ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2009
A. PHẦN DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
3 2
2 7 4.y x x x= - - -
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy nhất một
tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình
2
2sin 3 1 8sin 2 cos 2 .
4
π
x x x
æ ö
÷
ç
+ = +
÷
ç
÷
ç
è ø

b) Giải phương trình
2
2 2 2
2 6 4
4 2 3

2
2
2
a
BD ,CE a= =
nằm cùng phía với
( )
.
α
Chứng
minh rằng
ADE∆
vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
ADE .
b) Cho tam giác
ABC
không tù thỏa mãn điều kiện
2 2 2 2 2 3+ + =cos A cos B cos C .

Tìm số đo các góc của tam giác
ABC.
B. PHẦN DÀNH CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn
Câu Va (2 điểm)
a) Cho elíp
( )

1x xy y .− + ≤
Chứng minh rằng
2 2
2 2
2 4 1 2 3
2 4 1 2 3
x xy y
.
x xy y

+ − ≥ − −


+ − ≤ − +


ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ SỐ 3 TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2009
Câu I 2 điểm
a) Học sinh tự làm 1.0
b)
Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ được duy
nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Gọi điểm
( )
( )
3 2
0 0 0 0
2 7 4M x ; x x x C− − − ∈ ⇒
Phương trình đường thẳng d qua

2 2 2 0
f x
x x x x x x x
 
− − + − + =
 
1444444444442 444444444443
Để có một tiếp tuyến duy nhất thì
( )
0f x =
hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm
kép bằng
0
x .
0,25
Trường hợp 1:
( )
2
0
3 2 0x∆ = − < ⇒
Vô lý.
Trường hợp 2:
0 0
0
0
2 250
3 27
2
x y .
b

÷
ç
÷
ç
è ø
• Điều kiện
3 0
4
π
sin x .
æ ö
÷
ç
+ ³
÷
ç
÷
ç
è ø
Bình phương hai vế phương trình đã cho ta được:
( )
3
2 1 6 1 8 2 8 2sin x sin x sin x+ = + -Û
0,25
( )
3 3
2 2 3 2 4 2 1 8 2 8 2
1
2
2

2
12
x l .
π
π
= +
0,25
• Xét họ nghiệm
5
12
π
x mπ.= +
Kết hợp với điều kiện
3 0
4
π
sin x
æ ö
÷
ç
+ ³
÷
ç
÷
ç
è ø
ta
suy ra
5
2 1

0,25
• Đặt
2
2
2 2
4 4 6 18 9 4 18 0
3 3
t t
t t t
t log x . . .
   
= ⇒ − = ⇔ − − =
 ÷  ÷
   
0,25
• Đặt
9 1
2
2
0
4 4
3
2
t
a t x
a
a

= ⇒ = − ⇒ =
 

0,25
•
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 3
1 2 1 0
2 1 0 4
x y
x y x y .
x y

+ =
⇔ + − − = ⇔

− − =


0.25
• Từ (3) và (2) ta có
0
2 1 2 2
x y
x y y x x y
+ =



− − = −


2 3 2009 2010S C C C C C= + + + + +
• Ta có
( )
0 1 2 2 1 1
1
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
− −
+ = + + + + +
0,25
• Nhân hai vế với x ta được
( )
0 1 2 2 3 1 1
1
n
n n n n
n n n n n
x x C x C x C x C x C x
− +
+ = + + + + +
0,25
• Đạo hàm hai vế ta được
( ) ( ) ( )
1
0 1 2 2 1 1
1 1 2 3 1
n n
n n n n

phía với
( )
.
α
Chứng minh rằng
ADE∆
vuông và tìm góc tạo bởi hai mặt
phẳng
( )
α
và
( )
ADE .
Ta có
2
2
2 6
2 2
a a
AD a .
 
= + =
 ÷
 ÷
 
Tương tự
6
3
2
a

ϕ
= = =
0,5
b)
Cho tam giác
ABC
không tù thỏa mãn điều kiện
2 2 2 2 2 3+ + =cos A cos B cos C .
Tìm số đo các góc của tam giác
ABC.
Đặt
2 2 2 2 2 3= + + −M cos A cos B cos C
.
Ta có
2
2 4 2 4
2 2
A B C
M cos A sin cos
−
= + −
0,25
Mà
ABC
∆
nhọn nên
2
cos A cosA<
và
2 2 2

tam giác OAB nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến
∆
tại
( ) ( )
0 0
0 0
1
9 4
x x y y
M x ; y E : .∈ + =
Ta có
0 0
9 4
0 0Ox A ; ; Oy B ; .
x y
   
∆ ∩ = ∆∩ =
 ÷  ÷
   

0,25
Do đó
0 0 0 0
9 4 18
OAB
OA ;OB S
x y x . y
= = ⇒ =
.

M ; ; M ; .
x y

=

   

⇔ ± ±
 ÷  ÷

 ÷  ÷
   

+ =


0,25
b)
Cho hai số thực x, y thỏa mãn
2 2
x y x y.+ ≤ +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
2P x y.= +
2 2
2 2
1 1 1
2 2 2
x y x y x y .
   

 ÷
       
 
 
1 1 5 10
2
2 2 2 2
x y .
   
⇒ − + − ≤ =
 ÷  ÷
   
0.25
Do đó
3 10
2
P .
+
≤
Vậy
3 10
2
max
P .
+
=
0.25
Dấu
" "=
xảy ra khi và chỉ khi

2 điểm
a)
Cho biết các số phức
1 2
z ,z
đều có môđun bằng 1. Chứng minh rằng số phức
1 2
1 1
1
z z
z
z z
+
=
+
có phần ảo bằng 0.
Vì
1 1 1 1
1z z cos i sin .
ϕ ϕ
= ⇒ = +
Vì
2 2 2 2
1z z cos i sin .
ϕ ϕ
= ⇒ = +
0,25
Ta có
( ) ( )
1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
cos i sin cos
cos cos i sin
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
+ + +
= +
+ + +
 
= +
 ÷
 
0,25
1 2
1 2
2
2
cos
z
cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
=
+

Đặt
2
2
2 4
1
t t
x ty P .
t t
+ −
= ⇒ =
− +
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 1 4 0P t P t P .− − + + + =
0,5
Trường hợp 1:
2 2P t .
= ⇒ =
Trường hợp 2:
( ) ( ) ( )
2
2 1 4 2 4 0P P P P≠ ⇒ ∆ = + − − + ≥
0,25
2
2 11 0
1 2 3 1 2 3
P P
P
⇔ + − ≤