SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những mục tiêu quan trọng trong quá trình đổi mới
phương pháp dạy và học ở bậc THPT là: Người thày phải cung cấp và
hướng dẫn cho học sinh những phương pháp học tập tích cực, cách thức
tiếp cận, lĩnh hội thông tin và tri thức một cách nhanh nhất, khả năng lưu
trữ thông tin bền vững nhất. Để thực hiện được mục tiêu đó quả là không
dễ chút nào đối với bộ môn Toán, đặc biệt là phần LƯỢNG GIÁC với sự
đa dạng về các loại toán và một khối lượng khổng lồ các công thức, đã
làm cho số đông học sinh luôn cảm thấy môn học này là khó.
Thực tế qua quá trình giảng dạy mấy năm vừa qua tôi nhận thấy khả
năng áp dụng công thức lượng giác vào giải toán của học sinh là rất yếu,
vì hầu hết các em không nhớ hoặc nhớ lơ mơ các công thức lượng giác
nên việc giải toán lượng giác của các em ngày càng gặp nhiều khó khăn.
Từ đó các em không còn hứng thú và thậm chí còn có cảm giác sợ hãi khi
học phần lượng giác. Để giúp các em giải quyết những khó khăn đó, tạo
niềm vui, hứng thú và thái độ tự tin trong học tập đồng thời phát huy khả
năng ghi nhớ kiến thức để áp dụng vào thực hành, và tính toán nhanh
trong các bài tập. Tôi đã quyết định tìm hiểu “Phương pháp giúp học
sinh ghi nhớ nhanh một số công thức lượng giác”.
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
1. Phạm vi:
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
- Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
- Các công thức lượng giác: Công thức cộng, công thức biến đổi tổng
thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng.
2. Đối tượng: Đối với học sinh khối THPT
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trang 1

SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
nhiều, phức tạp do vậy việc ghi nhớ một cách chính xác một khối lượng lớn
các công thức là việc rất khó khăn và mất rất nhiều thời gian nếu ta không có
phương pháp và cách thức học cụ thể và hợp lý. Bên cạnh đó đối với những
vần thơ, câu ca có vần có điệu, chứa đựng nội vui vẻ thì rất dễ đi sâu vào
lòng người, khiến người đọc dễ nhớ và nhớ lâu hơn.
II. THỰC TRẠNG
Đại đa số học sinh hiện nay vẫn giữ thói quen học thuộc lòng các công
thức một cách máy móc, mà số lượng công thức thì nhiều cho nên khả năng
nghi nhớ kiến thức không được nhiều, nhanh quên dễ nhầm lẫn giác công
thức này với công thức khác.
Đến khoảng 80% học sinh ngán ngẩm, không có hứng thú với phần
lượng giác, khả năng giải các bài tập áp dụng công thức còn hạn chế vì
không nắm vững công thức hay áp dụng sai công thức. Ngoài ra học sinh
còn chủ quan khi ỷ lại vào máy tính tay đã tạo cho học sinh tính lười biếng
trong tính toán nhanh các phép tính đơn giản.
III. GIẢI PHÁP
Hình thành cách học, cách ghi nhớ công thức lượng giác cho học sinh, từ
đó các em có thể tìm tòi thêm một số cách thức, qui tắc nhớ riêng cho mình.
Liên tưởng giữa thực tiễn cuộc sống hằng ngày vào bài học và từ bài học
vào thực tế để giảm bớt sự “khô khan” của môn toán.
IV. QUÁ TRÌNH NGHIÊN CỨU
1. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC
VUÔNG
a. Định nghĩa:
Cho tam giác ABC vuông tại A Với = . Khi đó:
sin = =
Trang 3
CA
C.kề

.BC = cos .BC.
Vậy: “ trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng sin góc đối hoặc cos góc
kề nhân với cạnh huyền ”
Như vậy với cách “mã hóa” từ công thức toán học thành ngôn ngữ văn thơ
sẽ giúp các em ghi nhớ các công thức một cách nhanh nhất và lâu nhất.
2. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT
Trang 4
C.đối
α
SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
a. Bảng giá trị lượng giác của các góc: 0
o
; 30
o
; 45
o
; 60
o
; 90
o

