A. Đặt vấn đề:
I. Lời mở đầu:
Giao duc va ao tao Viờt Nam trong nhng nm qua a kip tiờp cõn vi xu thờ
chung cua thi ai. Nghi quyờt Trung ng II a chi ro: "ụi mi manh me phng
phap giao duc ao tao, khc phuc lụi truyờn thu mụt chiờu, ren thanh nờp t duy sang
tao cua ngi hoc, tng bc ap dung cac phng phap tiờn tiờn va phng tiờn hiờn
ai vao qua trinh day hoc, am bao thi gian t hoc cho hoc sinh , sinh viờn ".
Day hoc toan thụng qua kiờn thc la phai day hoc sinh kha nng t duy: phõn tich,
tụng hp , tru tng hoa , cu thờ hoa, khai quat hoa , Trong o phõn tich tụng
hp co vai tro trung tõm. Phai day hoc sinh kha nng t tim toi, t phat hiờn va phat
biờu võn ờ, d oan c cac kờt qua, tim c hng giai quyờt mụt bai toan,
hng hng chng minh mt s nh lớ. c bit l trong dy toỏn v hm s v cỏc
bi toỏn liờn quan n hm s trong ú cú ch v tip tuyn ca th hm s.
Trong sáng kiến kinh nghiệm tôi chỉ tập trung vào bài toán tiếp tuyến của đồ th hàm
số mà không khai thác các dạng tiếp tuyến của các đờng côníc. Sáng kiến này cũng
không đi sâu vào việc chỉ ra các cách khác nhau để giải bài toán về tiếp tuyến của đồ
thị hàm số mà chỉ tập trung vào các cách làm đơn giản để học sinh có thể thành thạo
trong giải toán.
II. Thực trạng của vấn đề:
Bài toán về tiếp tuyến của hàm số có nhiều dạng khác nhau. Học sinh khi học phần
này thờng không nắm vững phơng pháp giải toán trong khi đó loại toán dạng này th-
ờng có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào các trờng Đại học, Cao
đẳng trong những năm gần đây. Do đó cần rèn luyện để học sinh thành thạo với bài
toán và khắc phục đợc những sai lầm khi làm bài tập loại này. Một sai lầm chủ yếu
khi học sinh viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nhầm giữa hai khái niệm
tiếp tuyến đi qua và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số. Vì vậy hệ thống
một cách đầy đủ và có phân loại là yêu câu cần thiết đối với chủ đề này.
Hiện nay bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã đợc đa xuống chơng trình lớp
11. Vì vậy đây là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong quá trình giảng dạy và là tài
liệu có hệ thống đầy đủ để học sinh học tập. Trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu
cũng nh trong việc giảng dạy đồng thời nhằm góp phần giảng dạy hiệu quả chủ đề tiếp

dễ đến khó để phù hợp với đối tợng học sinh.
Trong mỗi dạng có phơng pháp chung, các ví dụ mẫu cụ thể và hệ thống bài tập hợp
lí nhằm dẫn dắt học sinh trong quá trình học tập, tạo ra tinh thần học tập hứng thú cho
học sinh.
II.2 Phần nội dung cụ thể:
2
Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài toán 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm
)();(
000
CyxM
. Viết phờng trình tiếp
tuyến của (C) tại điểm
);(
000
yxM
.
2.Ph ơng pháp:
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại
);(
000
yxM
có dạng :
))(('
000
xxxfyy =
.
Ví dụ : Cho hàm số
53


1191897)2(97 === xyxyxy
3
O
y
y = f(x)
y
0
x
x
0
M
0
c) Ta có:





=
=
=
==+=
3
3
0
035535
33
x
x

Giải:
Gọi (x
0
; y
0
) là điểm cố định của đồ thị hàm số khi đó ta có:










=
=



=
=






=

y
x
y
x
yx
x
myxmx
mmmxxy
Ta có: y = 3x
2
+ 2mx
y(1) = 3 + 2m. Do đó phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(1; 0) là:

)1)(32(0 += xmy
hay
)32()32( ++= mxmy
(1)
Tơng tự phơng trình tiếp tuyến của (C) tại B(-1 ; -2 ) là:
mxmy 21)23( +=
. (2)
* Tìm quĩ tích giao điểm của hai tiếp tuyến khi m thay đổi:
Khử m từ phơng trình (1) và phơng trình (2) ta đợc:
x
xx
y
23
2

=
là quỹ tích cần

x
xM

+
.
2
0
0
)1(
2
)('


=
x
xy
Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M
0
có dạng:
1
1
)(
)1(
2
0
0
0
2
0




