f(x) có cực đại cực tiểu .
a/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị:
Hàm số y = f(x) có cực trị khi phơng trình y = f (x) = 0 có nghiệm và y đổi dấu qua các
nghiệm đó.
b/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số chỉ có1 cựcđại (cực tiểu) :
Hàm số chỉ có cực đại ( cực tiểu) khi:
TH1: y = 0 có 1 nghiệm duy nhất và đổi dấu từ (+) sang ( -),(hoặc từ (-) sang(+)) khi
qua nghiệm đó.
TH2: y =0 có 1 nghiệm đơn và nghiệm kép và y đổi dấu từ (+) sang (-) , (hoặc từ (-)
sang(+)) khi qua nghiệm đơn đó.
dạng 2: Viết phơng trình đờng qua đi qua cực đại, cực tiểu.
M
0
(x
0
; y
0
) là điểm cực trị của hàm số
( )
( )



=
=

00

mx
mmxmx
y
+
++++
=
4)32(
22
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai cực trị trái dấu.
4/ Tìm m để hàm số
mx
mmxx
y
+
+
=
2
2
có cực trị.
5/ Cho hàm số
)21()1(
24
kxkkxy ++=
xác định giá trị của tham số k để đồ thị của hàm
số chỉ có một cực trị.
6/ Cho hàm số
1
24)1(
22


1
toán tổng hợp.
10/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
22
,
)(
m
C
.Tìm m để đờng cong
)(
m
C
có cực đại và cực tiểu. Viết
phơng trình đờng thẳng nối điểm cực đại và điểm cực tiểu của đờng cong
)(
m
C
.
11/ Cho hàm số
10)9(
224
++= xmmxy
(1) . Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
12/ Cho hàm số

.

=
.
16/ Cho hàm số
mx
mxmx
y

+++
=
1)1(
2
.
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại, cực
tiểu cùng dấu.
b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=2.
c/ Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đồ thi (C) tới hai đ ờng tiệm
cận là không đổi.
17/ Cho hàm số
2)1(3
23
++= xmmxxy
a/ Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
b/ Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x=2.
18/ Cho hàm số
1
2

+

22
. Tìm m để hàm số có cực trị.
23/ Cho hàm số
x
mmxmx
y
352
222
+++
=
. Với giá trị nào của m thì hàm số có cực tiểu nằm
trong khoảng (0,2m).
24/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
2

)0( m
a/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b/ Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau.
25/ Cho hàm số
4)21(38
234
+++= xmmxxy
. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số chỉ có
cực tiểu và không có cực đại.

28/ Cho hàm số:
1
)1)(2(2
222
+
++
=
mx
mxmxm
y
.
a/ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-2.
b/ Chứng minh rằng với mọi m0 hàm số đã cho luôn có cực đại cực tiểu.
c/ Chứng minh rằng với mọi m0, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp
xúc với một Parabol (P) cố định. Tìm (P).
29/
Hàm đa thức bậc 3 : các dạng toán thờng gặp:
dạng 1: Từ đồ thị của hàm đã cho suy ra đồ thị của hàm y = f(/x/); y=/f(x)/,
dạng 2: Biện luận theo tham số số nghiệm của phơng trình dựa vào đồ thi .
dạng 3: xác định giá trị của tham số để hàm có cực trị, không có cực trị,
dạng 4: Xác định giá trị của tham số để 2 tiếp tuyến tại một điểm vuông góc
với nhau.
dạng 5: Xác định giá trị tham số để hàm đồng biến , nghịch biến trên khoảng ,
đoạn nào đó.
1/ Cho hàm số
xxxy 96
23
+=
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

23
+= axxy
( a là tham số ).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a=3
b/ Tìm các giá trị của tham số a để phơng trình
04
23
=+ axx
có nghiệm duy nhất .
5/ Cho hàm số
mxmxy 311)3(32
23
++=

