Trn S Tựng i s 11
Trang 71 1. nh ngha o hm ti mt im
ã Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a; b) v x
0

ẻ
(a; b):

xx
fxfx
fx
xx
0
0
0
0
()()
'()lim
đ
-
=
-
=
x
y

+ Khi ú phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = f(x) ti
(
)
Mxy
00
;
l:
y y
0
= f
Â
(x
0
).(x x
0
)
ã í ngha vt lớ:
+ Vn tc tc thi ca chuyn ng thng xỏc nh bi phng trỡnh s = s(t) ti thi im
t
0
l v(t
0
) = s
Â
(t
0
).
+ Cng tc thi ca in lng Q = Q(t) ti thi im t
0
l I(t

uv uv
()
ÂÂÂ
=

uv uv vu
()
ÂÂÂ
=+
uuvvu
v
v
2
Â
ổử
Â-Â
=
ỗữ
ốứ
(v ạ 0)

ku ku
()
ÂÂ
=
v
v
v
2
1

;
xx
ux
ux
0
sin()
lim1
()
đ
=
(vi
xx
ux
0
lim()0
đ
=
)
ã (sinx)Â = cosx (cosx)Â = sinx
( )
x
x
2
1
tan
cos
Â=
( )
x
x

fxfx
()(1)
()()
-
Â
ộự
=
ởỷ
(n ẻ N, n 4)
ã í ngha c hc:
Gia tc tc thi ca chuyn ng s = f(t) ti thi im t
0
l a(t
0
) = f
ÂÂ
(t
0
).

CHNG V
O HM
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trang 72

VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x

()22
==-+
tại x
0
1
=
b)
yfxx
()32
==-
tại x
0
= –3
c)
x
yfx
x
21
()
1
+
==
-
tại x
0
= 2 d)
yfxx
()sin
==
tại x

b)
fxxx
3
()2
=-
c) fxxx
()1,(1)
=+>-

d) fx
x
1
()
23
=
-
e)
fxx
()sin
=
f) fx
x
1
()
cos
=


(3)(2)
=+-
f)
( )
yx
x
1
11
æö
=+-
ç÷
èø

g) y
x
3
21
=
+
h)
x
y
x
21
13
+
=
-
i)
xx

m)
x
y
xx
2
2
2
23
=Baøi 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
24
(1)
=++ b)
yx
25
(12)
=- c)
3211
(2 1)
=-+yxx
d)
25
(2)
=-
yxx
e)
( )

+
=
ç÷
-
èø
i)
3
2
3
2
æö
=-
ç÷
èø
y
x

Baøi 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
2
252
=-+
b) yxx
3
2
=-+
c)
yxx
=+
d) yxx

=
+
i)
x
y
x
2
4 +
=
Baứi 4: Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
x
y
x
2
sin
1cos
ổử
=
ỗữ
+
ốứ
b)
yxx
.cos
=
c) yx
3
sin(21)
=+

1
cos
1
ổử
+
=
ỗữ
ỗữ
-
ốứ
l)
yxxx
35
21
tan2tan2tan2
35
=++
Baứi 5: Cho n l s nguyờn dng. Chng minh rng:
a)
nn
xnxnxnx
1
(sin.cos)'sin.cos(1)
-
=+ b)
nn
xnxnxnx
1
(sin.sin)'.sin.sin(1)
-

2. Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C), bit tip tuyn cú h s gúc k:
+ Gi x
0
l hnh ca tip im. Ta cú:
fxk
0
()
Â=
(ý ngha hỡnh hc ca o hm)
+ Gii phng trỡnh trờn tỡm x
0
, ri tỡm
yfx
00
().
=
+ Vit phng trỡnh tip tuyn theo cụng thc (*)
3. Vit phng trỡnh tip tuyn (d) vi (C), bit (d) i qua im A(x
1
, y
1
) cho trc:
+ Gi (x
0
, y
0
) l tip im (vi y
0
= f(x
0

ÔÔị=
+
d
dk
a
1
()()
D
^ị=-
Baứi 1: Cho hm s (C): yfxxx
2
()23.
==-+
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C):
a) Ti im thuc (C) cú honh x
0
= 1.
b) Song song vi ng thng 4x 2y + 5 = 0.
c) Vuụng gúc vi ng thng x + 4y = 0.
d) Vuụng gúc vi ng phõn giỏc th nht ca gúc hp bi cỏc trc ta .
Baứi 2: Cho hm s
xx
yfx
x
2
2
()

e) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
D: 2x + 2y 5 = 0.
Baứi 4: Cho hm s (C):
yxx
32
3.
=-
a) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th (C) ti im I(1, 2).
b) Chng minh rng cỏc tip tuyn khỏc ca th (C) khụng i qua I.
Baứi 5: Cho hm s (C):
yxx
2
1.
= Tỡm phng trỡnh tip tuyn vi (C):
a) Ti im cú honh x
0
=
1
.
2

b) Song song vi ng thng x + 2y = 0.

