aotrangtb.com
Chương 2
Bất đẳng thức
2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauch y
2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh giữa tổng v à tích
Cho ba số không âm a, b, c, ta có :
1.
a + b
2
≥
√
ab, dấu bằng x ảy ra khi a = b ;
2.
a + b + c
3
≥
3
√
abc, dấu bằng x ả y ra khi a = b = c.
2.1.2 Một số hệ quả trực tiếp
Hệ quả 1 : So sánh giữa tổng nghịch đảo v à tổng.
Cho ba số dương a, b, c có :
1.
1
a
+
1
b
≥
4
a + b

1. (a + b + c)
2
≥ 3(ab + bc + ca) ; 2. a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
2.1.3 Bài tậpđề nghị
Bài 2.1 : Cho a, b, > 0. Chứng minh rằng :
ab(a + b)
2
≤
a + b
2
3
≤
(a + b)(a
2
+ ab + b
2
)
6
≤
a
3
+ b
3
2

a +
√
b +
√
c ≥ ab + bc + ca.
Bài 2.4 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 +
√
xy)
2
.
Bài 2.5 : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : x
2
+ y
2
+
1
x
+
1
y
≥ 2(
√
x+
√
y).
Bài 2.6 : Cho x, y > 0 v à x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của P =
1
x
2
+ y

+
1
b + 3c
+
1
c + 3a
≥
1
2a + b + c
+
1
2b + c + a
+
1
2c + a + b
.
Bài 2.10 : Chứng minh rằng v ớ i mọi a, b, c > 0 đều có :
1.
1
a(b + c)
+
1
b(c + a)
+
1
c(a + b)
≥
27
2(a + b + c)
2

. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + b + c +
1
a
+
1
b
+
1
c
.
Bài 2.14 : Chứng minh rằng v ớ i mọi số dương x, y, z đều có : x
2
+ y
2
+ z
2
≥
√
2(xy + yz).
Bài 2.15 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 4. Chứng minh rằng :
ab
a + b + 2c
+
bc
b + c + 2a
+
ca
c + a + 2b
≤ 1.
Bài 2.16 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

c
a + b
≥
3
2
;
3.
a
2
b + c
+
b
2
c + a
+
c
2
a + b
≥
a + b + c
2
;
4.
a
3
b + c
+
b
3
c + a

b + c
+
b
3
c + a
+
c
3
a + b
;
3. R =
a
2
√
a
b + c
+
b
2
√
b
c + a
+
c
2
√
c
a + b
;
4. S =

+
1
y
3
(zt + tx + xz)
+
1
z
3
(tx + xy + yt)
+
1
t
3
(xy + yz + zx)
.
Bài 2.20 : Cho a, b, c > 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
1. P =
a
b + 2c
+
b
c + 2a
+
c
a + 2b
. 2. Q =
a
b + mc
+

2.
a
2
b + c − a
+
b
2
c + a − b
+
c
2
a + b − c
≥a + b + c.
Bài 2.23 : 1. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa c h u vi của tam giác. Chứng minh rằng :
(p − a)(p − b)(p − c) ≤
abc
8
.
2. Cho tam giác ABC có c h u vi bằng 3 v à độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Chứng minh rằng :
4(a
3
+ b
3
+ c
3
) + 15abc ≥ 27.
Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > 0 v à a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
1
a
− 1

ac
.
Bài 2.28 : Cho a, b > 0 v à a + b = 1. Chứng minh rằng :
3
ab
+
2
a
2
+ b
2
≥ 16.
Bài 2.29 : Cho a, b, c > 0 v à
1
1 + a
+
1
1 + b
+
1
1 + c
≥ 2. Chứng minh rằng : abc ≤
1
8
.
Bài 2.30 : Cho a > b > 0 v à ab = 1. Chứng minh rằng :
a
2
+ b
2

a
log
b
c
+ b
log
c
a
+ c
log
a
b
≥ 3
3
√
abc.
1
Một cách tổng q uá t, tìm giá trị nhỏ nhất của R =
a
xb + yc
+
b
xc + ya
+
c
xa + yb
v ớ i a, b, c, x, y là những số dương
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 39
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC

b
2
c + b
2
a
+
ab
c
2
a + c
2
b
≥
1
2
1
a
+
1
b
+
1
c
.
Bài 2.37 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
ab
a + b
+
bc
b + c