)(
m
C
.
a/ Cho m=2. Tìm phơng trình các đờng thẳng qua A(19/12;4) và tiếp xúc với đồ thị
)(
2
C
của
hàm số.
b/ Tìm m để hàm số có hai cực trị. Gọị M
1
và M
2
là các điểm cực trị, tìm m để các điểm M
1

m
xxy
có 3 điểm cực trị.
Khi đó chứng minh cả 3 điểm này đều nằm trên đờng cong :
2
)1(3 = xy
8/ Cho hàm số
323
2
1
2
3
mmxxy +=
.
a/ Khảo sát hàm số khi m=1
b/ Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đờng
thẳng y=x.
c/ Xác định m để đờng thẳng y=x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho AB=AC
9/ Cho hàm số :
1
3
1
23
++= mxmxxy
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0.
b/ Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát, hãy tìm tiếp tuyến có hệ số
góc nhỏ nhất.
c/ Chứng minh rằng với mọi m, hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu là nhỏ nhât.
10/ Cho hàm số

3
++= axxy
, a là tham số.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=-3
b/ Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.
13/ Cho hàm số
3
2
3
1
23
++= mxmxxy
, (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.
b/ Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số (C).
c/ Với giá trị nào của m đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
1
x
,
2
x
,
3
x
thoả mãn điều kiện
15
321
>++ xxx
.
14/ Cho hàm số

23
+++= mxxxy
có đồ thị là
)(
m
C
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=3.
b/ Chứng minh rằng với mọi m,
)(
m
C
luôn cắt đồ thị hàm số
72
23
++= xxy
tại hai điểm
A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi.
c/ Xác định m để
)(
m
C
cắt đờng thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các
tiếp tuyến của
)(
m
C
tại D và E vuông góc với nhau.
4
toán tổng hợp.

19/ 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
33
23
+= xxy
(C).
2/ Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại đó song song với
nhau.
3/ Viết phơng trình đờng thẳng mà các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C) đối xứng nhau
qua đờng thẳng đó.
Tìm tập hợp điểm-quỹ tích.
1/ Cho hàm số
2
)1)(14( = xy
(1)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b/ Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục Oy, d là đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k.
Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C.
c/ Tìm tập hợp trung điểm I của BC khi k thay đổi.
2. 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
xxxy 96
23
+=
(1)
2) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để đờng thẳng có phơng trinh y=mx cắt đồ thị
hàm số tại ba điểm phân biệt O(0;0), Avà B. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi trung điểm I của
đoạn thẳng AB luôn nằm trên một đờng thẳng song song với trục Oy.
3. Cho hàm số
1
42
+

a/ Tìm điểm cố định mà mọi đờng cong
)(
m
C
đều đi qua với mọi m.
b/ Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu.
c/ Tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị khi m thay đổi
6. Cho hàm số
mmxmmxxy 3)1(33
3223
+++=
, m là tham số. Chứng minh rằng hàm số đã
cho luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời khi m thay đổi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm
số luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định.
7. Cho hàm số
2
42
2
+
+
=
x
mmxx
y
, với m là tham số.
a/ Tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị của m.
b/ Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Tìm quỹ tích của điểm cực đại của đồ thị
khi m thay đổi.
8. Cho hàm số
1

x
xx
y
, (C).
a/ Khảo sát hàm số (C).
b/ Đờng thẳng
)(
đi qua điểm P(0;b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0).
Xác định b để đờng thẳng
)(
cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh trung điểm
I của đoạn MN nằm trên một đờng thẳng cố định khi b thay đổi.
10. Cho hàm số
1
1
2
+
+
=
x
mmxx
y
,
)(
m
C
.
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-1.
b/ Tìm m để hàm số
)(

)(
m
C
.
a/ Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu.
b/ Tìm quỹ tích điểm cực đại và quỹ tích điểm cực tiểu của
)(
m
C
.
c/ Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho điểm đó là điểm cực đại của đồ thị với một
giá trị m, đồng thời cũng là điểm cực tiểu với một giá trị khác của m.
14. Cho hàm số
x
xy
1
+=
. Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó ta kẻ đợc hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số.
15. Cho hàm số
mmxmxxy 23
23
++=
,
)(
m
C
.
a/ Chứng minh đồ thị
)(

)(
m
C
. Tìm điều kiện của m để đồ thị
)(
m
C
chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm O(0;0).
4. Cho hàm số
1
2
2

++
=
x
xx
y
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các cặp điểm thuộc đồ thị (C) nhận
I(0;5/2) làm trung điểm.
5. Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
, có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B nằm trên (C) và đối xứng nhau qua đ-
ờng thẳng y=x-1.

