 1. Chứng minh rằng hàm số y = x
3
− 3x
2
+ 3x không có cực trị.
 2. Chứng minh rằng hàm số y = x
2
+ |x| có cực tiểu tại x = 0, mặc dù nó không có đạo hàm ngay
tại điểm đó.
 3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai
điểm cực trị là (0; 0) v à (1; 1).
 4. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại v à cực tiểu.
ĐS. m  = 1.
 5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x
3
+ 3mx
2
+ 3(1 −m
2
)x + m
3
−m
2

1
x
(m là tham số).
Tìm m để hàm số có cực trị v à khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C
m
) đến tiệm cận xiên của
(C
m
) bằng
1
√
2
.
ĐS. m = 1.
 10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số y =
x
2
+ (m + 1)x + m + 1
x + 1
(m là tham
số).
Chứng minh rằng v ớ i m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu v à khoảng
cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
 11. (Dự bị 2005) Gọi (C

x
2
− 2mx + 2
x − 1
.
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB
song song v ớ i đường thẳng 2x −y − 10 = 0.
ĐS. m <
3
2
.
 14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x
3
+ (1 − 2m)x
2
+ (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại v à cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
ĐS. m < −1;
5
4
< m <
7
5
.
 15. Cho hàm số y = x
4
−2mx
2
+ m −1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác đều.

y =
x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m
x + 2
, m là tham số. (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực đại v à cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng
v ớ i gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
ĐS. m  = 0, m = −4 ±
√
24.
 20. (B, 2007) Cho hàm số
y = −x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
− 1)x − 3m
2
− 1 (m là tham số). (2)
2
Đinh Xuân Th󰖢ch - THPT Yên Mô B
www.VIETMATHS.com
a) Khảo sát sự biến thiên v à v ẽ đồ thị của hàm số (2).
b) Tìm m để hàm số (2) có cực đại v à cực tiểu v à các điểm cực trị của hàm số (2) cách đều gốc
toạ độ.
ĐS. b) m = ±

 23. Giải các phương trình sau
a)
√
x
2
− 6x + 6 = 2x − 1;
b) (Khối D, 2006)
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1 = 0;
c) (x + 5)(2 − x) = 3
√
x
2
+ 3x;
d) (Dự bị 2005)
√
3x − 3 −
√
5 − x =
√
2x − 4;
e)

7 − x
2
+ x
√
x + 5 =

x + 3
2
.
 24. Tìm m để phương trình
√
2x
2
+ mx = 3 − x có nghiệm duy nhất.
 25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
+ 2) = 2
√
1 − x
4
+
√
1 + x
2
−
√
1 − x
2
.

2
+ 2x − 8 =

m(x − 2).
 30. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3
Đinh Xuân Th󰖢ch - THPT Yên Mô B
www.VIETMATHS.com
(a)
√
x + 3 +
√
6 − x −

(x + 3)(6 − x) = m;
(b)
√
x + 1 +
√
3 − x −

(x + 1)(3 − x) = m;
(c) x
2
−
√
4 − x
2
+ m = 0;
 31. (A, 2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân

√
5
; −

3
5

∪


3
5
;
2
√
5

.
 33. Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình
3.
5
√
x + 2 − 16b
2
.
5
√
32x + 32 =
10
√

 34. Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình
3.
5
√
x + 4 − 7b
2
.
5
√
32x + 96 =
10
√
x
2
+ 7x + 12
có nghiệm duy nhất.
Đáp số. b ∈

−∞;

2
7

∪

−
1
√
7
;

 37. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình
4
√
x
4
− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
 38. (Dự bị 2, khối D, 2006) Giải phương trình x + 2
√
7 − x = 2
√
x − 1 +
√
−x
2
+ 8x − 7 + 1.
 39. (Dự bị, khối B, 2006) Giải phương trình
√
3x − 2 +
√
x − 1 = 4x − 9 + 2
√
3x
2
− 5x + 2.
 40. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4
x
− 2
x+1
+ 2(2
x


2(x
2
− 16)
√
x − 3
+
√
x − 3 >
7 − x
√
x − 3
g) (x + 1)(x + 4) < 5
√
x
2
+ 5x + 28;
h) x
2
+
√
2x
2
+ 4x + 3  6 − 2x;
i) 2x
2
+
√
x
2