VN 4: Tớnh o hm cp cao
1. tớnh o hm cp 2, 3, 4, ta dựng cụng thc:
( )
nn


Baứi 2: Tớnh o hm ca cỏc hm s n cp c ch ra:
a)
yxy
cos,'''
=
b)
yxxxxy
432
52547,''
=-+-+ c)
x
yy
x
3
,''
4
-
=
+

d)
yxxy
2
2,''
=- e)
yxxy
sin,''
=
f)

1
1(1)!
1
(1)
+
ổử
-
=
ỗữ
+
+
ốứ
b)
n
n
xx
()
.
(sin)sin
2
p
ổử
=+
ỗữ
ốứ
c)
n
n
xx
()

-

d)
x
y
x
1
1
-
=
+
e)
yx
2
sin
= f)
yxx
44
sincos
=+
Trn S Tựng i s 11
Trang 75

Baứi 5: Chng minh cỏc h thc sau vi cỏc hm s c ch ra:
a)
yxx
xyyxxy
sin
''2('sin)0
ỡ

d)
x
y
x
yyy
2
3
4
2(1)''
ỡ
-
=
ù
ớ+
ù
Â
=-
ợ
VN 5: Tớnh gii hn dng
xx
ux
ux
0
sin()
lim
()
đ

đ
b)
x
x
x
2
0
1cos
lim
đ
-
c)
x
x
x
0
tan2
lim
sin5
đ
d)
x
xx
x
4
cossin
lim
cos2
p
đ

g)
x
xx
2
limtan
2
p
p
đ
ổử
-
ỗữ
ốứ
h)
x
x
x
6
sin
6
lim
3
cos
2
p
p
đ
ổử
-
ỗữ

()sin
46
=
e)
x
fxx
3
()1sin()2cos
2
p
p
+
=-++ f)
fxxxxx
()sin33cos33(cos3sin)
=-+-
Baứi 2: Gii phng trỡnh
fxgx
'()()
=
vi:
a)
fxx
gxx
4
()sin3
()sin6
ỡ
=
ớ

d)
x
fxx
x
gxxx
2
()4cos
2
()8cos32sin
2
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ

Baứi 3: Gii bt phng trỡnh
fxgx
'()'()
>
vi:
a) fxxxgxxx
32
()2,()32
=+-=++ b)
2
()28,()
= =

b)
mxmx
fxvôùifxmx
32
'()0()(1)15
32
<=-++-

Baøi 5: Cho hàm số
32
23.
yxxmx
=-+-
Tìm m để:
a)
'()
fx
bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b)
'()0
fx
³
với mọi x.
Baøi 6: Cho hàm số
32
()(3)2.
32
mxmx
fxmx
=-+ +

Trần Sĩ Tùng Đại số 11
Trang 77

BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
32
(4)

y
x
2
32
23
-+
=
-
h) y
xx
2
1
2
=
-
i)
22
32
yx
()
=-
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
42
37
=-+
b)
yx
2
1

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) yxx
3
sin(2)
=-+
b)
yx
tan(cos)
=
c)
xx
y
xx
sin
sin
=+
d)
xx
y
xx
sincos
sincos
+
=
-
e) yxx
2
cot(1)
=-
f) yxx

45
():
2
++
=
+
tại điểm có hoành độ x
0
0.
=

c)
Cyx
():21
=+
biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
1
.
3
=

Bài 5: Cho hàm số yxx
32
52
=-+
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)
sao cho tiếp tuyến đó:
a) Song song với đường thẳng
yx
31.

b) Cho hai hàm số
fxxx
44
()sincos
=+ và
gxx
1
()cos4.
4
= So sánh
fx
'()
và
gx
'()
.
Bài 7: Tìm m để
fxxR
()0,
¢
>"Î
, với:
a) fxxmxx
32
()(1)21.
=+-++
b)
fxxmxxmx
1
()sinsin2sin32