1 − x
+
y
√
1 − y
.
Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ 0 v à a + b + c = 1. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3
√
a + b +
3
√
b + c +
3
√
c + a.
Bài 2.43 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
3
a(b + 2c) +
3
b(c + 2a) +
3
c(a + 2b).
Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức
S =
bc
√
a − 2 + ca

Bài 2.46 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a
3
(a + b)(a + c)
+
b
3
(b + c)(b + a)
+
c
3
(c + a)(c + b)
≥
3
4
.
Bài 2.47 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 3. Chứng minh rằng :
a
3
b(2c + a)
+
b
3
c(2a + b)
+
c
3
c(2b + c)
≥ 1.
Bài 2.48 : Cho a, b, c > 0 v à a

a + b
+
b
3
b + c
+
c
3
c + a
≥
1
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 40
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.50 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
a
√
1 + a
2
+
b
√
1 + b
2
+
c
√
1 + c

≥
9
4
.
Bài 2.53 : Cho a, b, c > 0 v à a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng :
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ 3.
Bài 2.54 : Cho a, b, c > 0 v à a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
bc
√
a + bc
+
ca
√
b + ca
+
ab

(1 + a)(1 + b)
≥
3
4
.
Bài 2.57 : Cho a, b, c > 0 v à abc = 1. Chứng minh rằng :
1
a
3
(b + c)
+
1
b
3
(c + a)
+
1
c
3
(a + b)
≥
3
2
.
Bài 2.58 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
a
+
1
b

1
a
2
+ b
2
+
1
ab
≥ 6.
Bài 2.61 : Cho a, b > 0 v à a + b ≤ 1. Chứng minh rằng :
1
a
2
+ b
2
+
1
ab
+ 4ab ≥ 7.
Bài 2.62 : Cho a, b, c > 0 v à ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
1
a + 2b + 3c
+
1
b + 2c + 3a
+
1
c + 2a + 3b
<
3

2
+
z
x
2
+ y
2
.
Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x + y)(1 − xy)
(1 + x
2
)
2
(1 + y
2
)
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 41
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = 0. T ì m giá trị nhỏ nhất của
P =
√
2
x
+ 3 +
√

b
2
b + ca
+
c
2
c + ab
≥
a + b + c
4
.
Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng :
b + c
a +
3
4(b
3
+ c
3
)
+
c + a
b +
3
4(c
3
+ a
3
)
+

≤
1
abc
.
Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
a
2
+ ab + b
2
+
b
3
+ c
3
b
2
+ bc + c
2
+
c
3
+ a
3
c
2
+ ca + a

+
1
b
2
+
1
c
2
.
Bài 2.74 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
1
a
2
+ bc
+
1
b
2
+ ca
+
1
c
2
+ ab
≤
a + b + c
2abc
.
Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương sao c h o ab + bc + ca ≥ 1. Chứng minh rằng :
a

+ 4ac +
√
a
2
+ b
2
+ 4c
2
− 4ac ≥ 2
√
a
2
+ b
2
.
Bài 2.77 : V ớ i mọi a, b, c, d ∈ R. Chứng minh rằng :
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ 2ac + 2bd ≤
√
a
2
+ b

√
a
2
+ ab + b
2
+
√
a
2
+ ac + c
2
≥
√
b
2
+ bc + c
2
.
Bài 2.81 : V ớ i mọi x, y ∈ R. Chứng minh rằng :
4 cos
2
x cos
2
y + sin
2
(x − y) + 4 sin
2
x sin
2
y + sin

z
2
≥ 5.
Bài 2.84 : Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
a
2
− ab
√
2+ b
2
+ b
2
− bc
√
3+ c
2
≥ a
2
− ac 2 −
√
3 + c
2
.
Bài 2.85 : Cho a, b, c > 0 v à abc + bc + ca = abc. Chứng minh rằng :
√
b
2
+ 2a
2
ab

