Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
BÀI GIẢNG SỐ 02: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) bằng phương pháp đổi biến ta thực hiện theo các
bước sau:
Bước 1: Chọn u = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định
( )
x u
( nếu
có thể)
Bước 2: Xác định vi phân
'( )
dx u du
Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo u và du. Giả sử rằng f(x)dx = g(u)du
Bước 4: Khi đó
( ) ( )
f x dx g u du
Luu ý: Các dấu hiệu dẫn đến việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là
Bài toán 1: Phương pháp đổi biến dạng 1
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm
2
dt = - 6xdx, ta được:
3 2 8 2 2 8 8 9 8
2 1 1
(2 3 ) (2 3 ) . . 2
3 6 18
t
x x dx x x xdx t dt t t dt
Khi đó: I =
9 8 10 9 10 9
1 1 1 2 1 1
2
18 18 10 9 180 81
t t dt t t C t t C
t t dt
t
x
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó:
2
4 2 5 3
2 4
2 2 1
5 3
1
x dx
t t dt t t t C
x
4 2
c. Đặt
2 2
2
1
2
2
x x
x
dx
t e dt e dt
e
2
2
2 2 2
2 1
2 1
1 1
1 1
x
x
x x x
x
x
dx dx e dx tdt
dt
t t
2 2
1
2 1 2 ln 1
1
x x
I dt e e C
t
Chú ý: Chúng ta có thể sử dụng cách đặt
4 6 2
1 . . 2 2
t t tdt t t dt
Khi đó: I
6 2 7 3 6 2
1 1 2
2 2 3 7
7 3 21
t t dt t t C t t t C
=
3
2
3cos 7cos cos
21
Luu ý : Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm
a.
3
2
1
dx
x
b.
1 2
x x dx
Bài giải:
a. Đặt x = sint,
2 2
t
cos
dx tdt
Khi đó:
2 2 2
1 1 1
sin 1 sin sin 2 sin 2 1 cos4 sin 4
2 2 4
I t t tdt tdt t dt t t C
2
1 1 1 1
sin 2 .cos2 arccos 3 2 3 2 1 3 2
2 8 4 8
t t t C x x x C
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã dung phép biến đổi:
Bước 3: Khi đó: I = uv -
vdu
Luu ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của chúng ta tuân thủ
các nguyên tắc sau
a. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định dễ dàng
b. Tích phân bất định
vdu
được xác định một các dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu
Bài toán 1: Tính I =
( )sin
P x x dx
hoặc
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 2: Khi đó I =
1 1
( )cos '( )cos
P x P x xdx
Bước 3: Tiếp tục các bước trên ta “ khử” được đa thức
Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất định ). Ta thực hiện theo các bước
Bước 1: Có ( )cos ( )sin ( )cos
P x xdx A x x B x x C
x xdx
b. I =
3 2
2 3 sin x
x x x dx
Bài giải:
a. Ta có I =
2
1 cos2 1 1 1 1
cos2 cos2
2 2 2 4 2
x
x dx xdx x xdx x x xdx
Xét J = cos2
x xdx
, đặt:
Vậy I =
2
1 1
sin 2 cos2
4 4 8
x
x x x C
b. Ta có: I =
3 2
2 3 sin x
x x x dx
=
3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2
cos sin
a x b x c x d x a x b x c x d x C
1 2
1 2
0
3 0
2 0
0
a
a b
b c
c d
(I) và
1
2 1
2 1
2 1
1
3 1
2 2
3
Bài toán 2: Tính I = ( )
x
P x e dx
, với P là một đa thức thuộc
,
R X R
Phương pháp:
Cách 1: ( Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước:
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Bước 1: Đặt
'( )