Tỉ số LG
0
o
30
o
45
o
60
o

Tức là nếu ta biểu diễn dãy số trên dưới dạng phân số thì tử số tăng dần từ
đến , còn mẫu số không đổi là 2.
Để xác định dãy các giá trị của cos (với = 0
o
; 30
o
; 45
o
; 60
o
; 90
o
) ta đảo lại
dãy các giá trị của sin .
Trang 5
SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Sau khi xác định xong các giá trị sin , cos thì dễ dàng xác định tan và
cot dựa vào công thức: tan ; cot .
 Chú ý: Nếu cos thì tan không xác định
Nếu sin thì cot không xác định.
Như vậy chỉ cần từ 1 đến 2 phút là các em đã có thể xây dựng được bảng giá trị
lượng giác như sau:
Tỉ số LG
0
o
30
o
45
o
60

“ cos ba sin sáu nửa phần căn ba ”
Tức là sin30
o
và cos60
0
bằng , còn cos30
0
sin60
o
bằng .
3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
a. Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của cung có liên quan đặc biệt
Trang 6
SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
a 1) Cung đối nhau và
cos( ) = cos
sins( ) = - sin
tan( ) = - tan
cot( ) = - cot
a 2) Cung bù nhau
và (
)
sins( ) = sin
cos( ) = - cos
tan( ) = - tan
cot( ) = - cot
a 3) Cung phụ nhau
và (
)
sin( ) = cos

 Do đó để ghi nhớ nhóm các công thức trên ta cần nhớ câu:
” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
b. Công thức cộng
cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb
sin(a - b) = sina cosb – cosa sinb
Cách thức để ghi nhớ bốn công thức này vẫn là cách tìm một vài điểm đặc
biệt nào đó và chuyển thể thành dạng văn nói sao cho có vần, có điệu để học sinh
dễ học, dễ nhớ chẳng hạn như:
“ cos cùng loài khác dấu
sin cùng dấu khác loài ”
Ở đây ta cần giải thích cho học sinh hiểu được như thế nào là cùng loài, khác
loài? Các tích: cosa cosb; sina sinb được gọi là cùng loài, còn các tích: sina
cosb; cosa sinb được gọi là khác loài. Còn khác dấu, cùng dấu thì chỉ cần hiểu
một cách nôm na là nếu bên trái dấu bằng là giá trị lượng giác của một tổng thì
bên phải dấu bằng sẽ là hiệu của các tích trên và ngược lại.
Trang 8
SKKN- ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GHI NHỚ NHANH MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 Chú ý: Cần lưu ý cho học sinh nắm được mức độ ưu tiên về “thứ tự “ của
các giá trị trong công thức sẽ phụ thuộc vào vế trái.
 Ví dụ: Khi triển khai công thức: cos(a+b) = cosa cosb – sina sinb vì vế trái
là cos(a+b) nên tích cosa cosb được viết trước rồi mới đến tích sina sinb
Còn trong công thức: sin(a+b) = sina cosb – cosa sinb (vì khác loai) mà vế
trái là sin(a+b) nên tích sina cosb được ưu tiên.
4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH, TÍCH THÀNH TỔNG
a. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos + cos = 2cos cos
cos - cos = -2sin
sin + sin = 2sin cos

bảng giá trị
lượng
giác của các
góc đặc
biệt ta có
Trang 10
A) sin30
0
cos60
0
=
B)
2
2
sin45
0
=
C) – cos(-135
0
) =
D) tan(x +
π
) =
E)
=
30cos
1
2
1) 1
2) – cos(135

α
C) sin (
α
π
−
2
) = cos
α
D) - tan(
α
−
) = tan
α
E) tan(
πα
+
) = tan(
α
π
−
)
F) cos (
βα
−
) = cos(
αβ
−
)
G) cos (
απ