Bài 2.87 : Cho
x
2
+ xy + y
2
= 3
y
2
+ yz + z
2
= 16
v à x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng : xy + yz + zx ≤ 8.
Bài 2.88 : Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng :
x
2
+ xy + y
2
+ y
2
+ yz + z
2
+ z
2
+ zx + x
2
≥
√
3(x+ y + z).
Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12. Chứng minh rằng :
3a + 2

2
.
Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x
2
+ y
2
= 1; u
2
+ v
2
+ 16 = 8u + 4v. Tì m giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 8u + 4v − 2(ux+ vy).
Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 5. Tì m giá trị nhỏ nhất của P = 3x
2
+ 3y
2
+ z
2
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 43
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
2.3 Phương pháp sửdụng điều kiện có nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình
- phương pháp miền giá trị
Bài 2.93 : T ì m giá trị lớn nhất v à nhỏ nhất của hàm số : f (x) =
2x
2
+ 7x + 23
x
2

2
+ y
2
, v ớ i 2x
2
+ y
2
+ xy ≥ 1.
Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện :
3
√
x(
3
√
x − 1) +
3
√
y(
3
√
y − 1) =
3
√
xy. T ì m giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
biểu thức : P =
3
√
x +
3
√

y(y − 2).
Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x
2
− 3xy + 3y
2
= 6. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+ xy − 2y
2
.
Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn :
√
x +
√
y = 4. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
√
x + 1 +
√
y + 9.
Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = 3. T ì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
3x
y + 1
+
3y
x + 1
− x
2
− y
2

) −3xy.
Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A =
1
x
+
1
√
xy
.
Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương v à x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng :
x
2
+
1
x
2
+ y
2
+
1
y
2
+ z
2
+
1
z
2
≥

1
x
3
+
1
y
3
.
Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi v à thoả mãn điều kiện xyz = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu
thức :
P =
x
2
(y + z)
y
√
y + 2z
√
z
+
y
2
(z + x)
z
√
z + 2x
√
x
+
z

+ 4
x
+ 5
x
.
Khi nào đẳng thức x ảy ra.
Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x − 1)
2
+ y
2
+ (x + 1)
2
+ y
2
+ |y − 2|.
Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = x
x
2
+
1
yz
+ y
y
2
+
1
xz
+ z

2
+ y
2
) + 1.
Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
3(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) + 3(ab + bc + ca) + 2
√
a
2
+ b
2
+ c
2
.
Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
1 + x
3
+ y

b
a
.
Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
(x − y)(1 − xy)
(1 + x)
2
(1 + y)
2
.
Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi v à thỏa mãn x + y = 1. T ì m giá trị lớn nhất v à giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
S = (4x
2
+ 3y)(4y
2
+ 3x) + 25xy.
Bài 2.123 (D10) : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
√
−x
2
+ 4x + 21 −
√
−x
2
+ 3x + 10.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 45
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC

Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
√
3 + 4
x
+
√
3 + 4
y
+
√
3 + 4
z
≥ 6.
Bài 2.127 : Chứng minh rằng v ớ i mọi x, y > 0 ta có :
(1 + x) 1 +
y
x
1 +
9
√
y
2
≥ 256.
Đẳng thức xảy ra khi nào.
Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng :
3
√

2
.
Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x
2
+ xy + y
2
≤ 3. Chứng minh rằng :
−4
√
3 − 3 ≤ x
2
− xy − 3y
2
≤ 4
√
3 − 3.
Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3
−x
+ 3
−y
+ 3
−z
= 1. Chứng minh rằng :
9
x
3
x
+ 3
y+z
+

y
2
.
Bài 2.134 : Tì m giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x +
11
2x
+ 4 1 +
7
x
2
, x > 0.
Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P =
3
4(x
3
+ y
3
) +
3
4(y
3
+ z
3
) +
3
4(z
3
+ x
3

Bài 2.137 : Cho x, y > 0 v à xy = 100. Hãy x á c định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
x
2
+ y
2
x − y
.
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 46
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1]. Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất, trong đó P =
(a −b)(2a − c)
a(a −b + c)
.
Bài 2.139 : Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+
1
y
2
y
2
+
1
x
2
.