( )
1
x
x
du P x dx
u P x
Bước 1: Ta có: I = ( ) ( )
x x
P x e dx A x e C
(1)
trong đó A(x) là đa thức cùng bậc với P(x)
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được
( ) ' ( )
x x
P x e A x A x e
(2)
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta xác định được A(x
Bước 3: Kết luận
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x)
3
ta thấy ngay cách 1 quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện
việc lấy tích phân từng phần nhiều hơn 3 lần. Do đó:
Nếu bậc của P(x)
2
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó I =
3 3 3 3
1 1 1 1
3 3 3 9
x x x x
xe e dx xe e C
b. Ta có:
a
a b
a b
c
b c
d
c d
Khi đó I =
3 2 2
2 3
x
( )
( )ln
J
P x dx
I P x x
x
Bước 2: Nguyên hàm của J được xác định bằng cách chia đa thức
Ví dụ 5: Tính
a. I =
ln , \ 1
x xdx R
Khi đó: I =
1 1 1
2
ln ln
1 1 1
1
x x x x
x dx x C
2
1
ln2 ln 2
3 3 3 9
x x x
x x dx x C
Bài toán 4: Tính I =
ax
sin( )
e bx dx
hoặc
ax
cos( )
e bx dx
, với
, 0
a b
Phương pháp:
Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt
ax
ax
sin( )
Bước 2: Xét J =
ax
sin( )
e bx dx
, đặt:
ax
ax
cos( )
sin( )
1
du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a
Khi đó J =
cos ( ) cos( ) sin( )
e x bx dx A bx B bx e C
, trong đó A, B là các hằng số
Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế ta được
ax ax ax
cos( ) Asin( ) cos( ) cos( ) sin
e bx b bx B bx e a A bx B Bx e
=
ax
Aa cos( ) ( )sin( )
Bb bx Ba Ab bx e
Đồng nhất đẳng thức ta được:
2 2
2 2
Aa 1
0
C
a b
Chú ý:
1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trị của một cặp tích phân:
ax
1
cos( )
I e bx dx
và
ax
2
sin( )
I e bx dx
ta lựa chọn cách sau:
Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, đặt
ax
ax
sin( )
cos( )
1
2
, đặt
ax
ax
cos( )
sin( )
1
du b bx dx
u bx
v e
dv e dx
a
Khóa học: Các dạng tích phân ôn thi đại học
Bài giảng độc quyền bởi
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Vũ Thanh Hà
Khi đó I
2 2
sin( ) cos( )a bx b bx e
I C
a b
2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân:
J
1
=
ax 2
sin ( )
e bx dx
và J
2
=
ax 2
cos ( )
e bx dx
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm I =
2
cos
x
e xdx
cos2 2 sin 2
x x
J e x e xdx
(2)
Xét K = sin 2
x
e xdx
, đặt
sin 2 2cos2
x x
u x du xdx
dv e dx v e
sin 2 2 cos2 sin 2 2
x x x
K e x e xdx e x J
(3)
Thay (3) vào (2)
2
5 2
3
1 2
x x dx
b.
3
2
cos .sin
1 sin
x x
dx
x
c. I =
2
8
cos
sin
x
dx
x
d.
I =
2
4 2 2
3
3
20 4 3 1 2
320
x x x C
b. HD: Đặt
2 2 2
1
1 sin 1 sin ln 1 sin
2
t x I x x C
f. HD: Xét 2 trường hợp
TH1: Với
1 0
1
2 0
x
x
x
.
Ta đặt
1 2 2ln 1 2
t x x I x x C
TH2: Với
1 0
2
2 0
x
x
1
1
x
dx
x
ĐS:
a. Đặt x = tant,
2
sin
2 2
1
x
t I t C C
x
b. Đặt x = cos2t,
2 2
0 2 1 os 2 arccos 1
2
t I t c t C x x C
ĐS:
a. HD: Đặt
2
ln cos
ln cos t anx t anx
cos
u x
I x x C
dx
dv
x
b. HD: Đặt
2
2 2
I x x C
dv dx
Copyright: Tài liệu đại học ©