Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục
Bài giảng số 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Bài toán: Cho đồ thị
:
C y f x
và điểm
,
o o o
M x y C
. Viết phương trình tiếp tuyến
của tại
, .
o o o
và một số
k
.Viết phương trình tiếp tuyến của
C
có
hệ số góc là
k
.
Phương pháp:
+ Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với
:
C y f x
tại điểm có hoành độ
'
i i i
x f x k x
là nghiệm của phương trình
' .
x
góc
tan
k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: a .
d y x b k a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: a 1, 0.
d y x b ka a
+ Tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: a
d y x b
một góc
tan .
1
k a
d
đi qua
,
A a b
tiếp xúc với
:
C y f x
tại điểm có hoành độ
i
x
phương trình đường thẳng
d
có dạng
là
'
i i i
y f x x x f x
Cách 2:
+ Đường thẳng
d
đi qua
,
A a b
với hệ số góc
k
có phương trình là
y k x a b
.
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013
có nghiệm
' *
f x f x x a b
+ Giải phương trình
* , 1;2
i
x i
+ Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là
'
C
tại ba điểm phân biệt
, ,
A M N
sao cho hai tiếp tuyến của
C
tại
M
và
N
vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng
d
đi qua
2;0
A có dạng
2
y k x
có hai nghiệm phân biệt
2.
x
0
9
0.
2 0
4
k
f
Theo định lí Viet ta có
1
. 2
M N
M N
x x
x x k
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số
4 2
: 1.
C y f x x x
Tìm các điểm
A Oy
kẻ được bà tiếp tuyến
tới đồ thị
.
C
Lời giải:
Lấy bất kì
0;
A a Oy
. Đường thẳng
d
đi qua
có nghiệm.
* Điêu kiện cần
Ta có
,
f x f x x f x
là hàm chẵn
đồ thị
C
nhận
Oy
làm trục đối xứng.
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục
Do
A Oy
1
1 3
;
4 2 0
2 4
x a
x x a
x a
x x
* Điều kiện đủ
+ Nếu
1
a
thì
2 2
2
2
0; 0
0; 0
3 1 0
1 2
;
1 2
;
3 3 3
2 2 1
3 3
1 2
;
3 3 3
x k
x k
x x
x k
x
x k
k x x
x k
C
+ Nếu
3
4
a
thì
4 2 4 2 3
3 3
3 3
1 1 4 2
*
4 4
4 2 4 2
x x kx x x x x x
x x k x x k
4 2 2
A
kẻ được một tiếp tuyến tới
.
C
Vậy điểm
0;1
A thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
,
2 3
x
y
x
biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành,
trục tung lần lượt tại hai điểm
,
A B
x y
khi đó
2
1
' 1 1
2 3
o
o
y x
x
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục
Do
' 0
y
nên
2
1
1
.
OAB
+ Với
2 0
o o
x y
phương trình tiếp tuyến là
2 0 2.
y x y x
Ví dụ 4: Cho hàm số
1
: 1 .
1
C f x x
x
Tìm những điểm trên đồ thị
C
có hoành độ lớn hơn
1
1
y x
vì
lim 1 0.
x
f x x
+ Tọa độ giao điểm
I
của hai tiệm cận là
1;2 .
I
Giả sử
,
o o
Tọa độ giao điểm
A
của tiếp tuyến
d
và tiệm cận đứng là nghiệm của hệ
2 2
2
1
1
2
2
1;
2
1
1
1
1
o
o o o
o
o
o
o
o
o
Tọa độ giao điểm
B
của tiếp tuyến
d
và tiệm cận ngang là nghiệm của hệ
2 2
2
1
2 1
2
2 1;2
2
1
1
o
o o o
o o
o
o
o
o
y x
o o
x
AI y y
x x
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 8 1 2 2 1
B I B I o o o o
BI x x y y x x x BI x
2
. .2 2 1 4 2
1
o
o
AI BI x
x
2 2 2 2 2
2 . . os 2 .
4
AB AI BI AI BI c AI BI AI BI
C
, đạt được khi
AI BI
4
2 1
2 2 1 1
1
2
o o
o
x x
x
Vậy tọa độ điểm
M
cần tìm là
4
4 4
1 1
1 ;2 2
2 2
M
x x
M x N x
x x
là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau:
2
2
1
1
5
1
= kx+a (5')
( '')
( )
x
x
k
x
(6)
Vì
1 2
,
x x
là nghiệm của (**), nên áp dụng viet, ta có:
1 2
1 2
2 2
1
2
1
( )
( )
a
x x
a
a
x x
a
C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1 4
3 2 .
3 3
y x mx x
Tìm
m
để tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc
với đường thẳng
1
1.
3
y x
Đáp sô:
2
3
m
hoặc
2
3
m
3 2
1 1
.
3 2 3
m
y x x
Gọi
M
là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ bằng
1
.
Tìm
m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
M
song song với đường thẳng
5 0.
x y
Đáp số:
4
m
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1
Đáp số:
9 4 3; 7 4 3.
m m
Bài 6: Cho hàm số
4
2 2 1
y x mx m
có đồ thị là
m
C
.
a. Chứng minh rằng
m
C
luôn đi qua hai điểm cố định
A
và
.
B
b. Tìm
m
để hai tiếp tuyến tại
,
Gọi
A
là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số,
tìm
m
để tiếp tuyến tại
A
song song với đường thẳng
2 .
y x
Đáp số:
1.
m
Khoá học: Hàm số ôn thi đại học năm 2013 Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Giảng viên toán Học viện Quản lý giáo dục
Bài 9: Cho hàm số
2 3
.
1
x
y
y x
hoặc
4
y x
Bài 11: Cho hàm số
2
.
2 3
x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt
trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt
,
A B
và tam giác
OAB
cân tại
.
O
Đáp số:
2
y x
1 2
1
; 2 , 1;1
2
M M
Bài 13: Cho hàm số
1
.
1
x
y
x
Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm đó chỉ kẻ được đúng một
tiếp tuyến tới đồ thị hàm số.
Đáp số:
0;1 , 0; 1.
A A
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông
góc với đường thẳng
4 1
.
3 3
y x
Đáp số:
3 3
4 4
y x
hoặc
3 5
4 4
y x
Bài 16: Cho hàm số 1
2
m
y x
x
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có cực đại tại điểm
A
. Tìm những điểm trên
Oy
sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới
đồ thì hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Đáp số:
1 2
0; 3 15 , 0; 3 15
A A
Bài 18: Cho hàm số
2
.
1
x
y
x
Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ
Ox
y
để từ đó ta có thể kẻ
được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Đáp số:
A
Đáp sô:
1
y x
hoặc
3 3
9 3
25 5
y x
Bài 20: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2 1
,
1
x
y
x
biết tiếp tuyến này cắt trục
,
Ox Oy
lần lượt tại
,
A B
sao cho
4 .
OA OB
Copyright: Tài liệu đại học ©