BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Đỗ Thị Tú Anh ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA THEO
NGUYÊN LÝ TÁCH CHO HỆ PHI TUYẾN
Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa
Mã số: 62520216 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. NGUYỄN DOÃN PHƯỚC

các bạn đồng nghiệp. Tôi xin được gửi tới họ lời cảm ơn sâu sắc.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến tập thể cán bộ hướng dẫn đã tâm huyết hướng dẫn tôi
trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các đồng nghiệp, tập thể Bộ môn
Điều khiển Tự động đã có những ý kiến đóng góp quý báu, các Phòng ban của Trường Đại
học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài
luận án.

Nghiên cứu sinh Đỗ Thị Tú Anh

v
MỤC LỤC
Các ký hiệu được sử dụng vii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt viii
Danh mục các hình vẽ, đồ thị ix
Danh mục các bảng x
MỞ ĐẦU 1
Tính cấp thiết của đề tài luận án 1
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận án 1
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án 2
Cấu trúc và những đóng góp của luận án 2

3.2.1 Các vấn đề chung của quan sát trạng thái 45
3.2.2 Xây dựng bộ quan sát trạng thái tối ưu 47
3.2.3 Cài đặt thuật toán quan sát tối ưu 51
3.3 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách
với hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi 55
3.4 Tóm tắt chương 60
CHƯƠNG 4: ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO PHẢN HỒI ĐẦU RA VỚI BỘ QUAN SÁT
TRẠNG THÁI TỐI ƯU CHO HỆ SONG TUYẾN 61
4.1 Phản hồi trạng thái 61
4.1.1 Thiết kế bộ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái cho hệ song tuyến với
hàm mục tiêu có tham số biến đổi 61
4.1.2 Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái 68
4.2 Quan sát trạng thái 73
4.2.1 Kiểm tra tính quan sát đều của hệ song tuyến 73
4.2.2 Thiết kế bộ quan sát trạng thái tối ưu cho hệ song tuyến 74
4.3 Tính ổn định của hệ song tuyến phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 82
4.4 Tóm tắt chương và các mở rộng 87
4.4.1 Tóm tắt chương 87
4.4.2 Các mở rộng 87
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 91
Những vấn đề đã được giải quyết 91
Những vấn đề còn tồn tại và kiến nghị 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 93
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 96

vii
Các ký hiệu được sử dụng




M

k

v
Chuẩn vô cùng của vector
k
v

k
v
Độ lớn của vector
k
v



f
x

Đạo hàm Jacobi của
f
theo
x

K

Lớp các hàm thực



k

đơn điệu giảm với


lim 0
k
k




KL

Lớp các hàm thực, liên tục


,
r k

,
, 0
r k

với


,k



Hàm hợp (ánh xạ tích) của hai hàm
h
và
f
, tức là





h f
1
0
{ }
N
k i


v
Dãy có các phần tử là các vector
1 1
, , ,
k k k N
  
v v v

viii
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Co

k
R  và biến đổi
13

Hình 1.3
Tín hiệu điều khiển
u
khi
const
k
R  và biến đổi
13

Hình 1.4
Tín hiệu ra
y
ứng với cửa sổ dự báo khác nhau
14

Hình 1.5
Tín hiệu điều khiển
u
khi
k
R
và cửa sổ dự báo thay đổi
14

Hình 3.1 Minh họa định lý 3.2 44



Hình 3.6 Cấu trúc hệ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách 56

Hình 3.7 Nguyên tắc làm việc của bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo
nguyên lý tách
57

Hình 3.8 Minh họa nội dung định lý 3.4 61

Hình 4.1
Đáp ứng thời gian của các biến trạng thái
1
x
và
2
x
cho ví dụ 4.1
72

Hình 4.2 Tín hiệu điều khiển
u
cho ví dụ 4.1 72

Hình 4.3
Giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu
k
J
biểu diễn theo
k


