WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh đại học.
Các ví dụ
Bài 1:Giải hệ phơng trình
a)



=++
=+
42
3)2(
2
yxx
xxy
b)
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =



+ + =

Ă
H K B 2009
c)
2
2

x y
x y a

+ =



+ = +

Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình



=+

22
22
xy
yx

7)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a.Giải hệ khi m=6 b.Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:





=+
=+
358
152
33
22






+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23

Bài 7:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rut ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x



+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 10:





=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
Bài 11:



=++

333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
Bài 14:





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 15:

y
y
x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
Bài tập 17:Giải hệ phơng trình





=+++
=+
6xyyxyx
3yxxy
22
.
Bài tập 18:Giải hệ phơng trình





=++
=++
1xyyx
3yxyx
22
.
Bài tập 19: Tìm m để hệ phơng trình

1ayx
3y2ax
có nghiệm duy nhất thoả mãn x >1, y > 0 .
Bài tập 22:Giải hệ phơng trình





=+
=+
5yx
2
1
y
1
x
1
22
.
Bài tập 23:Giải hệ phơng trình





=
=
49yxyx5
56y2xyx6

222
. Xác định a để tích P = xy lớn nhất .
Bài tập 26:Giải hệ phơng trình





=+
=+
m31yyxx
1yx
.
Bài tập 27:Giải hệ phơng trình







+
=
+
=
2
2
2
2
y

Bài tập 29:Giải hệ phơng trình





++=+
=
2yxyx
yxyx
3
Các đề thi những năm gần đây về hệ phơng trình .
Bài tập 1: ĐHCĐ B 2002 Giải hệ phơng trình
3
2
x y x y
x y x y

=


+ = + +


.
Bài tập 2:ĐHCĐ D 2002 Giải hệ phơng trình:
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y

y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

+ =


+ =


Bài tập 5: ĐHCĐ A 2003 . Giải hệ phơng trình:
3
1 1
x y
x y
2y x 1

=



= +

Bài tập 6: ĐHCĐ DB 2003 . Giải hệ phơng trình:
y x
x y
log xy log y
2 2 3

=

4
2 2
1
log y x log 1
y
x y 25

=



+ =

Bài tập 9: ĐHCĐ D 2004 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm
x y 1
x x y y 1 3m

+ =


+ =


Bài tập 10: CĐ A 2002 . Cho hệ phơng trình:
x my 3
mx y 2m 1
+ =


+ = +



Bài tập 12: ĐH Hùng Vơng 2004 Giải hệ phơng trình:
( )
( )
2
2
log 3
log xy
2 2
9 3 2 xy
x y 3x 3y 6

= +


+ = + +


Bài tập 13: Giải hệ phơng trình:
( )
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4

+ =



+ =


+ =

Tìm a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn điều kiện
x 0,y 0> >
Bài tập 17: Giải hệ phơng trình:
2 2
3 3
2x y xy 15
8x y 35

+ =


+ =


Bài tập 18: CĐYTTB 2004 Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
2x y 3x 2
2y x 3y 2

=


=



+ + + =

Bài tập 21: ĐHCĐ B 2005 Giải hệ phơng trình:
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3

+ =


=


Bài tập 22 : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + + =


+ =


WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

( 1)( 2)
x y y x y
x y x y

+ + + =

+ + =

Bài tập 26: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình
( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y

= +


= +


Bài tập 27: ĐHCĐ D 2006 chứng minh với mọi a > 0
hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a

( )
( )
( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y

+ =


+ =


Bài tập 31 : CĐ Bách Khoa 2006 Giải hệ phơng trình
2 2
5
2
21
x y
y x
x y xy

+ =



+ + =


+ + + =


Bài tập 33: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



+ + = +


+ + = +


Bài tập 34: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy




có đúng 2 nghiệm x > 0; y > 0.
Bài tập 36: ĐHCĐ DB B 2007 Giải hệ phơng trình
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

+ = +

+



+ = +

+




Bài tập 39: ĐHCĐ B 2008 Giải hệ phơng trình
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +

+ = +

Bài tập 40: ĐHCĐ D 2008 Giải hệ phơng trình
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y

+ + =


=


Bài tập 41 : Giải hệ phơng trình:



mxxxy
232
232
4
4

Bài tập 43: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



+=++
=+
21
2
ymxyyx
myx
1) Giải hệ phơng trình với m = 4.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nhiều hơn hai nghiệm.
Bài tập 44: Giải và biện luận hệ phơng trình:





+=+
+=+
xmyxyy
ymxxyx
2

23
122
23
1
2
2
2
22
2
y
xx
y
xx
y
xx
Bài tập 46: Giải hệ phơng trình:



=
=+
222
1
yx
yx
Bài tập 47: Chứng minh rằng với m hệ sau luôn có nghiệm:
( )




ayx
ayx
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy là nhỏ nhất
Bài tập 50: Giải hệ phơng trình:
( ) ( )





+=
=
+
yxlogyxlog
x
y
y
x
33
1
324
Bài tập 51: Cho hệ phơng trình:
( )
( )