=
1
12
1
1
1
)(
)1(
2
0
0
0
0
2
0
y
xx
y
x
x
xx
x
y
Gọi
)1;12(
0
xC
.

x
Do tam giác ABC vuông tại A nên diện tích của tam giác ABC là:
412.
1
4
.
2
1
.
2
1
0
0
=

== x
x
ACABS
( Không đổi) (Điều phải chứng minh).
b) Ta có chu vi của tam giác ABC là:
2448)22(2
.2.22
22
+=+
++++=++=
p
ABACACABACABACABBCACABp
Dấu = khi và chỉ khi AB = AC
12
1

Bài tập 3: (HVBCVT A- 1999)
Cho hàm số:
23
23
+= xxy
(C).Tìm các điểm thuộc (C) mà qua đó kẻ đợc một và
chỉ một tiếp tuyến đến (C).
Giải:
Gọi
)()23;(
2
0
3
000
CxxxM +
.
Phơng trình tiếp tuyến (pttt) của (C) tại M
0
có dạng:

23)(
2
0
3
00
+= xxxxky
(d)
5
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại M
0

0)332)((
0
2
01
0
2
00
2
0
x
x
xx
xxxxxxxx
Điểm M
0
thoả mãn yêu cầu bài ra khi và chỉ khi:

1
2
3
0
0
021
=

== x
x
xxx
.
Vậy, trên (C) tồn tại duy nhất điểm M

2
2
2
3
3
mxx
x
mxxx
xmxxx
xmxx
xmxx
Ta có x + 1 = 0

x = -1

y = 2. Do đó điểm cố định là A( -1; 2).
b) Đồ thị (1) cắt đờng thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt A, B, C khi và chỉ khi phơng
trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1.
.
0
4
9
0
0)2(41
02)1()1(
0
2




2
) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số (1).
Ta có: y = 3x
2
- 3
33)(',33)('
2
22
2
11
== xxyxxy
. Tiếp tuyến tại B và tại C vuông góc với nhau
khi và chỉ khi:
6
y(x
1
).y(x
2
) = -1

01018)(9)(9
21
2
21
2
21
=+++ xxxxxx
Mà



=
x
x
y
(C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C),
trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Giải:
Ta có:
2
5
13
23*4
3 =
+

== yx
.

8
3
)3('
)1(
6
'
2
=
+
= y
x
y

5
)3(
8
3
3
0
3
0
+
+=
+
+=

= (
3
)3(
16
3
x
-
1ln6
2
3
++ xx
) =
16
99
2ln12
(đvdt).
Bài tập 6: (ĐH Huế A - 2000).

xyxy =




=
=+

+
+=
+
+
)(
2
)1(
1
1
)1(
1
1
21
21
2
2
2
1
lxx
xx
xx
7

. tính k
i
= f(x
i
) với
ni ;0=
,
thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến.
Ví dụ: Cho hàm số:
xxy 3
3
=
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A(-1; 2) tới đồ
thị (C).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; 2) có dạng: y = k(x +1) + 2 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=
++=
)2(33
)1(2)1(3
2
3
kx
xkxx

+) Với x =
4
9
2
1
= k
. Pttt là:
4
1
4
9


= xy
.
Bài tập 1:
Cho hàm số
3
43 xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua A(1; 3).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 3) có dạng: y = k( x -1) +3 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:






=

+)
30 == kx
. Pttt là: y = 3(x- 1) + 3 hay y = 3x.
+)
24)
2
3
(123
2
3
2
=== kx
.Pttt là: y = -24(x - 1) + 3 hay y = -24x + 27.
Kết luận: vậy có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 3) là:
y = 3x và y = -24x + 27.
Bài tập 2: (ĐH Cần Thơ D - 1998).
Cho hàm số
)(23
23
Cxxy +=
. Viết pttt của (C) đi qua A(-1; -2).
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(-1; -2) có dạng : y = k(x + 1) - 2 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=

1
1
2
C
x
xx
y
+
++
=
CMR: Có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1; 0) và
vuông góc với nhau.
Giải:
9
Phơng trình đờng thẳng qua A(1; 0) với hệ số góc k có dạng:
y = k(x -1) (d).
Ta có:
1
1
2
+
++
=
x
xx
y
1
1
1
+

xk
x
x
I
có nghiệm.
Từ (2)
)3()1(
1
1
1 +=
+
+ xk
x
x
Lấy (1) (3) ta đợc:
k
x
=
+1
1
Do đó