C
luôn có cực trị với mọi giá
trị của tham số m. Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đờng
thẳng x+2y+8=0
8. Cho hàm số
.3
223
mxmxxy ++=
Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng
2
5
2
1
= xy
.
9. Cho hàm số
2
54
2

+
=
x
mmxx
y
,
)(
m
C

luôn đi qua một điểm cố định .
11. Cho hàm số
1
1)2(
2
+
+++
=
x
mxmx
y
. Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B sao cho
:
035;035 =+=+
BBAA
yxyx
. Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B đó đối xứng
nhau qua đờng thẳng (d) có phơng trình :
095 =++ yx
.
12. Cho hàm số
)2(
)1(
2


=
x
x
y

2
2
, m là tham số. Chứng minh rằng loại trừ hai giá trị của m, còn
những giá trị khác của m đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định.
4. Cho hàm số
1)12()1(
3
+++= mxmxmy
có đồ thị
)(
m
C
.
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị m đồ thị hàm số đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
b/ Vói giá trị nào của m thì đồ thị
)(
m
C
có tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng đi qua 3
điểm cố định đó.
5. Cho hàm số
2)1(23
23
++= xmmxmxy
, m là tham số.
a/ Tìm những điểm cố định mà mọi đờng cong của họ trên đều đi qua.
b/ Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đơng cong có chung
một tâm đối xứng.
6. Cho họ đờng cong
mx

m
.
a/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số không có điểm cố định .
b/ Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị của hàm số không thể đi qua khi m
thay đổi.
8. Cho hàm số
mx
mxmx
y
+
+++
=
1)1(2
2
. Chứng minh rằng với mọi m-1 đồ thị hàm số luôn tiếp
xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định.
9. Cho hàm số
mx
mmmxxm
y

++
=
2
)2(4)1(4
232
,
)(
m
C

. Tìm m để hàm số đồng biến
trên
( )
+;2
.
2/ Cho hàm số :
( )
212
3
1
23
++= mxmmxxy
. Với giá trị nào của m hàm số nghịch biến
trên khoảng (-2 ; 0 ).
3/ Cho hàm số:
( )
mxmxxy 413
23
++++=
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1).
4/ Cho hàm số :
( ) ( )
431
3
2
3
++= xmxm
x
y
. Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;3).

8
2
. Tìm m để hàm số đồng biến khi x>=1.
8/ Cho hàm số
( ) ( )
12313
23
++= xaaxaxy
. Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biển trên
tập hợp các giá trị của x sao cho:
21 x
.
9/ Cho hàm số
( ) ( )
4512123
23
++++= xmxmxy
. Tìm các giá trị của m để hàm số :
a/ Đồng biến trên miền xác định.
b/ Đồng biến trên khoảng
( )
+;2
.
c/ Đồng biến trên khoảng
( ) ( )
+ ;21;
.
d/ Nghịch biến trên khoảng (0;2).
10/ Cho hàm số
1


+
=
.
a/ Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
8
toán tổng hợp.
b/ Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x>1.
13/ Cho hàm số
( )
( )
mx
mmmxxm
y

++
=
221
232
. Xác định tất cả các giá trị của m sao cho
hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
14/ Cho hàm số
( )
2223
1133 mxmmxxy ++=
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng
biến trong các khoảng
( ) ( )
+ ;42;
.




+ ;
2
1
.
17/ Cho hàm số
mx
mmxx
y

+
=
2
. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng
( )
+;1
.
18/ Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến:
( ) ( )
.cos123 xmxmy +=
19/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định
( ) ( )
211
23
++++= xmxmmxy
.
20/ Giải các hệ bất phơng trình:


;0, yx
thoả mãn hệ



=+
=

285
cotcot
yx
yxgygx
.
22/ a/ Giải phơng trình
( )
2
1
122
2
=

x
xxx
.
b/ Giải và biện luận phơng trình :
mmxx
mmxxmxx
++=
+++++
255

>
+
26/ Với mọi ABC chứng minh : sinA+sinB+sinC+tgA+tgB+tgC>2.
biện luận nghiệm của phơng trình, bất pt dựa vào đồ thị hàm số:
1/ a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
12
56
2