Đáp ứng thời gian của biến trạng thái
1
x
cho ví dụ 4.3
86

Hình 4.9
Đáp ứng thời gian của biến trạng thái
2
x
cho ví dụ 4.3
87

Hình 4.10 Tín hiệu điều khiển
u
cho ví dụ 4.3 87 x
Danh mục các bảng

Bảng 3.1 Số các vòng lặp của thuật toán Levenberg-Marquardt và Gauss-
Newton với các giá trị khác nhau của
M

55

Bảng 4.1 Chỉ số sai lệch quan sát khi tăng cửa sổ quan sát 82
nguyên lý tách cho hệ phi tuyến". Để thực hiện được mục tiêu này, luận án đặt ra hai nhiệm vụ
chính, bao gồm:
 Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái nhằm mở rộng tính linh hoạt của bộ điều khiển và hơn nữa là có thể
chuyển được bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển cũng
như trạng thái về thành bài toán không ràng buộc.
 Xây dựng bộ quan sát trạng thái và từ đó là bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho
hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ quan sát trạng thái, cũng như khảo sát tính ổn định
của hệ kín thu được.
2
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án
Phạm vi của luận án là nghiên cứu và đưa ra các kết quả cho điều khiển dự báo hệ phi
tuyến nói chung và hệ song tuyến (lớp hệ phi tuyến đặc biệt và phổ biến trong công nghiệp)
nói riêng. Các bài toán rất phổ biến hiện nay trong điều khiển dự báo, chẳng hạn như bài toán
ước lượng trạng thái hay bài toán ổn định hóa và bám ổn định quỹ đạo đặt cũng sẽ được giải
quyết. Tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái và phản hồi đầu ra được luận
án chứng minh dựa trên lý thuyết ổn định Lyapunov và ổn định ISS (Input-to-State Stability).
Đặc biệt, với hệ song tuyến, khi được coi là vô số các hệ tuyến tính tham số hằng, thì lời giải
của bài toán tối ưu trong điều khiển dự báo có xét đến điều kiện ràng buộc của tín hiệu điều
khiển lại có thể được phát triển từ các kết quả quen thuộc của bài toán LQR (Linear
Quadratic Regulator) hay phương pháp quy hoạch động của Bellman nhờ việc sử dụng hàm
mục tiêu có tham số biến đổi.
Cấu trúc và những đóng góp của luận án
Luận án được bố cục với 4 chương chính. Sau phần giới thiệu chung về điều khiển dự
báo và những khái niệm lý thuyết cơ bản trong chương 1, chương 2 sẽ trình bày tổng quan về
các kết quả đã có của điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái, để từ đó
làm rõ hơn được những kết quả chính của luận án ở các chương sau. Các kết quả lý thuyết
phát triển thêm của luận án được trình bày ở hai chương 3 và 4. Cụ thể, chương 3 khảo sát
tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái với hàm mục tiêu của bộ điều khiển
có cấu trúc biến đổi và đề xuất sử dụng bộ quan sát tối ưu, từ đó phân tích tính ổn định theo

Điều khiển dự báo dựa theo mô hình (Model Predictive Control - MPC), hay gọi tắt là
điều khiển dự báo, đề cập đến một họ các phương pháp điều khiển sử dụng một mô hình toán
học để dự báo tín hiệu ra của đối tượng (quá trình) trong tương lai. Tại mỗi thời điểm trích
mẫu, thuật toán điều khiển dự báo sẽ tối ưu đáp ứng của hệ bằng cách tính toán ra dãy tín hiệu
điều khiển tương lai. Chỉ có thành phần đầu tiên của dãy tín hiệu điều khiển tối ưu này được
đưa tới đối tượng và toàn bộ chu trình tính toán sẽ được lặp lại tại các thời điểm trích mẫu tiếp
theo [16,36,50]. Nhờ khả năng xử lý trực tiếp các điều kiện ràng buộc của trạng thái và tín
hiệu vào/ra trong bài toán tối ưu nên điều khiển dự báo đã được áp dụng thành công trong rất
nhiều lĩnh vực trên thực tế [45,47].