=+


=+++
+=++
142241
312
4
2
44
44
22
4
y
x
logxyylogxylog
yxlogxlogyxlog
Bài tập 54: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
0
0
22
aayx
xyx
1) Giải hệ phơng trình khi a = 1.
2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi (x
1

111
239
22
3
2
2
yx
xy
log
xylog
Bài tập 56: Cho hệ phơng trình:





=+
=+
1
1
22
2
yxtg
xsinyaax
.
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài tập 57: Giải hệ phơng trình:




Bài tập 59: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



=++
=+++
myxxy
yxyx
11
8
22
1) Giải hệ phơng trình với m = 12.
2) Xác định m để hệ có nghiệm.
Bài tập 60: 1) Giải hệ phơng trình:





=++
=++
222
932
22
22
yxyx
yxyx

2) Tìm a để hệ phơng trình sau có nghiệm với x:

=
22
22
4343
4343
mmxy
mmyx
1) Giải hệ phơng trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.
3) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 62: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
myx
yx
2
84
22
1) Giải hệ phơng trình với m = 4.
2) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài tập 63: Cho hệ phơng trình:



+=+
+=++
1

2322
2
3213
xxyx
.
xyyx
Bài tập 65: Giải và biện luận theo m hệ phơng trình:



=+
=+
mxy
myx
12
12
Bài tập 66: Tìm a để hệ sau có nghiệm:
( )



=+++
+
212
2
ayxyx
yx

Bài tập 67: ) Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:




=++
=++
=++
2
2
2
16164
993
442
ylogxlogzlog
xlogzlogylog
zlogylogxlog

Bài tập 70: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



+=++
=+
21
2
ymxyyx
myx

1) Giải hệ khi m = 4
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm.
Bài tập 71: Giải hệ phơng trình:

222
11
yyx
yx

Bài tập 73: Giải hệ phơng trình:







=
=
y
x
xy
x
y
yx
43
43
Bài tập 74: Giải hệ phơng trình:



=+
=
1023

=








++
=






++
49
1
1
5
1
1
22
22
yx
yx
xy
yx

411
xy
yx
Bµi tËp 79: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )



=+
=
−
5
115223
22
logyxlog
yx

Bµi tËp 80: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





π
−=
π
−
=+
22
1

=++
095
1832
2
2
yxx
yxxx

Bµi tËp 83: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )





+=+
+=+
yxyx
yyxx
3
22
22

Bµi tËp 84: T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
( )
( )






++=+
−=−
2
7
22
33
yxyx
yxyx

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 87: Giải hệ phơng trình:
( )
( )
( )
( )





=++
=
15
3
22
22
yxyx
yxyx

+ + + =


Bài tập 90: ĐHNN 1997 Cho hệ phơng trình
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =

+ + =

a. Giải hệ phơng trình khi m = 12
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm .
Bài tập 91: ĐH Y Dợc 1998 Tìm a để hệ sau có đúng 2 nghiệm
( )
2 2
2
2(1 )
4
x y a
x y

+ = +


+ =


1
x y
x y

+ =

+ =

Bài tập 95: ĐHGTVT 1998 Giải hệ phơng trình
5 5
3 3
1
1
x y
x y

+ =

+ =

Bài tập 96: ĐHAN 1997 Giải hệ phơng trình
2 2 5 5
3 3
1
x y x y
x y

+ = +

+ =

x x
y y
xy yx


+ =

ữ ữ



+ =

Bài tập 100: ĐHVH D 2001 Giải hệ phơng trình
1 7 4
1 7 4
x y
y x

+ + =


+ + =


Bài tập 101: SP 1 2000 A Giải hệ phơng trình
2 2
2 2 2
. 6
1 5


+ + = + + + =
  
   
− + = − + =

  
− = + − =
 

2 2
2 2
2
4
2
3
2 6
. . . .
1 1
11 1
4
4
2 6 0
x y
x y
x y
x
x y x y xy
x y
y x

  



Bµi
tËp 2: Bµi
Bµi 3
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh .
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 2 2 3
1
1 1
1 1 4
3
2
. . .
1 1
1 4
3 1
x y
x x
x y xy x y
a b c
y y
y x

3 2 2 2 2 2
2 2
7
3 4 4 2 3 1 2
. . . .
3 4 2 2 2
175
x y x y
x y x x xy x y y
a b c d
y xy y xy x y x y
x y x y


− − =
 
+ = + = + =
 
   
+ = + = − + =
+ + =
 
 


Bµi tËp 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh .
Bµi 1: Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n
8) Cho hÖ ph¬ng tr×nh



1
3 2
x xy y
x xy y m

− + =


− + =



T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
11) Cho hÖ ph¬ng tr×nh



−=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Gi¶i hÖ khi a=2
b) T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ
12) Cho hÖ ph¬ng tr×nh







=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3




=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất







+=
+=
x
a

=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:





=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:





+=
=

x
suy ra x,y
Bài 9:





++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm

yxyx
yyxx
KD 2003
3,





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx

2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
4)



