Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
o0o

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGÀNH: TỰ ĐỘNG HÓA
NGHIÊN CỨU, CÀI ĐẶT BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHẢN HỒI
TÍN HIỆU RA


Người HD Khoa Học: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn THÁI NGUYÊN 2011
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP
***
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tư Do - Hạnh Phúc
o0o

THUYẾT MINH
LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

ĐỀ TÀI:
NGHIÊN CỨU, CÀI ĐẶT BỘ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU PHẢN HỒI
TÍN HIỆU RA
Học viên
: Phạm Thị Tâm Huyền
Lớp
: CH-K12
Chuyên ngành
: Tự động hoá
Người hướng dẫn
: PGS.TS Nguyễn Doãn Phước
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC
Lời nói đầu 1
Chương 1.PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN KHÔNG GIAN TRẠNG
THÁI 4
1.1. Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích 4
1.2 Phân tích tính ổn định 6
1.2.1. Định lý Gerchgorin. 6
1.2.2. Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov - Hàm Lyapunov 9
1.3. Phân tích tính điều khiển được 12
1.3.1. Khái niệm điều khiển được và điều khiển được hoàn toàn 12
1.3.2. Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển được cho hệ tham số hằng 14
1. Tiêu chuẩn Hautus 14
2. Tiêu chuẩn Kalman 16
1.4. Phân tích tính quan sát được 19
1.4.1. Khái niệm quan sát được và quan sát được hoàn toàn 19
1.4.2. Một số kết luận chung về tính quan sát được của hệ tuyến tính 20
1.4.3. Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát được của hệ tham số
hằng 24
Chương 2.THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRẠNG THÁI TỐI
ƯU 27
2.1. Phương pháp biến phân 27
2.1.1. Nội dung phương pháp 27
2.1.2. Ứng dụng phương pháp biến phân để thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng

5.2.2. Thiết kế bộ quan sát trạng thái Kalman 67
5.2.3. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG 70
5.2.4. So sánh chất lượng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG 72
5.2.5. Mô phỏng bộ điêu khiển LQG khi có nhiễu ồn trắng tác động. So sánh với
bộ điều khiển LQR. 74
KẾT LUẬN CHUNG VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 78
PHỤ LỤC 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
x
0

Điểm trạng thái đầu
x
T

Điểm trạng thái cuối
A
Ma trận nxn
B
Ma trận nxm
I
Ma trận đơn vị
u
Tín hiệu điều khiển
x
Biến trạng thái
LQR

7
Hình 1.3. Những tín hiệu thích hợp
13
Hình 1.6. Giải thích tiêu chuẩn kalman bằng không gian bất biến
17
Hình 2.1. Bộ điều khiển LQR phản hồi dương
30
Hình 2.2. Bộ điều khiển LQR phản hồi âm
34
Hình 3.1. Bộ lọc Winner
48
Hình 3.2. Mục đích quan sát trạng thái
54
Hình 4.1. Nguyên tắc thiết kế bộ điều khiển LQG
59
Hình 4.2. Giải thích nguyên lý tách
60
Hình 5.1. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR
66
Hình 5.2. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQR
67
Hình 5.3. Sơ đồ mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman
68
Hình 5.4. Kết quả mô phỏng bộ quan sát trạng thái Kalman
69
Hình 5.5. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQG
70
Hình 5.6. Kết quả mô phỏng bộ điều khiển LQG
71
Hình 5.7. Sơ đồ mô phỏng bộ điều khiển LQR và bộ điều khiển LQG

Về bản chất, hình thức điều khiển này cũng giống như bài toán tìm tín
hiệu điều khiển thích hợp đặt ở đầu vào của đối tượng, nhưng được bổ sung
thêm bộ điều khiển để tạo ra được tín hiệu điều khiển đó.
Ví dụ để điều khiển tàu thuỷ đi được theo một quỹ đạo y(t) mong muốn
(tín hiêu đầu ra), người ta phải tác động bằng lực
)(t

vào tay lái để tạo ra
được vị trí u(t) của bánh lái một cách thích hợp. Trong ví dụ này hệ thống tay
lái – bánh lái có vai trò của một bộ điều khiển.
Hình thức điều khiển hở này là điều khiển một chiều và chất lượng điều
khiển phụ thuộc vào độ chính xác của mô hình toán học mô tả đối tượng cũng
Bộ điều
khiển
Đối tượng
điều khiển
)(t