Hình 1.1: Nguyên lý làm việc của bộ điều khiển dự báo

Hình 1.1 mô tả cấu trúc bên trong (hình 1.1a) và nguyên lý hoạt động (hình 1.1b) của hệ
điều khiển dự báo. Như vậy bộ điều khiển dự báo gồm có ba khâu chính:
 Khâu mô hình dự báo. Khâu này có nhiệm vụ xác định được dãy các giá trị đầu ra
tương lai thuộc cửa sổ dự báo hiện tại, tức là cửa sổ dự báo


,
k k N
 tính từ thời điểm

w
k
y

*
k
u
k i

e
k
1
k


1
k N
 
t

Thời điểm hiện tại
b)

a)

Mô hình
dự báo

Đối tượng
điều khiển

. Nguyên
tắc xây dựng hàm mục tiêu này là khi có được nghiệm tối ưu của:
*
arg min ( )
N
U
J


U
U U
(1.2)
thì chất lượng điều khiển mong muốn sẽ được thỏa mãn, trong đó
N
U
là tập các giá trị
tín hiệu điều khiển thích hợp. Chẳng hạn khi chất lượng điều khiển mong muốn là hệ
phải có tín hiệu ra
k
y
bám theo được dãy giá trị tín hiệu mẫu đặt
k
w
đặt trước, thì một
trong các hàm mục tiêu thích hợp sẽ là:
1
0
( )
N
T T

  
U u u u

thì chỉ có phần tử đầu tiên của nó:


* *
, , ,
k
I  
U
u
được sử dụng, trong đó
I
là ký hiệu của ma trận đơn vị và

là ma trận có tất cả các
phần tử bằng 0. Tại thời điểm
1
k

tiếp theo, chu trình trên được thực hiện lặp lại (hình
1.1b).
Nếu bài toán điều khiển dự báo nêu trên có thêm điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều
khiển
k
u
, tức là bài toán tối ưu (1.2) có ràng buộc
U
, thì người ta gọi đó là điều khiển dự báo

cho hệ phi tuyến" của luận án.
1.1.2 Các hướng nghiên cứu của luận án
Để thực hiện đề tài "Điều khiển dự báo phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách cho hệ phi
tuyến", luận án đã đặt ra hai hướng nghiên cứu chính, gồm:
 Xây dựng bộ điều khiển dự báo phản hồi đầu ra cho hệ phi tuyến trên cơ sở sử dụng bộ
quan sát trạng thái và khảo sát tính ổn định của hệ thu được.
 Sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi trong việc xây dựng bộ điều khiển dự báo
phản hồi trạng thái nhằm mở rộng tính linh hoạt của bộ điều khiển và hơn nữa là có thể
chuyển được bài toán điều khiển có điều kiện ràng buộc cho tín hiệu điều khiển cũng
như trạng thái về thành bài toán không ràng buộc.
A) Về phản hồi đầu ra
Thứ nhất là về hướng điều khiển phản hồi đầu ra. Mặc dù phát triển nhanh, song phần
lớn các đóng góp mang tính lý thuyết của điều khiển dự báo hệ phi tuyến đều dựa trên giả
thiết phải có đầy đủ thông tin về trạng thái bên trong của hệ. Giả thiết này thường không được
thỏa mãn trong thực tế, do không thể đo được tất cả các biến trạng thái của đối tượng [21, 38].
Một giải pháp cho vấn đề này là sử dụng một bộ quan sát trạng thái để ước lượng các biến
trạng thái của đối tượng từ các tín hiệu vào/ra đo được rồi sau đó áp dụng các phương pháp
điều khiển dự báo phản hồi trạng thái đã có, hay nói cách khác là chuyển bài toán phản hồi
7
trạng thái thành bài toán phản hồi đầu ra [9]. Tất nhiên, vẫn có những công trình nghiên cứu
về điều khiển dự báo sử dụng phản hồi đầu ra trực tiếp mà không cần đến thông tin về trạng
thái bên trong của hệ, chẳng hạn [25, 43], song các phương pháp hiện có vẫn bộc lộ những
hạn chế về phương pháp luận và phạm vi ứng dụng.
Với những lý do trên, luận án sẽ tập trung giải quyết bài toán quan sát trạng thái và bài
toán điều khiển dự báo phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái cho hệ phi tuyến.
Hơn thế nữa, các phương pháp điều khiển phản hồi đầu ra dựa trên quan sát trạng thái
cho các hệ phi tuyến nói chung và các hệ điều khiển dự báo nói riêng đều phải chỉ ra tính ổn
định của hệ kín dựa trên nguyên lý tách. Thậm chí, các phương pháp điều khiển dự báo hệ
tuyến tính cũng không đương nhiên thỏa mãn nguyên lý tách do sự có mặt của các điều kiện
ràng buộc [21].

