§Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n
ÔN THI ĐẠI HỌC
§1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THAM SỐ
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Dạng 1: Giải hệ
( ) ( ) (1)
( , ) 0 (2)
f x f y
g x y

=

=

. Ta có thể tìm lời giải theo một trong hai hướng sau :
 Hướng 1 : PT(1)
( ) ( ) 0f x f y⇔ − =
(3). Tìm cách đưa (3) về dạng tích.
 Hướng 2 : Xét hàm số
( )y f t=
. Ta thường gặp trường hợp hàm số liên tục trên tập xác
đònh của nó.
o Nếu hàm số
( )y f t=
đơn điệu thì từ (1) ta suy ra
x y=
. Khi đó ta đưa bài toán
về giải và biện luận phương trình (2) theo ẩn
x
.
o Nếu hàm số

g x g y hoặc f x f y

=

= =

II. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN :
Hệ đối xứng loại I : Dạng
( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y

=

=

, trong đó
( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x

=

=

Cách giải :
+ B1 : Đặt điều kiện (nếu có)
+ B2 : Đặt



+ + =

+ + = −


2)
2 2
3
2
x y xy
x y y x

+ + =


+ =


3)
2 2
3 3
1
1
x y
x y

+ =



6)
3 3
2
( ) 2
x y
xy x y


− =

− = −


Bài 2. Giải hệ phương trình :
1
Đặng Hữu Thắng 12a1 Trờng THPT Bắc Lơng Sơn
1)
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y x
y x y

=


=


2
2
2 4 5
2 4 5
x y y
y x x

= +


= +


5)
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y

+ =





7)
2 2
2 2
1 1
4
1 1
4
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + + =


8)
2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
1
( )(1 ) 49
x y
xy
x y

x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


3)
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
x xy y
x xy y

+ =


+ + =


4)
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5
x xy y
x xy y



3)
1 7 4
1 4
x y
y x y

+ + =


+ + =


4)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


Baứi 5. Giaỷi heọ phửụng trỡnh :
1)
2 2
2



+ =


4)
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + + =


+ =


5)
2 2
6
20
x y y x
x y y x

+ =


+ =



21
x y
y x
x y xy

+ =



+ + =

9)
1 1 3
( 1) 1 ( 1) 1 6
x y
x y y x

+ + + =


+ + + + + =


10)
7
1
78
x y
y x
xy

6
x y x y xy
x y

+ = +



+ =

13)
2 2
2 2
48
24
y x y
x y x y

=



+ + =

2
§Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n
14)
1
3 3
1

3
2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

+ = +

− +



+ = +

− +

(DB2_KB_07)
Bài 6. Giải hệ phương trình :
1)
2

1
1
x x y x y
x y x xy

− + =


− + =


(DB2_ĐH_KA07)
4)
2
4
( ) 4
x xy x y
x y xy x y


+ + + =

+ + + =


5)
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y


− =


+ =


(Mỏ_Đòa Chất97)
8)
2 2
2 2
( )( ) 13
( )( ) 25
x y x y
x y x y

− + =


+ − =


(DB2_ĐH_KB06)
9)
3 3
2 2
2 9 ( )(2 3)
3
x y x y xy
x xy y


+ + =


12)
2 2
2 2 3
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y

− + = −


+ + = −


(DB1_KD06)
13)
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x


x xy x

+ + = +


+ = +


(ĐH_KB08)
Bài 7. Giải hệ phương trình (đánh giá):
1)
2 2 2
2 3
2 0
2 4 3 0
x y x y
x x y

− + =


− + + =


2)
4 4
3 2 2
2
2 2
x y

+ − =


+ − =


3)
3
2 4
4
log 2 log 7
x y
e e x y
x
y

− = −


+ =


4)
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y

+ − + = −

2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
−
−

+ − + = +



+ − + = +

(DB1_KA07)
3
§Ỉng H÷u Th¾ng 12a1 Trêng THPT B¾c L¬ng S¬n
§2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ
Bài 9. Cho hệ phương trình :
2 3
1
mx y
x my

+ =

+ =

.



Bài 12. Đònh m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt :
3 3
1
( )
x y
x y m x y

+ =


− = −


Bài 13. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm :
1)
4 1 4
3
x y
x y m

− + − =


+ =


2)
x y m

+ + − =


5)
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =




+ + + = −


Bài 14. Tìm
0m <
để hệ phương trình
2 2
2 2
x y m y
y x m x



có nghiệm duy nhất.
Bài 16. Chứng minh rằng với m dương thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
1)
2 2
2 2
3 0
3 0
x y y m
y x x m

− − =


− − =


2)
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x mx
x y y my

= − +


= − +

( )
x xy y m
xy x y m m

+ + = +


+ = +


1) Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trò của m.
2) Đònh m để hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất.
Bài 20. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my

= + −


= + −


Bài 21. Đònh m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất :
| | 2
2 2
2 | |