+
=
x
xx
y
b/Biện luận số nghiệm của phơng trình :
1256
2
=+ xkxx
theo tham số k.
2/ a/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1
4
4
+
=
x
x
y
b/ Tìm những giá trị của tham số m để bpt sau đúng với mọi giá trị x :
04

=
x
x
y
2/Tìm tất cả giá trị của tham số m để đờng thẳng mx y + 1 = 0 cắt đồ thị (C) hàm số tại
hai điểm phân biệt
6/ Cho hàm số
mxxy ++= 23
3
a/ khảo sát khi m = 0.
b/ Tìm m để phơng trình
023
3
=++ mxx
có 3 nghiệm phân biệt.
7/ Cho hàm số
3
43 xxy =
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
04343
33
=+ mmxx
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua M (1; 3).
8/ Cho hàm số
1
332
2

+

c/ Tìm k để đờng thẳng y = kx k + 2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
11/ Cho hàm số
( )
2
3 xxy =
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b/ Đờng thẳng d qua O có hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn.
12/ Cho hàm số
cbxaxxy +++=
23
a/Xác định a, b, c để đồ thị hàm số có tâm đối xứng là I( 0; 1) và đạt cực trị tại x = 1.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a = 0, b = -3, c = 1.
c/ Biện luận theo k số nghiệm phơng trình
03
3
=+ kxx
13/ Cho hàm số
45
24
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Xác định m để
035
224
=+ mmxx
có 4 nghiệm phân biệt.
14/ Cho hàm số
mxxy +=
3

xk
x
xx
10
toán tổng hợp.
16/ Cho hàm số :
( )
910
224
++= xmxy
a/ Khảo sát khi m = 0
b/ Chứng minh rằng với mọi m 0, đồ thị hàm số giao với Ox tại 4 điểm phân biệt. Chứng
minh rằng trong số các điểm đó có 2 điểm nằm trong (-3; 3) và 2 điểm nằm ngoài (-3; 3).
17/ Cho hàm số
x
xx
y
1
2
++
=
.
a/ Khảo sát
b/ Xác định m để phơng trình
( ) ( )
01131
234
=++ tmttmt
có nghiệm.
18/ Cho hàm số

=
x
mxx
y
a/Với giá trị nào của m y = m giao với đồ thị hàm số tại A, B sao cho OA OB
b/ Khảo sát khi m =1.
c/Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số khi x > 1 và y = 11/ 2.
20/ Cho hàm số
3
3 xxy =
a/ Khảo sát
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
0sin2cos.sin
2
=+ mxxx
21/ Cho hàm số
( )
2
1
2
+

=
x
x
y
a/Khảo sát
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình :
( )
021

c/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
012
24
=+ mxx
25/ Cho hàm số
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
a/ Khảo sát .
b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
m
x
xx
=
+
++
1
1
2
11
toán tổng hợp.
26/ Cho hàm số
1
2

+
+
28/ Cho hàm số
13
23
+= mxxy
a/ Khảo sát khi m = 3.
b/ Biện luận theo k nghiệm của phơng trình :
03
23
=+ kxx
c/ Đờng thẳng d : y = k(x - 2) + m 5. Với giá trị nào của k thì d tiếp xúc với đồ thị hàm số.
29/ Cho hàm số:
1
4
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát.
b/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = a > 0. Oy, đồ thị hàm số, tiệm cận xiên. Với giá
trị nào của a thì diện tích này bằng 4.
c/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình
m
x
xx
=

++=
x
xy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm trên đồ thị (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai
đờng tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất.
2/ Cho hàm số
196
23
+= xxxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b/ Từ một điểm bất kì trên đờng thẳng x = 2 ta có thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị
hàm số.
3/ Cho hàm số
1
22
2
+
++
=
x
xx
y
.
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/Tìm trên đồ thị hàm số các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông góc với tiệm
cận xiên.
4/ Cho hàm số
1
23

;0A
và tiếp xúc với (C).
2/ Xác định m để hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại.
6/ Cho hàm số
13
3
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Cho điểm A( x
0
; y
0
) thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A cắt (C) tại B A. Tìm x
B
theo x
0
7/ Cho hàm số
1
1
2
+