k k N
diag Q diag R col
 
  EQ R e e e
Khi đó có thể nhận thấy với mô hình dự báo phi tuyến, do
E
là hàm phi tuyến của
U
, nên
hàm mục tiêu (1.4) này không còn ở dạng toàn phương theo
U
, thậm chí không phải là hàm
lồi, do đó chưa thể khẳng định được nghiệm
*
U
của bài toán tối ưu (1.2) tìm được nhờ các
phương pháp tối ưu hóa sẽ là nghiệm toàn cục. Nói cách khác, khi áp dụng những phương
8
pháp quy hoạch phi tuyến, thì nghiệm
*
U
có thể chỉ mới là điểm cực trị của
( )
J
U
, chứ chưa
phải nghiệm đúng của (1.2).
Để tìm nghiệm toàn cục của (1.2), ta cần tới phương pháp điều khiển tối ưu, chẳng hạn
như phương pháp biến phân, hoặc quy hoạch động của Bellman [3], song các công thức tường
minh xác định

nghĩa với việc càng tăng
R
, điều kiện ràng buộc:
max
k
u
u (1.5)
càng dễ được thỏa mãn.
 Nhưng nếu càng tăng
R
, gián tiếp sẽ càng làm cho sự tham gia của thành phần thứ
hai là
T
E E
Q
trong
( )
J
U
lại càng giảm, kéo theo càng khó có được
0

E , tức là chất
lượng bám tín hiệu mẫu
k
w
đặt ở đầu vào càng xấu.
Tất nhiên ta càng không thể vừa tăng
R
vừa tăng

trong
( )
J
U
nhằm làm giảm sai lệch bám sau này. Tương tự ta
cũng có thể chọn
Q
đủ nhỏ ban đầu, sau đó tăng dần
Q
theo
k
.
Với hai trường hợp thay đổi hai ma trận
R
hay
Q
theo thời gian
k
như trên, hàm mục
tiêu gốc ban đầu (1.4) trở thành:
( )
T T
k k
J  
U E E U U
Q R (1.6)
và ta sẽ gọi hàm mục tiêu "linh hoạt" này là hàm mục tiêu có tham số biến đổi. Mở rộng hơn
nữa, ta có thể thay (1.6) bởi hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi như sau:

1

bài toán điều khiển dự báo.
Cuối cùng ta cũng cần lý giải cho việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7)
thay cho hàm mục tiêu cố định (1.3) có làm mất đi tính tối ưu của bài toán hay không. Câu trả
lời ở đây là mục đích của điều khiển dự báo luôn là đảm bảo chất lượng điều khiển đặt ra
(chẳng hạn điều khiển bám với ràng buộc cho trước), chứ không phải là điều khiển tối ưu, tức
là ở điều khiển dự báo ta có thể sử dụng nhiều hàm mục tiêu khác nhau, miễn rằng chúng đảm
bảo được chỉ tiêu chất lượng ban đầu. Do đó việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi
(1.7), tuy rằng không còn là bài toán tối ưu thuần túy, song lại đáp ứng được yêu cầu chất
lượng của điều khiển dự báo. Bởi vậy việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi không
ảnh hưởng tới nhiệm vụ của điều khiển dự báo.
Như vậy, với việc sử dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7), luận án đặt ra nhiệm
vụ là cần phải xác định những giả thiết cần thiết cho hàm
( , )
k i k i k i
g
  
