Trng THCS ng Chỏnh K Nam n - Website toỏn hc
VIETMATHS.NET
Bất đẳng thức dạng cơ bản

Trong khi giải các bài tập liên quan tới bất đẳng thức theo tôi thì ta cần
quan tâm tới hai việc nh sau:
1.Nhận định dạng của bất đẳng thức
2.Các công cụ chứng minh bất đẳng thức
Nếu ta làmtốt cả 2 công việc này công việc chứng minh bất đẳng thức sẽ trở nên
dễ dàng hơn.Sau đây là các phần:
1.Nhận định dạng của bất đẳng thức
1.1: Các bài toán tổng phân thức
1.1.1: Có mẫu là tổng.
Ph ơng Pháp 1
Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức
( )
2
2 2
2 2
1 2 3
3
1 2
1 2 3 1 2 3
n
n
n n
a a a a
a a


+ + + + + +
=
+ + + + + + +

Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của:

2 2 2
1
1 1 1 9
a b c
P
a b c abc
= + + +
+ + +
Giải:

1 1 1 1 9 1 9 1
1 1 1 1 1 1 1 1
9 9 9
3 27
1 1 7 39
243 243
10 9 10 30 90 10
P
abc abc abc
a b c a b c
a b c a b c abc abc
abc abc
abc abc abc

+ + + + + +

Tơng tự ,cộng từng vế ta đợc:

( )
1 1 1 1 1
4 4 4 4 4
ab bc ab ac ac bc
P a b c
a c b c a b
+ + +

+ + = + + =
ữ ữ ữ
+ + +

Bài4:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c

3.Chứng minh rằng :

2 2 2
1 2009
670
a b c ab bc ca
+
+ + + +
Giải: Ta có:
( )
2
2 2 2

đợc.Riêng biến có hai cách đa tử về 1:
1.Chia mẫu cho tử đợc tử là 1
2.Đặt nhân tử ra ngoài:
1A
A
B B
=
vậy tử đã là 1
Việc sử dụng thuận hay đảo bất đẳng thức phụ thuộc vào dấu của bài toán.
Ph ơng Pháp 2
Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-Si
Bài1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng:

4 4 4 4
1 1 1 3
1 1 1 3 1
2a a a abc

+ + + + + +
ữ ữ ữ ữ
+

Giải:

( )
4 4 4 4 4 4
3
4
3
4

ữ
ữ
ữ
+
Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:
2 2 2
a b c abc+ + =
.Tìm GTLN:
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
2
Trng THCS ng Chỏnh K Nam n - Website toỏn hc
VIETMATHS.NET

2 2 2
a b c
A
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Giải:

2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1 1 1 1

Sử dụng bất đẳng thức
( )
2
2 2
2 2
1 2 3
3
1 2
1 2 3 1 2 3
n
n
n n
a a a a
a a
a a
b b b b b b b b
+ + + +
+ + + +
+ + + +
1.1.2 Có mẫu là tích hoặc đ a đ ợc về tích sau biến đổi ban đầu.
Ph ơng Pháp 1
Sử dụng hai lần Cô- Si.
Bài2:Cho a,b,c dơng thoả mãn:a+b+c=1.Tìm GTNN của:

2 2 2
1 1 1
2 2 2

Ph ơng Pháp 2
Sử dụng bất đẳng thức Cô-Si ở mẫu và cả phân thức.
Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn: a+b+c
3
.Chứng minh rằng:

2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
+ +
+ + +

Giải: Ta có :
( )
( )
2
2
3
3 3
a b c
ab bc ca
+ +
+ +
. Vì vậy:
( ) ( )
2 2
1

Bài 2:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

2 2 2
2 2 2 2 2 2
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
a b c a b c
a b ab b c bc c a ca
+ +
+ +
+ + + + + +

Giải: Ta có :

( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1
3 8 14 4 3 4 4 6
2 2 3
3 8 14
a a
a b ab a b a b a b
a b
a b ab
+ + = + + +
+
+ +
Tơng tự rồi cộng lại ta có:

( )
( )
2
3 2
2
3
2 2
1 1 1
2 2
1
b a a
b b b b
b
b
+
+ = + +
+
+
Tơng tự rồi cộng lại ta có:
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
4
Trng THCS ng Chỏnh K Nam n - Website toỏn hc
VIETMATHS.NET