2
−2x
− 2

1
3

2x−x
2
 3;
 42. (Dự bị A, 2007) Tìm m để bất phương trình m

√
x
2
− 2x + 2 + 1

+ x(2 − x)  0 có nghiệm
x ∈ [0; 1 +
√
3].
 43. Giải các phương trình sau
a) 3.16
x
+ 37.36
x
= 26.81
x
.
b) 3


x
+


5 − 2
√
6

x
= 10.
f)


4 −
√
15

x
+


4 +
√
15

x
= (2
√
2)

−x
= (x − 1)
2
.
k) 3
log
2
x
= x
2
− 1.
 44. (A, 2008) Giải phương trình log
2x−1
(2x
2
+ x − 1) + log
x+1
(2x − 1)
4
= 4.
 45. (B, 2008) Giải bất phương trình log
0,7

log
6
x
2
+ x
x + 4


− 2x − 3).
Đáp số. x
1
= 1 +

11 + 4
√
3, x
2
= 1 −

11 + 4
√
3
 49. Giải phương trình log
2/
√
2−
√
3
(x
2
+ 4x − 2) = log
1/(2−
√
3)
(x
2
+ 4x − 3).
 50. Giải phương trình 3 +

)
.
Đáp số. x = 2, x =
5 +
√
13
2
.
 52. (D, 2007) Giải phương trình log
2
(4
x
+ 15.2
x
+ 27) + 2 log
2
1
4.2
x
− 3
= 0.
 53. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
3x+1
− 7.2
2x
+ 7.2
x
− 2 = 0.
 54. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log
3

 57. (Dự bị D, 2006) log
3
(3
x
− 1) log
3
(3
x+1
− 3) = 6.
 58. (Dự bị B, 2006) log
√
2
√
x + 1 − log
1
2
(3 − x) − log
8
(x − 1)
3
= 0.
 59. (BKHN, 2000) log
4
(x + 1)
2
+ 2 = log
√
2
√
4 − x + log

log
√
3

x − 1
2

+ log
9
(x − 3)
2
.
 62. (Dự bị D, 2006) 2(log
2
x + 1) log
4
x + log
2
1
4
= 0.
 63. (Dự bị A, 2006) log
x
2 + 2 log
2x
4 = log
√
2x
8.
 64. (A, 2007) 2 log

.
 67. (CĐSP Quảng Bình) log
1/2
(x − 1) + log
1/2
(x + 1) − log
1/
√
2
(7 − x) = 1.
 68. (B, 2006) log
5
(4
x
+ 144) − 4 log
5
2 < 1 + log
5
(5
x−2
+ 1).
 69. (CĐTCKT 2006) 3

log
1/2
x + log
4
x
2
− 2 > 0.

x
2
−2x
− 2

1
3

2x−x
2
 3.
 74. (Dự bị, 2002) log
1
2
(4
x
+ 4)  log
1
2
(2
2x+1
− 3.2
x
).
 75. (D, 2006) 2
x
2
+x
− 4.2
x

2+x−x
2
= 3.
 79. (Dự bị B, 2006) 9
x
2
+x−1
− 10.3
x
2
+x−2
+ 1 = 0.
 80. (CĐSPHN, A, 2002) 4
x−
√
x
2
−5
− 12.2
x−1−
√
x
2
−5
+ 8 = 0.
 81. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 3
2x
2
+2x+1
− 28.3

< 0.
 84. (CĐKT, 2005) Tìm tập xác định của hàm số y =

log
√
5
(x
2
−
√
5x + 2).
 85. 2.[log
121
(x − 2)]
2


log
1
11
(
√
2x − 3 − 1)

.

log
1
11
(x − 2)

> 4.
 89. (Dự bị, 2004) 2x
1
2
log
2
x
 2
3
2
log
2
x
.
 90. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2
(log
2
x)
2
+ x
log
2
x
 4.
 91. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 3
2x+4
+ 45.6
x
− 9.2
2x+2

 94.
1
|4 − log
4
16x
2
|
+
1
|7 − log
2
2x|

1
|log
4
8x|
.
0 < x  1, x =
1
8
.
7
www.VIETMATHS.com
 95. (4
x
− 2.2
x
− 3). log
2

3 + x. log
3
2.
S = (0; log
2
3] ∪ [2; +∞).
 98. x. log
2
x + 1  log
2
x. log
3
2 + x. log
2
3.
S = (0; log
3
2] ∪ [3; +∞).
 99. log
√
2+
√
3
(2 − |x − 1|) > log
√
10
(2x − x
2
).
S = (0; 2).