=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
5)






=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx

y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
8)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
9)



x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
H PHNG TRèNG I XNG LOI I
Gii cỏc h phng trỡnh sau :
1,
+ + =



+ =

2 2
1
( 99)
6
x xy y
MTCN
x y y x
2,

+ =



+ =


2 2
4 2 2 4



3 3
5 5 2 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y
5,

+ + =



+ + =


2 2
4 4 2 2
7
( 1 2000)
21
x y xy
SP
x y x y
6,
+ + =



+ + =





+ + =


2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
( 99)
1
( )(1 ) 49
x y
xy
NT
x y
x y
9,

+ + + =





+ + + =



=++
=++
2
4
22
yxxy
yxyx
2)
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + =


+ =

3)



=+
=++
30
11
22
xyyx



=+
=+
20
6
22
xyyx
xyyx
7)





=+
=+
4
4
xyyx
yx
8)



=+
=+
2
34
44

ợ
. ỏp s:
x 1 x 2
y 2 y 1
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
10.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
ï + + =
ï
í
ï
+ + = -
ï
î
. Đáp số:

+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
12.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
ï - =
ï
í
ï
- =
ï
î
. Đáp số:

4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +
ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï
î î
.
14.

y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
15.
x y y x 30
x x y y 35
ì
ï
+ =
ï
ï
í

ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
î
(chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
17.
( )
2 2
3 3
3
3
2(x y) 3 x y xy
x y 6

−=+−
6
3
22
xyyxyx
yxxy
19.



=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx
20.
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y

− + − =


− − + =


- £ £
.
19. Tìm m để hệ phương trình :
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m
ì
ï + + = +
ï
í
ï
+ + =
ï
î
có nghiệm thực duy nhất.
20. Tìm m để hệ phương trình ::
2 2
x xy y m 1
x y xy m
ì
+ + = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm thực x > 0, y > 0.
WWW.ToanCapBa.Net

23. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh :
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù
ợ
. Tỡm m P = xy nh nht.
24. Tỡm m h phng trỡnh : cú nghim:





=+
=+
myyxx
yx
31
1
25.Tỡm m h phng trỡnh : cú nghim:
x 2 y 3 5
x y m


2 2
4 2 2 4
5
( 98)
13
x y
NT
x x y y

+ =



+ =


2 2
3 3
30
( 93)
35
x y y x
BK
x y

+ =



+ = +


2 2
11
( 2000)
3( ) 28
x y xy
QG
x y x y

+ = +




+ =

7
1
( 99)
78
x y
y x
xy
HH
x xy y xy

+ + =




4
( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
x y
+ + =



+ + =

2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
4 6
x x x y
AN
x x y

+ + + + + + + + + =



+ + + + + + + =



2 2 2
6
( 1 2000)
1 5
y xy x
SP
x y x
+ =



+ + =

2 2 3 3
4
( 2001)
( )( ) 280
x y
HVQHQT
x y x y

=



=


2 2
2 2



1 3
2
( 99)
1 3
2
x
y x
QG
y
x y

= +



= +


3
3
3 8
( 98)
3 8
x x y
QG
y y x

+ =

5 2 7
x y
NN
y x

+
=




+

=


2
2
2
2
2
3
( 2003)
2
3
y
y
x
KhốiB
x

1 19
( 2001)
6
x y x
TM
y xy x

− + =

−

− + =


2 2
2 2
2 3 9
( )
2 13 15 0
x xy y
HVNH TPHCM
x xy y

− =

−

+ =



x y
xy

+ =


=


f)
( ) ( )
2 2 3 3
4
( 2000)
280
x y
HVQHQT
x y x y
+ =


−

+ + =


g)
3 2
3 3 0x x x+ − − =
h)

+ =

b)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =


− =


c)
2 2
1
3
x xy y
x y xy

+ + =

− − =

d)
2 2
58

g)
13
6
5
x y
y x
x y

+ =



+ =

h)
2 2
164
2
x y
x y

+ =

− =

i)
2 2
8
5
x x y y

2 2
2( ) 31
11
x xy y x y
x xy y

− + − + = −

+ + =

l)
2 2
2
1
x y x y
xy x y

+ − + =

+ − = −

l)
90
9
xy
x y
=


− =


+ + =



+ =

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
p)
2 2
2 2
2 3 2
( 2000)
2 3 2
x x y
DHQGKB
y y x

− = −

−

− = −


q)
3 4
( 1997)
3 4


2
2
2 3
2 3
x xy x
y xy y

+ =


+ =


s)
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=


−

=

+

u)
2 2
2 2
2 3 15
2 8
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


v)
2 2
2 2
2 3 9
( , 2000)
2 2 2
x xy y
DHSPTPHCMKA B
x xy y


+ + =


+ + =


a)
2
2 2
3 2 160
3 2 8
x xy
x xy y

− =


− − =



2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y

− − =


+ = −


d)
2
2
13 4
13 4
x x y
y y x

= +


= +


e)
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y

+ − =