(x
1
− x
2
)(x
2
− x
3
)(x
3
− x
4
)(x
4
− x
5
)(x
5
− x
6
)(x
6
− x
1
) ≤
1
16
.
Bài 2.142 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng :
2x

1
, x
2
, x
3
, x
4
> 0 thỏa mãn
4
i=1
x
1
= 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T =
4
i=1
x
4
i
4
i=1
x
3
i
.
Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương tha y đổi thỏa mãn xy = 1. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức A =
x
x
4
+ y
2

xy + z
2
+
1
yz + x
2
+
1
zx + y
2
.
Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng
1
a(2a − 1)
2
+
1
b(2b − 1)
2
+
1
c(2c − 1)
2
≥
1
2
.
Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
x

2
+ zx
+
z
3
z
2
+ xy
.
Bài 2.151 : Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 13x + 5y + 12z = 9. T ì m giá trị lớn nhất của biểu thức A =
xy
2x + y
+
3yz
2y + z
+
6xz
2z + x
.
Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 3. Tì m giá trị lớn nhất của A = x
3
(y + z) + y
3
(z + x) +

+ bc + c
2
+
√
c
2
+ ca + a
2
.
Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x
2
+ y
2
− 2x −4y + 4 = 0. Chứng minh rằng
x
2
− y
2
+ 2
√
3xy − 2(1 + 2
√
3)x + (4 − 2
√
3)y ≤ 5 − 4
√
3.
Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng
8
x

P =
1
2a + b + 6
+
1
2b + c + 6
+
1
2c + a + 6
.
Bài 2.159 : Cho x, y > 0 v à thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng
x
√
1 − x
2
+
y
1 − y
2
≥
2
√
3
.
Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
+ xy = 3. Tì m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x

zx + 1
≤
5
x + y + z
.
Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
a
1
3a + b
+
1
3a + c
+
2
2a + b + c
+
b
3a + c
+
c
3a + b
< 2.
Bài 2.164 : Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 3. Chứng minh rằng
1

|y|
1 + |y|
.
Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 5. T ì m giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
4x+ y
xy
+
2x − y
4
.
Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. T ì m giá trị nhỏ nhất của P =
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
(1 − a)(1 − b)(1 − c)
.
Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng :
1. c
√
ab ≥ 1 +
√
1 + c
2
;
Download tài li󰗈u h󰗎c t󰖮p t󰖢i : http://aotrangtb.com
T r a n g 48
aotrangtb.com
CHUYÊN ĐỀ L U Y Ệ N THI ĐẠI HỌC
2. ab + bc + ca ≥ 3 +
√
a
2

x + y + 1
+
1
y + z + 1
+
1
z + x + 1
≤ 1.
Bài 2.171 : Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng
2
√
x
x
3
+ y
2
+
2
√
y
y
3
+ z
2
+
2
√
z
z
3

4
b
2
+ a +
3
4
≥ 2a +
1
2
2b +
1
2
.
Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a. Chứng minh rằng :
a
2
+ b
b + c
+
b
2
+ c
c + a
+
c
2
+ a
a + b
≥ 2.
Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng :

3x
. Chứng minh rằng x ≤
2
√
3 − 3
6
(y + z).
Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤
π
3
v à 0 ≤ y ≤
π
3
. Chứng minh rằng cos x + cos y ≤ 1 + cos(xy).
Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) v à hai số thực không âm x, y. Chứng minh rằng
n
√
x
n
+ y
n
≥
n+1
x
n+1
+ y
n+1
. Đẳng
thức x ả y ra khi nào?
TRẦNANHTUẤN- 0974 396 391 - (04) 66 515 343 T r a n g 49