=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và song song với y = -x.
8/ Cho hàm số
1

m
).
a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m sao cho 2 tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) kẻ từ O(0; 0) vuông góc
với nhau.
11/ Cho hàm số
mmxxy 23
3
+=
có đồ thị (C
m
).
a/ Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
c/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C
1
) tại các giao điểm của (C
1
) với trục hoành.
d/ Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (C
m
) luôn đi qua 1 điểm cố định.
12/ Cho hàm số
xxy 3
3
=
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Xác định tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số với Ox.

mx
mxmx
y
+
+++
=
112
2
có đồ thị (C
m
).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi m -1, (C
m
) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định. Xác định
phơng trình đờng thẳng đó.
13
toán tổng hợp.
17/ Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
có đồ thị (C).
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/Tìm trên đờng thẳng y = 4 những điểm mà có thể kẻ tới đồ thị (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau
góc 45

đi qua M( 2; 1).
20/ Cho hàm số
1
63
2

+
=
x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ của
=y
1
63
2

+
=
x
xx
y
c/ Từ O(0; 0) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến tới (C). Tìm toạ độ tiếp điểm nếu có.
21/ Cho hàm số
3
1

+
=

3
1
=
25/ Cho hàm số
( )
2
62
2
+
+
=
mx
xmx
y
a/ Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu.
b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
c/ Chứng minh rằng với mọi M trên (C) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tạo 1 tam giác có
diện tích không đổi.
26/ Cho hàm số
1
2

=
x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Hai tiệm cận cắt nhau tại I, tìm I. Chứng minh I là tâm đối xứng.
c/ Tìm M thuộc nhánh phải của đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng qua
M và I.

x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ A( 0; a), Xác định a sao cho từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho tiếp điểm tơng ứng
nằm về hai phía của trục Ox.
29/ Cho hàm số
( )
532
23
+++= mxxxmy
.
1/ Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
2/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
3/ Chứng minh rằng từ A(-1; -4) kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C).
30/ Cho hàm số
1
24
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm những điểm trên Oy kẻ đợc đúng 1 tiếp tuyến tới (C).
31/ Cho hàm số
x
xx
y
23
2
+
=
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Tìm trên x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) và hai tiếp tuyến

x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số .
b/ Tìm các điểm có toạ độ nguyên và viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm đó.
34/ Cho hàm số
24
2mxxy +=
có đồ thị (C
m
)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
b/Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua
( )
0;2A
.
c/ Với giá trị nào của m thì (C
m
) có 3 cực trị.
35/ Cho hàm số
3
13

+
=
x
x
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số .
b/ Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua x + y 3 =0.

( )
xxy = 3
2
a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn, tìm toạ độ giao điểm của tiếp tuyến đó với tiếp
tuyến tại điểm cực đại, cực tiểu.
15
toán tổng hợp.
39/ Cho hàm số
23
23
+= xxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).
c/CMR tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
d/ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(0; 3).
40/ Cho hàm số
( )
( )
mmxxxy ++=
2
1
a/ Khảo sát khi m = -2.
b/Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox. Xác định toạ độ tiếp điểm.
41/ Cho hàm số
( ) ( )
1133
2223
+= mxmmxxy
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.

x
xx
y
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = -1.
Phần II: Nguyên hàm-tích phân.
10 phép đổi biến quan trọng.
1/
( )( )

++
dxdcxbax
( )

+
+
dx
dcx
bax
n
Đặt
dcxt +=
( )
dxdcxbax
n
++


2/
( )

( )

+
dx
bax
xf
n
Đặt
n
baxt +=
5/
dxx
x
f







ln,
1
Đặt
xt ln=
6/

dx
x
x

gxddx
x
tgxd
xtg
x
xg
x
22
2
2
2
2
sin
1
cot;
cos
1
1
cos
1
;cot1
sin
1
==
+=+=
8/

dxxgdxxtg
nn
.cot;.




=
=
,sin
2
xdxtgxdxdv
xfu
b/
( )

dxexf
x
Đặt
( )



=
=
dxedv
xfu
x
Chú ý
( )

dxexf
x
, đổi biến

;
ln
22
đều đặt nh trên.
d/

+ dxax
2
Đặt





=
+=
dxdv
axu
2
Ta sử dụng
Caxx
ax
dx
+++=
+

2
2
ln
Tích phân đổi biến đặc biệt :

ax
dx
ax
dx
bxax
dx
a. tính tích phân bằng ph ơng pháp đổi biến.
1.