2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c
VT
b c a

+

-Với cả phân thức : áp dụng
2
a b
ab
+

bình thờng.
1.2: Các bài toán tích phân thức
Ph ơng Pháp 1
Dùng bất đẳng thức Cô-Si cho tử để khử mẫu
Bài 1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :
3 3 3
8
2 2 2
a b c
b c c a a b

+ + +
ữ ữ ữ
+ + +

Giải: Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
4
3 3 2 2 4b c a b a c a b c b c c a b a+ + = + + + + + + + +
Tơng tự ta suy ra:
( ) ( ) ( )

+ + +
=
+ + +
1.3: Các bài toán cực trị của biểu thức không chứa phân thức có điều kiện
Ph ơng pháp chung
Cần xác định và giải 1 bất phơng trình có ẩn là biểu thức cần tìm cực trị
Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của xy biết x,y là nghiệm của phơng trình:

( )
4 4
3 1 2x y xy xy+ = +
Giải:
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
5
Trng THCS ng Chỏnh K Nam n - Website toỏn hc
VIETMATHS.NET
( ) ( )
( )
( )
2
4 4 4 4
2
2
2 2
3 1 2 3 2
3
3 4 1
4
x y xy xy xy x y xy
xy x y xy xy

3
t
t t t t t t x y z

+ + + +
ữ

2.Các công cụ chứng minh bất đẳng thức
Đôi lúc khi ta đã đi đúng hớng nhng đến một lúc không giải tiếp đợc nữa
bằng các phơng pháp đã nêu, không chỉ nh vậy đôi lúc ngời ra đề còn để nguyên
bài toán làm một bài toán riêng.Cách giải ở đây là nắm đợc một số công cụ giải
sau đây:
2.1:Đ a về đồng bậc
Bài1: Cho a,b,c dơng thoả mãn: a+b+c
3
.Chứng minh rằng:

2 2 2
3
2
1 1 1
a b c
a b c
+ +
+ + +

Giải: Ta có :
( )
( )
2

a a b b c c
a c a b b c b a c a c b
+ + + +
+ + + + + +
+ + +
= + +
+ + + + + +

+ + + + + =
ữ
+ + + + + +

Nhận Xét: Phơng pháp này giúp ta sau khi giải đến(1) thì tiếp tục giải đợc
bằng cách suy luận khác so với trên
2.2:Đánh giá mẫu
Bài 1:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :

2 2 2
2 2 2 2 2 2
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
a b c a b c
a b ab b c bc c a ca
+ +
+ +
+ + + + + +

Giải: Ta có :
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
6

a b c a b c
a b b c c a a b c
+ +
+ + + + + +
+ +
+ +
+ + =
+ + + + +
Nhận Xét: Phơng pháp này giúpta sau khi phân tích xong ta hoàn toàn giải đ-
ợc mà không càn phải suy luận nh trên.
2.3:Đ a về đồng biến
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dơng thay đổi thoả mãn a+b+c=3 .Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:

2 2 2
2 2 2
ab bc ca
P a b c
a b b c c a
+ +
= + + +
+ +
( Đề thi vào Chuyên Phan Bội Châu)
Giải: Ta có:
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c a b c a b c a b b c c a ab bc ca+ + = + + + + = + + + + + + + +
Mà theo bất đẳng thức Cô-Si:

+ + + + + + +
+ +
+ +
+ + +
+ +
Đặt:

2 2 2
3
9 9 1 3 1
3 4
2 2 2 2 2 2 2
t a b c t
t t t
P t P
t t
= + +

+ = + + +
Bài 2:Cho a,b,c dơng.Chứng minh rằng :
3 3 3
8
2 2 2
a b c
b c c a a b

+ + +
ữ ữ ữ
+ + +


+ + + + + + + + +
=
+ + +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
4
8
8
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
=
+ + +
Nhận Xét: Bài 1 này chỉ có thể giải bằng cách này nên ta phải đặc biệt lu tâm
bởi dạng này khác với tất cả các dạng trên.ý tởng giải là dùng các bất đẳng thức
cơ bản biến đổi bài toán về cùng biến rồi sau đó đặt ẩn phụ và giải quyết dễ
dàng.Đòi hỏi ngời giải toán phải có hiểu về các bất đẳng thức cơ bản.Việc chọn
nhân tử chung nào là vô cùng quan trọng, ta có thể giữ nguyên 1 trong các hạng
tử làm nhân tử chung. Rồi dùng giả thiết và nhân tử chung để biễu diễn các nhân
tử còn lại theo nhân tử chung dựa vào quan hệ bất đẳng thức.Lu ý quan tâm tới
chiều của bất đẳng thức.Còn với bài 2 với cách này ta đã làm giàu thêm các ph-
ơng pháp suy luận với bất đẳng thức.Đây là phơng pháp khử mẫu hiệu quả.
2.4 Ph ơng pháp giao nhiệm vụ
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dơng thay đổi thoả mãn ab+bc+ca =1.Chứng minh
rằng :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 1 3 1 3 1
3