=
+



+
=

=





=+





=

)/(
2
51
)/(
2
51
0
01
0
1
0


=
+=+
kxx
kxxx
84
444
3
24
có nghiệm.
Suy ra
( )
48444
324
+=+ xxxxx










=
=
=
=
3

+) Với
9
316
3
2
=

= kx
.Pttt là:
4
9
316
+= xy
.
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến qua A(0; 4) đến đồ thị (C).
Bài tập 5:
Cho hàm số:
1
2

+
=
x
x
y
(C) và điểm A(0; a). Xác định a để từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến
đến (C) sao cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm về hai phía so với trục Ox
Giải:
Phơng trình đờng thẳng qua A(0; a) có dạng: y = kx + a (d)
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:

2
2
=++++


=

+
axaxaax
x
x
x
( x = 1 không là nghiệm).
Qua A kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai
nghiệm phân biệt
(**)
2
1
0)2(3
1
0'
01



>





1)(
4)(2
0
1
2
.
1
2
2121
2121
2
2
1
1
<
++
+++
<

+

+

xxxx
xxxx
x
x
x
x
Theo định lí viet ta có:

21





<
>
<

+
<
+
++

5
4
.
1
0
1
45
0
12
44
t
t
t
t
tt

4
<<

<

+


<

+


< a
a
a
a
a
t
(thoả mãn (**)).
11
Vậy,




<<

>
1

3
dkxy +=
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:





=
+=+
kxx
kxxx
62
2
3
2
3
3
2
1
3
24
có nghiệm.
Suy ra





=

. Pttt là: y =
2
3
22 +x
.
Kết luận: Vậy có ba tiếp tuyến kẻ từ
)
2
3
;0(A
đến đến thị (C).
* Lời bình: Đối với bài toán này học sinh thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua
và tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C). Vì
vậy qua bài tập này phải cho học sinh nhận rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác
nhau rõ rệt.
Bài tập 7: (ĐH Ngoại thơng A - 2000).
Cho hàm số
196
23
+= xxxy
(C). Từ một điểm bất kì trên đờng thẳng x = 2 có
thể kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Giải
Gọi điểm B(2; b) là điểm bất kì nằm trên đờng thẳng x = 2.Phơng trình đờng thẳng
qua B(2; b) có dạng: y = k(x - 2) +b (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:





1724122
23
+= xxxy
tại duy nhất một điểm hay phơng trình (*) có duy nhất một
nghiệm.
Vậy, từ một điểm nằm trên đờng thẳng x = 2 kẻ đợc một và chỉ một tiếp tuyến đến
đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH Nông nghiệp I A- 1999).
Cho hàm số
1+
=
x
x
y
(C). Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm
số. CMR: không có tiếp tuyến nào đi qua I.
Giải:
Ta có tiệm cận đứng x = -1.
Tiệm cận ngang y = 1. Do đó toạ độ giao điểm của hai đờng tiệm cận là: I(-1; 1).
Phơng trình đờng thẳng qua I(-1; 1) có dạng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

21
1
1
1
1)1(
)1(
1
1

x
x
x
k
x
xk
x
x
(vô nghiệm).
(điều phải chứng minh).
Bài tập 9:
Cho hàm số
1
1
2
+

=
x
xx
y
(C). Tìm các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Giải:
Viết lại y dới dạng
1
1
2
+
+=

=
+

+=
+
+
kkx
x
x
bkx
x
x
k
x
bkx
x
x
1
1
1
1
1
2
)1(
1
1
1
1
2
2

=
+

)2(
)1(
1
1
)1(
2
3
1
1
2
k
x
kb
x
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn (2)



=+++
+











+++++
>

084
0)4)3(()1(
04)3()3)(1(2)3(
0'
22
22
b
bb
bbbb




<

2
1
b
b
Vậy, Các điểm trên trục tung có tung độ bé hơn -1 và khác -2 thì từ đó kẻ đợc 2 tiếp
tuyến đến đồ thị (C).
Bài toán 3: Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ số cho trớc.
1. Bài toán:
Cho hàm số y = f(x) (C) và số k

3
;
3
2
;45;30;15
000









Khi đó hệ số góc k =

tan
.
*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b. Khi đó hệ số góc k = a.
*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): y = ax + b
a
kka
1
1

==
.
*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y = ax + b một góc


Ví dụ 2:
Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
13
23
+= xxy
(C). Biết tiếp tuyến đó
song song với đờng thẳng y = 9x + 2009.
Giải:
Ta có
xxy 63'
2
=
.
Do tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 9x + 2009 nên tiếp tuyến có hệ số
góc k = 9
963
2
= xx
.