2
ln
e
e
xx
dx
2.

2
0
sin
cos

xdxe
x
3.

+
1
0
3 3

3
7
0
3
13
1
dx
x
x
8.


1
0
635
)1( dxxx
9.

+
1
0
1 x
dx
10.


1
0
1 dxxx
11.

+
2
0
sin23
cos2

dx
x
x
15.

++
1
0
1 xx
dx
16.

+++
1
0
13 xx
dx

17.

2
0
32
cossin


21.

+
2ln
0
1
x
e
dx
22.



1
1
45
dx
x
x
23.

+
e
dx
x
xx
1
2
ln2ln

sincos
27.

3
6
4
cossin


xx
dx
28.


2
3
3
3
sin
sinsin


dx
x
xx
29.

+

2ln

b. tìm nguyên hàm bằng ph ơng pháp đổi biến.
1.

dxx
4
2
2.








dx
x
x
2
21
3.

xx
dx3
4.

xx
xdx
22
cossin

3
44
2
10.

++
++
dx
xx
xx
1
1
2
24
11.

+
dx
e
e
x
x
1
12.

+12x
dx
13.

xx

dxx
19.

+ x
tgxdx
2003
cos1
20.

x
dxe
tgx
2
cos
21.


3
23
2
x
dx
22.

4
53
cos.sin xx
dx
23.



2
0
cos1

xdxx
2.

4
0
2
2cos.

xdxx
3.
( )


+
1
0
2
23 dxex
x
4.

e
dx
x
x

9.

e
xdxx
1
2
ln
10.


5
2
2
)1ln( dxxx
11.

2
1
2
log xdxx
12.
( )

+
e
e
x
xdx
1
2

∫
1
0
2
)(sin
π
17.
( )
∫
+
1
0
2
1ln dxxx
18.
∫
π
π
e
dxx
3
)cos(ln
19.
∫
2
0
3sin
cossin
2
π

)ln(sin
π
π
dx
x
x
24.
dxxx
∫
10
1
2
lg
25.
dxe
x
x
x
∫
+
+
2
0
cos1
sin1
π
d. tÝch ph©n c¸c hµm h÷u tû.
1.
∫
+

2
12 x
dx
5.
dx
e
e
x
x
∫
+
−
1
0
1
1
6.
dx
e
e
x
x
∫
−
−
+
1
0
2
1

π
π
xx
dx
10.
∫
+
2
0
1cos
3sin
π
x
xdx
11.
∫
+
2
0
3
1cos
cos
π
x
xdx
12.
∫
+
2
0

∫
++
++
1
0
2
2
92
103
16.
dx
xx
x
∫
++
2
0
2
3
12
3
17.
∫
4
0
2
3
cos
sin
π

dx
21.
∫
+
2ln
0
5
x
e
dx
22.
∫
+
1
0
2 xx
ee
dx
23.
∫
−
−
1
0
4
xx
ee
dx
24.
∫

2
2
1
1
dx
xx
x
27.
∫
+
4
7
2
9xx
dx
28.
∫
+
3ln
0
1
x
e
dx
29.
∫
+
2
1
3

−−
6
0
2
cossin57
cos
π
xx
xdx
34.
( )( )
∫
+−++
−
dx
xxxx
x
1315
1
22
2
35.
∫
++
2
1
2
144 xx
dx
36.

++
1
0
24
34xx
dx
40.
∫
−
2
3
2
2
1xx
dx
41.
∫
+
+−
+
2
51
1
24
2
1
1
dx
xx
x

2
1xx
dx
45.
∫
++
1
0
24
1xx
xdx
19
to¸n tæng hîp.
46.
∫
+
1
0
3
1
3
x
dx
47.
∫
+
+
2
0
22

0
2
3
x
e
dx
51.
∫
+
dx
x
x
2cos1
sin
52.
( )
∫
++
4
0
3
2cossin
2cos
π
xx
xdx
53.
∫
++
4

0
1
π
tgx
dx
57.
( )
∫
+
2
1
4
1xx
dx
58.
∫
+
dx
x
gx
9
sin1
cot
59.
( )
∫
+
4
0
2

