hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
4 2
3x 1y x
= − + +
có đồ thị (C)
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b*) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình
4 2
x 3x 0m
− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 2 ( 1,0 điểm).
a*) Giải phương trình:
sin 2 os2 2sin 1x c x x
− = −
.
b*) Tìm số phức Z thỏa mãn :
( ) ( )
1 . 2z z i
− +
là số thực và
2z i
− =
.
Câu 3* (0.5 điểm). Giải phương trình
( ) ( )
2 2

ò
Câu 6 ( 1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 2a,
góc
0
120BAD
∠ =
.Mặt bên (SAB) có
, 3SA a SB a
= =
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
G là trọng tâm tam giác SCD. Tính thể tích hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ G đến mặt
phẳng (SAB).
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
: 4 0d mx y m
+ − − =
và đường thẳng
: 2 9 0x y
∆ + + =
; điểm B(-3; 2). Gọi H là hình chiếu
của B trên d. Xác định tọa độ điểm H biết rằng khoảng cách từ H đến đường thẳng
∆
nhỏ
nhất.
Câu 8* ( 1,0 điểm ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2 2
:
3 2 2
∆
+ − −
= =

3
' 4x 6xy
= − +
;
3
0
6
' 0 4x 6x=0
2
6
2
x
y x
x


=


= ⇔ − + ⇔ =



= −


+ Giới hạn:
lim , lim
x x
y y

( ; )
2
+∞
.
+ Hàm số đạt cực đại tại
6
2
x = ±
,
D
13
4
C
y
=
, Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= 1
0.5
Bảng biến thiên 0.25
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0; 1), (-1; 3), (1; 3)
0.25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

b
4 2 4 2
x 3x 0 3 1 1m x x m
− + = ⇔ − + + = +
0.25
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng

4
t x x t
= + + ≥
Ta được phương trình :
2
1( )
2 0
2( )
t L
t t
t N
= −

− − = ⇔

=

0.25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Với
2
1 5
2
2 1 0
1 5
2
x
t x x
x


.
Ta có
(
)
2 2
2
2
2 2 2 2
2
+ = + ⇔ + − = ⇔ =
+ −
xy y x y x x y
x x
2
2
⇔ = + +
y x x
(1). Thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta có :

(
)
( )
2
2 2 2
2 2 1 2 3 2 4+ + + + + + = −x x x x x x x
( )
2 2
1 2 2 1 2 3 0⇔ + + + + + + + =x x x x x x
.
( ) ( ) ( ) ( )

¡
.
Mặt khác, phương trình (*) có dạng
1
( 1) ( ) 1
2
+ = − ⇔ + = − ⇔ = −
f x f x x x x
.
Thay
1
2
= −x
vào (1) ta tìm được
1
=
y
.Vậy hệ đã cho có nghiệm là
1
2
1.

= −



=

x
y

cosI x xdx
p
=
ò
 Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
ì ì
ï ï
= =
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
. Thay vào công thức tích phân từng
phần ta được:
0.25
0 0
2
0
0
sin sin 0 ( cos ) cos cos cos 0 2I x x xdx x x
p
p p p
p
= - = - - = = - = -

⊥

Tính được
3
2
a
SH =
,
0 2 3
.
2 . .sin120 2 3
ABCD ABD S ABCD
S S AB AD a V a
= = = ⇒ =
*) Tính d(G,(SAB))
Gọi
( ,( )) IS 3 2
( ,( )) ( ,( ))
( ( )) 2 3
d I SAB
SG CD I d G SAB d I SAB
d G SAB GS
∩ = ⇒ = = ⇒ =
.
Ta có
/ / / /( ) ( ,( )) ( ,( )) 3CD AB CD SAB d I SAB d C SAB a
⇒ ⇒ = =
.
0,25
0,25

2 2
( 1) ( 3) 5x y+ + − =
Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với
∆
. Khi đó d’ có pt:
2 5 0x y
− + =
.
0.25
Tọa độ giao điểm của d’ và (C) là nghiệm của hệ phương trình :
2 2
2 5 0
5
0
( 1) ( 3) 5
x y
y
x
x y
− + =
=


⇔
 
=
+ + − =


hoặc

2 2
= − +


= − ∈


= +

¡
x t
y t t
z t
Mặt phẳng (P) có VTPT
(1; 3; 2)=
r
n
0.25
Giả sử N(−1 + 3t ; 2 − 2t ; 2 + 2t) ∈ ∆ ⇒
(3 3; 2 ;2 2)
= − − −
uuuur
MN t t t
0.25
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
MN // (P) thỡ
. 0 7
= =
uuuur r
MN n t

100 99
. 9900n C C = =
+ Gi A l bin c : Trong hai s c ghi trờn 2 tm th cú ớt nht 1 s chia
ht cho 5
Ta cú:
( )
1 1 1 1
36 64 36 35
. . 3564n A C C C C
= + =
Vy :
( )
( )
( )
3564 9
0,36
9900 25
n A
P A
n
= = = =

0,25
0,25
Cõu 10
(1)
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng .
* Ta xét khi a > 1.
Hàm số y=
1 1

y z y z
y z z y
a a a a
+ +
(2)
z x z x
z x x z
a a a a
+ +
(3)
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta đợc
2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
+ + +
+ + + +
(4)
0,25
0,25
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Céng 2 vÕ cña (4) víi biÓu thøc
x y z
x y z
a a a
+ +
ta ®îc

1 1 1
3( ) ( )( )