e u dưới dấu tổng, sao
cho những kết quả đã có của điều khiển dự báo với hàm mục tiêu cố định vẫn đúng khi sử
dụng hàm mục tiêu có cấu trúc biến đổi (1.7). Nói cách khác, luận án đặt ra nhiệm vụ là phải
xác định điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ điều khiển dự báo phản hồi trạng thái có hàm
mục tiêu có cấu trúc biến đổi.
Để minh họa ý nghĩa việc thay thế hàm mục tiêu cố định (1.4) bằng hàm mục tiêu có
tham số biến đổi (1.6) hoặc có cấu trúc biến đổi (1.7), nhằm chuyển bài toán điều khiển dự
báo có ràng buộc thành bài toán không bị ràng buộc, từ đó sử dụng được các phương pháp tối
ưu động thay vì quy hoạch phi tuyến, ta xét ví dụ ứng dụng sau. Đây cũng là một ứng dụng
thực tế của phương pháp đề xuất trong luận án đã được nghiên cứu sinh trình bày trong tài
liệu [1].
Ví dụ 1.1: Xét hệ truyền động qua một cặp bánh răng, mô tả bởi mô hình liên tục [1]:

2 2

20
L
 
  . Với hệ có khe hở thì 18

L
25,
10

c
là đại lượng đánh giá độ cứng của bánh răng. Giá trị
c
càng nhỏ, độ mềm dẻo của
bánh răng càng lớn và
0
c
c





ë chÕ ®é ¨n khíp
ë chÕ ®é khe hë
1 2
, ,
d

 
là vận tốc góc tương ứng của hai bánh răng,

12
i
là tỷ số truyền từ bánh răng 1 sang bánh răng 2, tức là
2 21 1
i
 
 ,
1
21 12
i i


.
Dưới một số giả thiết bổ sung thêm [1], mô hình trên sẽ chuyển được về thành:

1
T
k k k
k k
A u
y

 





T
là chu kỳ trích mẫu, và

1 2 3
1 1 1 2 2 2
2 2 1 2 2
1 1 2 2 3 2 2 4 12 2 2
1 4 1 12
1 4 1 3 1 12
1 3 1 3
1 4 1 3
0 1 0 0 1
0 0 1 , 0 , 0
0
,
cos , cos , ,
1 1
,
g
ms c ms
L L L L
g f
A
a a a
M b M M b
cr cr J i b
b i
b J i
J J
J b


 
 
b c
1
2
3
a
a
a
  
  

  
   
  

Từ mô hình dự báo trên và hàm mục tiêu có tham số biến đổi tương ứng (1.6), lúc này
được viết lại thành:





 
( )
2
T
T
k k

Q R
 1
1 2
0 0
0
T
T
T
T T
T T T
k
k
N
k N
N N
w A
w
A
A
A A


 
 
 
 
 

k k
Q R
 
R R
được chọn sao cho điều kiện bị chặn cho trước:

30
k
u


được thỏa mãn.
Từ đây ta có ngay tín hiệu điều khiển tối ưu là:

 
 
*
arg min ( )
arg min 2
1
k
T T T
k k k
T T
k k k
J
 
  
 


k
Q

cho các trường hợp khác nhau về cửa sổ dự báo
5, 50
N N
 
, cũng như các tham số
2
4 2
10
{ 3.10 , 10 , }
2
k
k
R

 
 của hàm mục tiêu.
Những kết quả mô phỏng ở các hình 1.2 và hình 1.3 một lần nữa cho thấy khi
k
R
giảm
dần (đường nét liền), tín hiệu ra bám được theo tín hiệu đặt mà vẫn đảm bảo thỏa mãn điều
kiện ràng buộc của tín hiệu điều khiển
30
k
u