62.
∫
± xx
dx
3
63.
∫
−
−
dx
xx
x
3
4
2
64.
( )
∫
++
1
0
2
2
23xx
dx
65.
( )
∫
+
2

+
2
10
1xx
dx
70.
∫
+
3
1
2
1xx
dx
71.
∫
−
−−
1
1
24
12xx
dxx
72.
( )( )
∫
−
±+
1
1
2

xx
75.
( )
∫
+
2
0
3
cossin
sin4
π
xx
xdx
76.
( )
∫
+
−
2
0
3
sincos
sin4cos5
π
dx
xx
xx
77.
( )
∫

π
0
2
cossin xdxxx
81.
∫
π
0
43
cossin xdxxx

e, TÝch ph©n-Nguyªn hµm cña hµm sè l îng gi¸c.
d¹ng 1
xdxgxdxtgxdxxdx
nnnn
∫∫∫∫
cot;;sin;cos
d¹ng 2
∫ ∫ ∫∫
dxxxdx
x
x
x
dx
x
dx
mn
m
n
nn

sinsin bxtgaxtg
dx
ax
dx
bxax
dx
bxax
dx
20
to¸n tæng hîp.
1/
∫
+
2
0
2sin1
π
x
dx
2/
∫
− xx
dx
sin22sin
3/
∫
4
6
4
cos.sin

5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
8/
( )
∫
+
dx
x
xa
2
cos
sin
9/
∫
3
4
2
sin
π
π
x
dx
10/
∫
+
2

∫
−+ xx
dx
cossin2
14/
( )
∫
−+
2
0
441010
sin.cossincos
π
dxxxxx
15/
∫
tgxdxx.5cos
16/
∫
tgxdxx.3cos
17/
∫
xdx2sin
4
18/
dxxgxtg
∫
−+
3
6

π
xx
xdx
22/
( )
∫
+ dxxx
66
cossin
23/
∫
2
4
4
6
sin
cos
π
π
dx
x
x
24/
∫
+
8
0
2cos2sin
2cos
π

π
dx
xx
xx
27/ Chøng minh r»ng víi hai sè tù nhiªn m, n kh¸c nhau ta cã:
∫∫
−−
==
π
π
π
π
0sinsincoscos nxdxmxxndxmx
tÝch ph©n c¸c hµm cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
1/
∫
−
+
3
2
2
3 dxxx
2/
∫
+−
−
2
1
0
2

1
0
dxmxx
7/
∫
+−
1
0
2
2 dxmxx
8/
∫
π
0
sin.cos dxxx
9/
dxx
∫
+
π
0
2cos1
21
toán tổng hợp.
10/
dxx

+

2

1/
1
2
= xy
và
5+= xy
.
2/
1;; ===

xeyey
xx
.
3/
0;02; ==+= yyxyx
.
4/

== xyxy ;sin
5/
2
;
12
1;
2
3
sin21
2



;
2
2
===
.
9/
03;05
2
=+=+ yxxy
.
10/
( )
3
2
4 xy =
;
xy 4
2
=
11/
22
; yxxy ==
12/
2
2; xyxy ==
13/
xyxxxy 4;2
23
=+=
14/

2
1
;0;0
x
x
yxyx

====
19/
)0(;
1
;
1
32
4
2
4
22
>
+

=
+
++
= a
a
axa
y
a
aaxx

2
+ y
2
=8 thành hai phần. Tính
diện tích mỗi phần đó.
27/
[ ]

;0;cos1;sin2
2
+=+= xxyxy
2: Tính thể tích khối tròn xoay.
1/ tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới
2
3
;
3
xy
x
y ==
hạn bởi các đờng
khi hình phẳng đó quay xung quanh trục Ox.
2/ Cho D là một miền phẳng giới hạn bởi các đờng cong
2
;
1
1
2
2
x