+

+
công việc chứng minh này đơn giản.
Nhận Xét: Qua bài toán naỳ cho ta thấy đợc sức mạnh của nó.Nó chỉ có thể
dùng khi các biến đối xứng với nhau.Qua phơng pháp này ta có thể xem nh đây
là chiêu cuối cùng trong hệ thống các phơng,bởi nó không cần nhiều kĩ năng bất
đẳng thức.
3.Một số bất đẳng thức và đẳng thức quan trọng
3.1:Đẳng thức
3.1.1:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1
a b a c a ab bc ca a a b c bc
a b c n na bc a b a c
ab bc ca n a a b a c
+ + = + + + = + + +
+ + = + = + +
+ + = + = + +
3.1.2:
( )
( )
2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2
a b c a b c a b c a b b c c a ab bc ca+ + + + = + + + + + + + +
3.1.3:
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n

a a
a a
b b b b b b b b
+ + + +
+ + + +
+ + + +
3.2.2
( )
2
3
a b c
ab bc ca
+ +
+ +
và hệ quả
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
và
( )
( )
2
2 2 2
3 a b c a b c+ + + +
2
3
n
a b c n ab bc ca+ + = + +
( )
2
3ab bc ca n a b c n+ + = + +

các bài bất đẳng thức có biến số xác định (tập đóng)Thật là tuyệt vời!
4.Những suy nghĩ về các ph ơng pháp
4.1 Nhận xét chung
Sau khi đọc các bài trên thì các bạn đã có kiến thức khá chắc về cácphơng pháp
mà tôi đã nêu. Tại sao vậy? Bởi vì tôi đã sắp xếp đợc hai phần tách biệt tạo cho ta
hai hớng suy luận dẫn tới kết quả mà chính PGS.TS Trần Văn Hạo đã gới thiệu
trong tác phẩm Rèn luyện t duy qua việc giải toán là: 1.Nhìn thấy kết luận
bạn sẽ phải biết mình sẽ phải làm gì?
Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
9
Trng THCS ng Chỏnh K Nam n - Website toỏn hc
VIETMATHS.NET
2.Nhìn giả thiết biết đợc hệ quả tất yếu gì sẽ xẩy ra?
Qua đó kiến thức ta sẽ chắc chắn hơn bằng hai con đờng suy luận trên cùng một
bài toán.
4.2 Trình tự giải bất đẳng thức
Trình tự đẻ giải một bài bất đẳng thức gồm 3 bớc cơ bản chính sau:
1. Phân tích đề bài biến đổi nếu có thể hoặc nếu cần.Đổi biến nếu cần.(Lu ý tới
chơng 3)
2. Giải các bất đẳng thức đã giới thiệu ở trên(Lu ý tới chơng 1).
3.Tiến hành giải.
4.3 Đối mặt với các điều kiện bất bình thuờng (lạ) không mang tính cơ bản
Nh ta đẫ biết các điều kiện cơ bản mà các bài toán bất đẳng thức hay cho nh là :
a+b+c=1;abc=1;ab+bc+ca=1.Còn nếu cho các điều kiện lạ ta phải làm tuần tự các
bớc nh sau.
1.Phân tích nó ra dạng tổng các phân tử,thêm bớt các điều kiện để cho ra dạng
mà có các đơn vị cấu tạo là các đơn vị cấu tạo có ở biểu thức cần chứng minh.
2.Nếu không ổn ở 1. ta phải nghĩ ngay tới đó là một bài tập mà ta cần đặt ẩn phụ
đ giả thiết về dạng cơ bản.
Sau đây là một ví dụ :

Mặt khác :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3
(x+y)(x+z)=ab=4yz 3 3y z x y y z z x y z + + + + +
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Nhận Xét: Bài trên ta có thể thấy nó thừa kế nhiếu phơng pháp đó là
Phân công nhiệm vụ, biến đổi giả thiết,sử dụng bất đẳng thức quen thuộc.Tr ng THCS ng Chỏnh K Nam n
10