u(t)
y(t)
Hình 1. Cấu trúc điều khiển hở

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 2 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
như phải có giả thiết rằng không có tác động nhiễu không mong muốn vào hệ
thống trong suốt quá trình điều khiển.
* Điều khiển phản hồi trạng thái

của đối tượng để tạo ra được tín hiệu đầu vào
u(t) cho đối tượng. Vị trí của bộ điều khiển có thể là ở mạch truyền thẳng
hoặc ở mạch hồi tiếp.
Hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có khả năng giữ được ổn định
chất lượng mong muốn cho đối tượng, mặc dù trong quá trình điều khiển luôn
có những tác động nhiễu. Như vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái tối
ưu đã giải quyết triệt để mục tiêu của bài toán điều khiển đó là chất lượng
điều khiển đạt tốt nhất.
Tuy vậy hệ thống điều khiển phản hồi trạng thái có nhược điểm, trong nhiều
trường hợp trạng thái của đối tượng điều khiển không đo được trực tiếp gây
khó khăn cho việc nhận dạng đối tượng điều khiển vì vậy người ta phải thay
bộ điều khiển phản hồi trạng thái bằng bộ điều khiển phản hồi tín hiệu ra.
Bộ điều
khiển
Đối
tượng
điều
khiển


x

y

u

e




Với những ưu nhược điểm của bài toán phản hồi trạng thái và điều khiển phản
hồi tín hiệu ra, từ những lý thuyết đã nghiên cứu luận văn trình bày thuật toán
thiết kế bộ điều khiển tối ưu phản hồi tín hiệu ra dựa trên sự kết hợp của hai
bộ điều khiển: Bộ điều khiển phản hồi trạng thái và bộ điều khiển phản hồi
đầu ra áp dụng cho đối tượng điều khiển là đối tượng tuyến tính để chất lượng
điều khiển là tối ưu.
Sau một thời gian học tập và nghiên cứu đến nay bản luận văn của tôi
đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS
Nguyễn Doãn Phước - Thầy giáo hướng dẫn trực tiếp, người đã đưa ra hướng
nghiên cứu tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy, giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nâng cao trình độ kiến thức.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả bạn bè, đồng nghiệp và người thân
đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình vừa qua.
Vì điều kiện về thời và khả năng của bản thân có hạn nên bản luận văn
này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các thầy cô cùng các bạn
đồng nghiệp góp ý sửa đổi, bổ xung thêm để bản luận văn thêm hoàn thiện.

Bộ điều
khiển
Đối tượng
điều khiển


y

u

e





uDxCy
uBxA
dt
xd
(1.1)
Mà ở đó rất có thể có những biến trạng thái thừa, nên công việc phân
tích hệ thống trong không gian trạng thái còn cần phải làm rõ thêm:
1) Hiểu biết về sự phân bố các điểm cân bằng của hệ thống. Một điểm
trạng thái x
e
được gọi là điểm cân bằng nếu như khi hệ đang ở điểm trạng thái x
e

và không có một tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó. Theo
định nghĩa như vậy thì điểm cân bằng x
e
của hệ thống phải là nghiệm của:
0 xA
dt
xd
(1.2)
Điều này cũng dễ hiểu, vì theo định nghĩa, điểm cân bằng là điểm mà
hệ thống sẽ nằm im tại đó, tức là trạng thái của nó không bị thay đổi




Lyapunow tại x
e
.
3) Hiểu biết về tính điều khiển được của hệ thống tại một điểm trạng
thái cho trước.
Nhiệm vụ chính của điều khiển là tìm được tín hiệu điều khiển mang lại
cho hệ thống một chất lượng mong muốn, tức là phải tìm ra được một tín hiệu
thoả mãn chất lượng đề ra trong số các tín hiệu có khả năng đưa hệ thống từ
điểm trạng thái x
0
ban đầu tới được điểm trạng thái đích x
T
. Nếu như không
tồn tại bất cứ một tín hiệu điều khiển nào đưa được hệ từ x
0
tới x
T
thì sự cố
gắng tổng hợp hay đi tìm tín hiệu điều khiển như trên sẽ trở nên vô nghĩa (bài
toán không có lời giải). Bởi vậy, để công việc điều khiển có thể có kết quả ta
phải biết được rằng có tồn tại hay không ít nhất một tín hiệu điều khiển đưa
được hệ thống từ x
0
về x
T
trong khoảng thời gian T hữu hạn. Nếu như tồn tại
một tín hiệu điều khiển làm được việc đó thì ta nói hệ thống là điều khiển
được tại điểm trạng thái x
0
.