2
2
2
=+
b
y
a
x
. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay elip:
a/ quanh trục Ox
b/ quanh trục Oy.
7/ a/ Cho hinh tròn tâm I( 0; 2) bán kính R = 1 quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối
tròn xoay đợc tạo nên.
b/ Cho hình tròn tâm I( 2; 0) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy. Tính thể tích khối
tròn xoay đợc tạo nên.
8/Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn
bởi đờng tròn: (x- a)
2
+ y
2
= b
2
với 0 < b < a.
9/ Gọi D là miền giới hạn bởi các đờng : y = 0; y = 2x x
2
. Tính thể tích vật thể tròn xoay
đợc tạo bởi khi quay D quanh:
a/ trục Ox.
b/ Trục Oy.
10/Gọi miền giới hạn bởi các đờng y = -3x+10 ; y = 1 và y = x

P
n
=
là số cách xếp n vật khác nhau vào n vị trí cho trứơc.
23
toán tổng hợp.
+/
( )
!!
!
knk
n
C
k
n

=
là cách chọn ra k phần tử khác nhau của tập n phần tử.
+/
( )
!
!
kn
n
A
k
n

=
là cách chọn ra k phần tử khác nhau của tập n phần tử sau đó xếp vào k vị

nhóm mang số chẵn, một nhóm mang số lẻ. Tiếp theo xếp chẵn lẻ
c/Xếp trên bàn tròn:
Khi xếp n vật trên bàn tròn, do tính quay vòng của bàn tròn nên chỉ có (n-1)! cách xếp.
d/ Xếp chen:
Vd
1
: 7 nam & 3 nữ, xếp hàng sao cho 3 nữ đứng cạnh nhau.
Giải: Ta xếp 1 bạn nữ với 7 bạn nam sau đó chen 2 bạn nữ vào cạnh bạn nữ đã xếp.
Vd
2
: Bài toán lập số : nhất thiết hai số cho trớc đứng cạnh nhau.( Phơng pháp chen đợc thực
hiện khi bỏ đi số chen thì số vẫn có nghĩa)
3/ Bài toán lập số:
a/ Số đợc lập có các chữ số có thể giống nhau.
b/ Số đợc lập có các chữ số khác nhau: số chia hết cho 2, 3, 4, 5, 6, 9, số chẵn , số lẻ, nhất
thiết có mặt chữ số nào đó, không có mặt chữ số nào đó,
c/Số đợc lập so sánh với một số cho trứơc:
Vd: abc < 456.
+/ a <=3 , b, c chọn tuỳ ý.
+/ a = 4, b <=4, c chọn tuỳ ý.
+/ a=4, b =5, c<=5.
d/ Số đợc lập chia hết cho 7, 11, 13,
Phơng pháp: Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất chia hết cho 7, 11, 13,
Sử dụng tính chất của cấp số cộng :
d
UU
n
n 1
1


Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ ngồi.
` b/ Vật giống nhau:
Vd: có 3 viên bi giống nhau cần phân phối vào 3 hộp. Hỏi có bao nhiêu cách phân phối bi
biết rằng mỗi hộp có thể chứa ít nhất 3 viên.
6/ Bài toán chia nhóm:
a/ không lặp:
Vd: có m ngời chia thành n nhóm, mỗi nhóm có số ngời khác nhau
b/ có lặp:
Vd: có m ngời chia thành n nhóm sao cho có k nhóm giống nhau. Số cách chia nhóm bằng số
cách chọn ngời cho n nhóm chia cho k( k nhóm có số ngời bằng nhau lặp lại)
1/ từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số.
2/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số.
3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là chữ số chẵn.
4/ Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì
giống nhau.
5/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 2.
6/ Cho 7 chữ số 0,1, 6.
a/ Từ 7 chữ số trên có thể lập thành bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau.
b/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chẵn,
c/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chia hết cho 5.
7/ Với các số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập đợc bao nhiêu số chia hểt cho 3 gồm 5 chữ số khác
nhau.
8/ Cho đa giác lồi P có n cạnh (n>=6).
a/ có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của P.
b/ trong số tam giác đó, có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của P.
9/ Lớp học có 20 học sinh, với 10 nam, 10 nữ. Cần chọn một nhóm 7 ngời, trong đó phải có ít
nhất là 2 nam và 2 nữ.
10/ Cho E là tập hợp gồm n phần tử. Hỏi số tất cả các tập con của E là bao nhiêu.
11/ Từ các số 1, 2, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
12/ trong một bữa tiệc, có 7 nam và 5 nữ. Ngời ta muốn chọn ra 4 cặp (1 nam, 1 nữ) để khiêu vũ.

25