=
=
=
3
1
032
2

= xy
. Do tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng
xy
9
1
=
nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 9.
Do đó
.24933'
22
==== xxxky
+) Với x = 2
4= y
. Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:
.1494)2(9 =+= xyxy
+) Với
02 == yx
. Pttt tại điểm có hoành độ x = - 2 là:
1890)2(9 +=++= xyxy
.
Vậy, có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đờng thẳng
xy
9
1
=
là:
y =9x - 14 và y = 9x + 18.
15
Bài tập 2:
Viết pttt của đồ thị hàm số







=
+=
=+=
+
=
+

2
1
1
2
1
1
2
1
)1(2
)1(
1
1
)1(
1
1
2
22

+
=
x
x
y
(C). Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với
đờng thẳng y = - x.
Giải:
Ta có
2
)1(
3
'
+

=
x
y
. Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng k = -1 nên:





=
+=
=
+

31

++= xxxy
(C). Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của
(C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Giải:
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm bất kì của đồ thị (C) là:
k =
963'
2
+= xxy
16

66'' += xy
10660'' ==+= xxy
Xét dấu y tìm đợc điểm uốn U(-1; 14).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn là: k
1
= -12.
Bảng biến thiên của hàm số
963'
2
+= xxy
x

-1
+
y - 0 +
y
+

+

0
22
0
0
2
22
)(
22
)('
)(
22
'
mx
mxmmx
xy
mx
mxmmx
y


=


=
.
Yêu cầu bài toán là tìm x
0
để y(x
0
) = k ( hằng số)

2
0
2
0
0
22
0
kx
xkx
kx
mkxmxkxmkx
mk
mx
mxmmx
Ta có : (3)



=
=

0
0
0
x
k
+) Với x
0
= 0 suy ra k = -2 (thoả mãn).
+) Với k = 0

(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3).
Bài tập 2:
Cho hàm số:
)1(
1
12
+

=
x
x
y
. Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng
thẳng y = 3x.
Bài tập 3:
Viết pttt của đồ thị hàm số:
23
23
+= xxy
tại điểm có hoành độ x = 3.
Bài tập 4:
Cho hàm số
43
23
+= xxy
(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đ-
ờng thẳng
0109 =+ yx
.
Bài tập 5:

(C). Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm
cận xiên của đồ thị (C).
Bài tập 8: (ĐH khối B 2008).
Cho hàm số
164
3
+= xxy
(C). viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9).
Bài tập 9: (ĐH khối D - 2007).
Cho hàm số
1
2
+
=
x
x
y
(C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
.
B i tập 10 : (Đề thi tốt nghiệp THPT Năm 2008).
Cho hàm số
24
2xxy =
(C). Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành
độ x = -2.
Bài tập 11:
Cho hàm số

năm học 2008 - 2009
của trờng THPT Cẩm Thuỷ 3 kết quả đạt đợc nh sau:
I. Về phía giáo viên:
- Đã dễ dàng hơn trong việc hớng dẫn học sinh tiếp cận các dạng toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số.
- Xét ở một góc độ nào đó, đây là tài liệu tham khảo có hệ thống cho giáo viên giảng
dạy bộ môn toán.
- Hớng dẫn học sinh làm rõ đợc cách giải toán, tránh nhầm lẫn giữa các khái niệm.
II. Về phía học sinh:
- Tiếp cận đợc các khái niệm về tiếp tuyến của đồ thị hàm số một cách dễ dàng.
- Với hệ thống đầy đủ các dạng về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đợc sắp xếp theo thứ
tự từ dễ đến khó làm cho học sinh hứng thú trong học tập. Đặc biệt là giúp cho học
sinh nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu. Kết quả khảo sát cho thấy khoảng 70%
học sinh sau khi tiếp cận đầy đủ tài liệu này đều làm thành công bài toán về tiếp tuyến
của đồ thị hàm số, qua đó nâng cao điểm toán của học sinh trong các kì thi tốt nghiệp
hoặc thi Đại học, Cao đẳng góp phần nâng cao tỷ lệ trúng tuyển của nhà trờng trong
những năm qua.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhng do thời gian có hạn, kinh nghiệm nghiên cứu và ứng
dụng sáng kiến còn hạn chế, không liên tục và mang tính đại trà nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót và mang tính chủ quan. Tác giả đề tài mong nhận đợc ý
kiến đóng góp của quý thầy cô để sáng kiến đợc hoàn thiện hơn./.
19
Tài liệu tham khảo
1. Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán của Trần Phơng (NXB Hà
Nội).
2. Tuyển tập các đề thi Đại học, Cao đẳng môn toán.
3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 (NXB Giáo Dục - 2007).
4. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 (NXB Giáo Dục - 2007).
5. Đề thi tốt nghiệp THPT các năm gần đây và tham khảo tài liệu trên mạng.
20