. Trong khi đó nếu giữ nguyên

Hình 1.2: Tín hiệu ra
y
khi
const
k
R  và biến đổi
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Time, sec
ControlR=0.01(0.5)
k
R=0.0003
constraint

Hình 1.3: Tín hiệu điều khiển
u
khi
const
k
R  và biến đổi
R=0.01(0.5)
k
, N=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
ControlR=0.01, N=5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
0
10
20
30
Control
Time, secR=0.01, N=50

Hình 1.5: Tín hiệu điều khiển
u
khi


5
N

(đường nét gạch) nhưng vẫn không thể tốt bằng trường hợp
2
10 2
k
k
R


và
5
N

(đường nét liền). Mặt khác, hạn chế của việc tăng
N
là làm tăng khối lượng tính
toán của bộ điều khiển trong một chu kỳ trích mẫu.
14
Nói cách khác, kết quả mô phỏng trên đã xác nhận một lần nữa khẳng định là thông qua
việc thay đổi tham số
,
k k
Q R
của hàm mục tiêu một cách thích hợp ta hoàn toàn vẫn có thể
giữ nguyên được chất lượng điều khiển đặt ra ban đầu, song lại có thể chuyển bài toán thiết kế
bộ điều khiển dự báo có ràng buộc thành bài toán không bị ràng buộc.
1.2 Những kết quả lý thuyết cơ bản

k
, nếu với mọi
0


bao giờ cũng tồn tại


0
,
k
 
sao cho quỹ đạo
trạng thái tự do


0
,
k
k 
f
x x
của nó, tức là nghiệm của (1.9), với điều kiện đầu
0

O
x , trong đó
O
là một miền hở nào đó chứa gốc tọa độ, thỏa mãn:


r

với
0
r

được gọi là thuộc lớp
K
nếu nó đơn điệu tăng và


0 0.


Nếu còn có


lim
r
r


 
thì hàm


r

được gọi là thuộc lớp


, 0
r k

được gọi là thuộc lớp
KL
nếu khi
k
cố
định thì nó thuộc lớp
K
còn khi
r
cố định thì nó thuộc lớp
L
.
15
Định lý sau đây phát biểu tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.
Định lý 1.1 [27]: Xét hệ phi tuyến không bị kích thích và cân bằng tại gốc mô tả bởi (1.9). Ký
hiệu


,
V k
x là hàm trơn thỏa mãn:







, 1 , ,
k k k
V V k V k W k

     x x x
a) Nếu


, 0
k
W k

x ,
k
 
O
x và
0
k k
 
thì hệ sẽ ổn định tại
0
.
k

b) Nếu





k
V k
x sẽ được gọi là hàm Lyapunov
(Lyapunov function - LF).
c) Nếu hệ ổn định hoặc ổn định tiệm cận thì cũng sẽ có


lim , 0
k
k
W k


x .
1.2.2 Tính ổn định ISS
Khái niệm ổn định ISS liên quan tới hệ bất định, có mô hình không bị kích thích:

1
( , , )
k k k
k

x f x d (1.10)
trong đó
k
d
là tín hiệu bất định, tác động không mong muốn vào hệ. Khái niệm này được
hiểu như sau:
Định nghĩa 1.3: Xét hệ phi tuyến không dừng (1.10) cân bằng tại gốc, tức là:


0
x
tùy ý, được hiểu là giá trị trạng thái của hệ khi
0
k k

, luôn có:







0 0 0
, , ,
k k k
k k k
 

  x x d x d

Với định nghĩa như trên thì khi hệ bất định (1.10) là ổn định ISS, mọi quỹ đạo trạng thái
tự do của hệ, không phụ thuộc vào thành phần bất định
k

 
d tác động vào hệ, luôn tiến
về được một lân cận của gốc tọa độ
O