hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
***
Câu 1* (2,0 điểm). Cho hàm số:
4 2 2
2( 1) 1 (1)y x m x
= − + +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá
trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2* (1,0 điểm).
a) Giải phương trình :
sin 2 cos sin 1 ( )x x x x R
− + = ∈
b) Giải bất phương trình :
2
1
2
2
log log (2 ) 0 ( )x x R
 
− > ∈
 
.
Câu 3* (1,0 điểm). Tính tích phân
2
31
1
dx

∆
đều có cạnh bằng
a
,
'AA a
=

và đỉnh
'A
cách đều
, ,A B C
. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và
'A B
.
Tính theo
a
thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
và khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )AMN
.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( )S
có phương
trình
2 2 2
4 6 2 2 0x y z x y z
+ + − + − − =
. Lập phương trình mặt phẳng
( )P

một khoảng bằng
2
. Tính diện tích tam giác
ABC
.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình:
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)x x x x x
+ < + + −
(x
∈
R).
Câu10 (1,0 điểm). Cho các số thực
;x y
thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1 2P x y x x y x y
= + + + + + − + + −
.
Hết
trang 1
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐÁP ÁN
Câu 1.
(2 đ)
a) (Tự khảo sát)
b) y’ = 4x
3

V m y
+ ≥ ⇒ ≤

2
max( ) 0 1 1 0
CT
y m m
= ⇔ + = ⇔ =
0,5
0,5
Câu 2.
(1 đ)
a)
sin 2 cos sin 1 x x x− + =
(1)
(1) ⇔
(sin cos )(1 sin cos ) 0x x x x
− + − =
sin cos 0
1 sin cos 0
x x
x x
− =

⇔

+ − =


4

Điều kiện:
2 2
2
log (2 ) 0 2 1 1 1x x x
− > ⇔ − > ⇔ − < <
Khi đó (2) ⇔
2
2
2 2
1 1 1 1
1 1
log (2 ) 1
0
2 2 0
x x
x
x
x
x x
− < < − < <
 
− < <

− < ⇔ ⇔ ⇔
  
≠
− < >

 
Vậy tập nghiệm bpt là

3 3 1 1
( 1)
t dt
I dt
t t
t t
 
= = −
 ÷
− +
−
 
∫ ∫

3
2
1 1 1 1 2 1 1 3 2 2
ln ln ln ln
3 1 3 2 3 2
2 1
x
I
x
 
− − +
= = − =
 ÷
+
+
 

= −


2 3z i
= +
⇒
4
2
z i
z i
−
+
=
2
1
2
i
i
−
=
−

2 3z i
= −
⇒
4
2
z i
z i
−

3
4
ABC
a
S
∆
=
0,25
trang 2
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Thể tích khối lăng trụ
. ' ' 'ABC A B C
:
2 2
3 6 2
. ' .
4 3 4
ABC
a a a
V S A O
∆
= = =
 Ta có
[ ]
1
. ,( )
3
NAMC AMC
V S d N ABC
∆

2
a
AM AN= =
, nên
AMN
∆
cân tại A
Gọi E là trung điểm AM suy ra
AE MN
⊥
,
'
2 2
A C a
MN = =
2 2
2 2
3 11
4 16 4
a a a
AE AN NE⇒ = − = − =
;
2
1 11
.
2 16
AMN
a
S MN AE= =


=
r
là VTPT mp(P) ,
( )P
chứa Oy ⇒
2 2
0 ( ;0; ) ( 0)n j b n a c a c
⊥ ⇒ = ⇒ = + ≠
r r r
Phương trình mp(P):
0ax cz
+ =

(P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kinh
2 3r
=
⇒
[ ]
2 2
,( ) 2d I P R r
= − =
⇔
2 2 2 2
2 2
2
2 4 4 4 4
a c
a ac c a c
a c
+

=

Vậy phương trình mp(P) :
0x
=
hoặc
3 4 0x z
+ =
.
0,25
Câu 7.
(0,5 đ)
Số phần tử không gian mẫu là
4
4 4 4
12 8
( ) . . 34.650n C C C
Ω = =
Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau”
Số các kết quả thuận lợi của A là
3 3 3
9 6 3
( ) 3 .2 .1. 1080n A C C C
= =
Xác xuất của biến cố A là
( ) 1080 54
( ) 0,31
( 34650 173
n A
P A

4
x y
A
x y
− − =

⇔ − −

+ + =

Điểm C thuộc BC va MC = 2 suy ra tọa độ C là nghiệm hệ pt:
2 2
(1;1)
1; 1
4 3 1 0
31 33
31 33
;
;
( 2) 2
25 25
25 25
C
x y
x y
C
x y
x y

= =

thì A, C cùng phía với BE nên BE là phân giác
ngoài của tam giác ABC.
BC = 5,
49
( , )
20
AH d A BC
= =
. Do đó
49
8
ABC
S
=
(đvdt).
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 9.
(1 đ)
(
)
2 2
5 4 1 ( 2 4)x x x x x
+ < + + −
(*)
trang 4
A
B

1 5x
≥ − +
, chia hai vế cho x > 0, ta có:
(**) ⇒
2 2
2 4 2 4
4 3
x x x x
x x
+ − + −
> +

Đặt
2
2 4
, 0
x x
t t
x
+ −
= ≥
, ta có bpt:
2
4 3 0t t
− + <
1 3t
⇔ < <
2
2
2

, (**) luôn thỏa
Vậy tập nghiệm bpt (*) là
1 17 7 65
1 5;0 ;
2 2
S
 
− + +
 
= − − ∪
 ÷
 
 

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu10
.
(1 đ)
2 2 2 2
2 1 2 1 2P x y x x y x y
= + + + + + − + + −
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
⇔
2 2 2 2 2
( 1) ( 1) 4 4x y x y y
− + + + + ≥ +
⇒

=

Lập bảng biến thiên f(y) ⇒
( .2]
3
min ( ) 2 3
3
x
f y f
∈ −∞
 
= = +
 ÷
 
TH2: y ≥ 2:
2
( ) 2 1 2f y y y
= + + −
≥
2 5 2 3
> +
Vậy
2 3 ;P x y
≥ + ∀
.
Do đó
2 3MinP
= +
khi x = 0 ; y =
3