Các tiêu chuẩn đã biết như Routh, Hurwitz, Michailov, Lienard-
Chipart,… đều sử dụng được để kiểm tra tính ổn định hệ (1.1). Vấn đề hạn
chế chính có lẽ còn làm cho ta không được thoải mái khi sử dụng chúng là
phải xây dựng được đa thức đặc tính p(s)=det(sI-A), đặc biệt khi A có số
chiều khá lớn.
1.2.1. Định lý Gerchgorin.
Định lý Gerschgorin trình bày sau đây và hệ quả của nó sẽ là một tiêu
chuẩn bổ sung, giúp cho ta xét được tính ổn định của hệ (1.1) mà không cần
phải có đa thức đặc tính. Tuy nhiên định lý này chỉ là một điều kiện đủ. Điều
đó nói rằng nếu như ma trận A không thoả mãn định lý thì hệ (1.1) vẫn có thể
ổn định.
Định lý 1.1. (Gerschgorin): Với mỗi giá trị riêng s
k
của ma trận phức
(các phần tử là những số phức):
















=a
ii
+… +a
ii-1
+a
ii+1
+….a
in
 (hình 1.1)tức là:




n
j
j
ijiiik
aRas
1
1

.
ii
a

i
R


j

0 vIsA
k

trong đó 0 là ký hiệu chỉ vector có các phần tử đều bằng 0.
Suy ra:

 
0
1
1




n
j
j
ikiijij
vsava

=>
 




n
j
j
jijiiik

1
1
.





n
j
j
ijiik
aas
1
1
(đ.p.c.m)
Theo định lý 1.1, mỗi giá trị riêng s
i
của A đều được bao bởi một đường
tròn có tâm là a
ii
và bán kính là R
i
, i= 1,….,n. Do đó nếu như các đường tròn
đó đều nằm bên trái trục ảo thì chắc chắn tất cả các giá trị s
i
, i=1,….,n đều
phải có phần thực âm ( hình 1.2).
Ta đi đến điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ như sau:
Định lý 1.2 (Hệ quả Gerschgorin): Ký hiệu



Hình 1.2. Định vị miền giá trị riêng
của ma trận
.
22
a

2
R

.
11
a

1
RHV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 8 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Cho hệ mô tả bởi:
ux
dt
xd







013

Từ ma trận hệ thống có:
a
11
+R
1
= -3+1=-2<0
a
22
+R
2
=-3+2=-1<0
a
33
+R
3
=-4(2+1)=-1<0
Do đó theo định lý 1.2 thì hệ ổn định.
Ta có thể kiểm tra lại kết luận trên nhờ đa thức đặc tính của hệ thống
 
 
23)4(
412
032
013
det)det()(
2



2
js 
,
23
3
js 

đều có phần thực âm.
Ví dụ 1.2. Minh hoạ ý nghĩa định lý Gerschogorin
Định lý 1.2 chỉ là điều kiện đủ, bởi vậy nếu hệ thống thoả mãn định lý
1.2 thì có thể nó vẫn ổn định. Ta xét hệ sau:
ux
dt
xd

















012
det)det()(
2




















 ss
s
s
s
AsIsp

với ba nghiệm:

đây là phương pháp xét tính ổn định một cách trực tiếp trong không gian trạng
thái rất thích hợp cho những hệ thống mô tả mô hình trạng thái. Xuất phát
điểm của tiêu chuẩn Lyaunov là định lý sau:
Định lý 1.3. Hệ (1.1) ổn định BIBO khi và chỉ khi nó ổn định tiệm cận
Lyapunov, tức là khi và chỉ khi các qũy đạo trạng thái tự do có hướng tiến về
gốc toạ độ và kết thúc tại đó.
Định lý 1.4 (Lyapunov): Nếu tồn tại hàm V(x), thoả mãn các điều kiện:
a) Khả vi, xác định dương, tức là V(x)>0 với x≠0 và V(x)=0 x = 0
b)
,0
dt
dV
với
dt
dV
là đạo hàm của V(x) dọc theo qũy đạo trạng thái tự do.
thì hệ sẽ ổn định tiệm cận Lyapunov tại 0 (ổn định BIBO). Hàm V(x)
khi đó được gọi là hàm Lyapunov. Nói cách khác, hệ ổn định tiệm cận tại 0
nếu nó có hàm Lyapunov.

HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 10 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Ví dụ 1.3.: Minh hoạ tiêu chuẩn Lyapunov
Cho hệ mô tả bởi:
 






































2
1
2
2
52
24
.
10
21
01
.
210
152
024
u
uu
u
xx
xxx
xx
u
u
u
x
x
x
dt
xd
ux


321


















 xxx
xx
xxx
xx
xxx
dt
dV

với mọi vector x0 (hàm
dt
dV

dt
xd
Px
dt
dV
T
TT
T
T









 
xPAPAx
T
T
HV: Ph¹m ThÞ T©m HuyÒn-T§H - 11 - hdkh: pgS.TS NguyÔn Do·n Ph-íc
Bởi vậy hệ tuyến tính (1.1) sẽ ổn định nếu như tồn tại một ma trận Q
xác định dương sao cho:
 
0 xPAPAx

(1.4)
có nghiệm P cũng đối xứng, xác định dương. Phương trình (1.4) có tên
gọi là phương trình Lyapunov.
Cuối cùng, và cũng để việc sử dụng định lý 1.5 được thuận tiện, thì
định lý của Sylvester cho sau đây như một công cụ xác định tính xác định
dương của một ma trận đối xứng cho trước.
Định lý 1.6 (Sylvester): Cần và đủ để ma trận vuông, đối xứng:
,
21
22221
11211






























qq
qq

, 0det
333231
232221
131211

































2
1
2
1

Chọn ma trận



















q
q
P
ab
ba
ab
ba
P
0
0
=>







thái ban đầu không mong muốn tới một điểm trạng thái mong muốn khác. Ví
dụ, hệ đang làm việc ổn định ở trạng thái cân bằng x
T
thì có một tín hiệu nhiễu
tác động vào hệ làm cho hệ ra khỏi điểm làm việc cân bằng đó và chuyển tới
một điểm trạng thái x
0
không mong muốn nào đó. Nhiệm vụ của điều khiển là
phải tìm tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ x
0
quay trở về điểm trạng thái
cân bằng x
T
ban đầu trong một khoảng thời gian hữu hạn (hình 1.3).
- Tìm trong số những tín hiệu
u(t) đã xác định được một (hoặc nhiều)
tín hiệu mang đến cho quá trình chuyển
dổi đó một chất lượng như đã yêu cầu.
Chẳng hạn trong số các tín hiệu có khả
năng đưa hệ từ x
0
về lại được x
T
thì phải
xác định một tín hiệu sao cho với nó, chi
phí cho quá trình chuyển đổi là thấp nhất.
Như vậy, rõ ràng ta chỉ có thể thực sự điều khiển được hệ thống nếu
như đã tìm được ít nhất một tín hiệu điều khiển u(t) đưa được hệ từ điểm
trạng thái đầu x
0

điểm trạng thái ban đầu x
0
(tuỳ ý) để được gốc tọa độ 0 trong khoảng thời
gian hữu hạn.
Ví dụ 1.5. Minh hoạ khái niệm điều khiển được
Xét hệ thống có mô hình:
 
























1
0
0
0

Rõ ràng tín hiệu điều khiển u(t) không có tác dụng gì đối với biến trạng
thái x
1
(t) và do đó mọi tín hiệu u(t) không đưa được hệ từ điểm trạng thái ban
đầu









0
2
0
1
0
x
x
x
có
0
1



t
tAAt
duBexe
0
)(
0
'
0



với x
0
cho trước có nghiệm u(t) thì phương trình:
 


t
duBex
0
0



uBxA
dt
xd


1
(t) không phụ thuộc u(t) và do đó u(t) không điều khiển được x
1
(t). Ma trận
A và B của hệ có dạng:
,
0
0











b
a
A









Bên cạnh tiêu chuẩn Hautus, một tiêu chuẩn khác cũng rất được ưu
dùng là tiêu chuẩn Kalman.
Khái niệm điều khiển cũng được Kalman định nghĩa năm 1960 và cùng
với định nghĩa đó ông đã đưa ra tiêu chuẩn xét tính điều khiển được của hệ
tuyến tính tham số hằng.
2. Tiêu chuẩn Kalman
Định lý 1.8. (Kalman): Cần và đủ để hệ tuyến tính (1.5) điều khiển
được là:
Rank (B, AB,… A
n-1
B)=n
Chứng minh:
Do có:
 



t
A
duBex
0
0



(1.7)
nên hệ sẽ điều khiển được khi và chỉ khi phương trình trên với x
0
tuỳ ý
cho trước luôn có ít nhất một nghiệm u(t).




)(
)(
,
1
0
1
ta
ta
BAABB
n
n

(1.8)