) = -cot(
−
β
α
)
M) sin (
βα
−
) = sin(
αβ
−
)
N) sin (
απ
+
) = sin(
−
π
α
)
 Hướng dẫn: Áp dụng ” cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém bi tang ”
câu A B C D E F G H I J K L M N
Chọn S Đ S Đ Đ Đ Đ S Đ Đ Đ S Đ S
Ví dụ 3: Biết sin
α
= m và cos
β
= n.
Tính giá trị của biểu thức T = cos(
α

α
và
2
3
π
α
−
 Hướng dẫn:
cos(
2
3
π
α
−
) = cos(-(
α
π
−
2
3
)) = cos(
+
π
α
π
−
2
) ( CT đối)
= - cos(
α

α
π
−
2
) (CT hơn kém
π
)
= cos
α
(CT phụ)
tan(
2
3
π
α
−
) =
)
2
3
cos(
)
2
3
sin(
π
α
π
α
−

=
α
α
sin
cos
−
= - cot
α
Ví dụ 5: Hãy tính các giá trị lượng giác của góc 75
0
Hướng dẫn:
cos75
0
= cos( 45
0
+ 30
0
)
= cos45
0
cos30
0
- sin45
0
sin30
0
(CT cộng _cos cùng loài khác dấu)
=
)13(
4

)
2
1
2
3
(
2
2
+=+
tan75
0
=
32
13
13
+=
−
+
; cot75
0
=
32
13
13
−=
+
−
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
cos
α


cos
β
sin(
αγ
−
) =
)]sin()[sin(
2
1
αγβαγβ
+−−−+

cos
γ
sin(
βα
−
) =
)]sin()[sin(
2
1
βαγβαγ
+−−−+

Cộng vế với vế ba đẳng thức trên, ta suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 7: Đơn giản biểu thức sau: cos
2
(
α

4
) + cos(
α
π
−
4
)][cos(
α
π
+
4
) - cos(
α
π
−
4
)]
= 2cos
4
π
cos
α
.(-2 sin
4
π
sin
α
) = -2 sin
α
cos

sống thường ngày, giúp các em thấy được mối liên hệ mật thiết giữa toán học và
thực tiễn, mối liên hệ giữa toán học và các môn khoa học khác. Từ đó các em có
một cách nhìn và đánh giá khác về phần lượng giác không còn khó khăn như các
em thường suy nghĩ.
III. LỜI CẢM ƠN
Mặc dù đã hết sức cố gắng song không thể tránh được những thiếu sót. Rất
mong sự đóng góp ý kiến, trao đổi của các đồng nghiệp về các phương pháp giúp
học sinh ghi nhớ các công thức lượng giác.
Tôi xin chân thành cảm ơn BGH nhà trường, các tổ chuyên môn, các đồng nghiệp
trong hội đồng sư phạm, các giáo viên bộ môn Toán, Vật lí đã giúp đ‰ tôi hoàn
thành đề tài này.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. SGK Đại số 10 CB NXB GIÁO DỤC
2. SBT Đại số 10 CB NXB GIÁO DỤC
3. SGV Đại số 10 CB NXB GIÁO DỤC
4. Phương pháp giải toán lượng giác NXB ĐHQG HÀ NỘI
5. Để học tốt toán 10-Đại số NXB ĐHQG TP HỒ CHÍ MINH
E. MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………… 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ………………………………………………………… 1
1. Cơ sở lý luận …………………………………………………………… 1
2. Cơ sở thực tiễn …………………………………………………………………… 1
II. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU …………………………………… 1
III. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU …………………………………………… 2
IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU …………………………………………… 2
V. PHƯƠNG PHÁP VÀ TƯ LIỆU NGHIÊN CỨU ………………………………….2
1. Phương pháp ……………………………………………………………………….2
2. Tư liệu nghiên cứu ……………………………………………………………… 2
B. PHẦN NỘI DUNG ……………………………………………………………… 3
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN ………………………………………………………………….3