 103. Tìm tập xác định của hàm số f(x) =

log
4
x
1
2
− log
2
(2x). log
8
x
1
2
.
Đáp số. S = (4; 8) ∪ {2}.
 104. (3 − x) log
2
(1 +
√
7)
x
2
+3x+2
>
√
2 − x. log
3
(8 + 2
√

2
− (a + 2)3
1+
√
1−t
2
+ 2a + 1 = 0.
 107. (Dự bị 1, B, 2003) Tìm m để phương trình 4(log
2
√
x)
2
−log
1
2
x+m = 0 có nghiệm thuộc khoảng
(0; 1).
 108. (Cao đẳng Giao thông, 2003) Tìm m để phương trình 3
4−2x
2
−2.3
2−x
2
+ 2m −3 = 0 có nghiệm.
 109. (A, 2002) Cho phương trình
log
2
3
x +


+ y
2
+ 3(x + y) = 28;
b)

x + y = 4,
(x
2
+ y
2
) (x
3
+ y
3
) = 280;
c)


x
2
+ y
2
+
√
2xy = 8
√
2,
√
x +
√

xy = 9;
f) (A, 2006)

x + y −
√
xy = 3,
√
x + 1 +
√
y + 1 = 4;
g)

x
2
+ y
2
− x + y = 2,
xy + x −y = −1;
h)

x − xy −y = 1,
x
2
y + xy
2
= 6.
 2. (A, 2008) Giải hệ phương trình




√
y = 1 − 3m;
b)

x + y + xy = m,
x
2
+ y
2
= m.
 4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

x + y + xy = m + 2,
x
2
y + xy
2
= m + 1.
2 Hệ đối xứng loại hai
 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)

xy + x
2
= 1 + y,
xy + y
2
= 1 + x;
b)


,
2y + x =
3
y
2
;
f) (B, 2003)

3y =
y
2
+2
x
2
,
3x =
x
2
+2
y
2
.
9
www.VIETMATHS.com
 2. Giải các phương trình sau:
a) x
3
− 3
3
√

x + y + 2.
 5. (ĐHSP khối D, E, 2001) Cho hệ phương trình

√
x + 1 +
√
y −2 =
√
m,
√
y + 1 +
√
y −2 =
√
m.
(4)
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
 6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình



x +
√
x
2
− 2x + 2 = 3
y−1
+ 1,
y +

− 2y + 9
= y
2
+ x.
 8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình





e
x
= 2007 −
y

y
2
− 1
,
e
y
= 2007 −
x
√
x
2
− 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
 1. Giải các hệ phương trình sau:


x + y +
1
x
+
1
y
= 5,
x
2
+ y
2
+
1
x
2
+
1
y
2
= 9;
e)

x + y + x
2
+ y
2
= 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)

4
,
x
4
+ y
2
+ xy(1 + 2x) = −
5
4
(x, y ∈ R).
b) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:





x +
1
x
+ y +
1
y
= 5,
x
3
+
1
x
3
+ y

(x, y ∈ R)
f) (Dự bị Khối A, 2006)

x
2
+ 1 + y(y + x) = 4y
(x
2
+ 1)(y + x −2) = y
(x, y ∈ R)
g) (Dự bị Khối A, 2006)

x
3
− 8x = y
3
+ 2y
x
3
− 3 = 3(y
2
+ 1)
(x, y ∈ R)
h) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

e
x
− e
y
= ln(1 + x) − ln(1 + y),

(x + y)(x
2
− y
2
) = 25
(x, y ∈ R).
l) (Dự bị, 2005)

x
2
+ y = y
2
+ x,
2
x+y
− 2
x−1
= x − y
m) (Dự bị 2002)

x − 4|x| + 3 = 0,

log
4
x −

log
2
y = 0.
4 Hệ đẳng cấp

x
3
− y
3
= 19;
d)

x
2
− 5xy + 6y
2
= 0,
4x
2
+ 2xy + 6x −27 = 0;
 112. Giải các phương trình sau:
1) (A, 2008) Giải phương trình
1
sin x
+
1
sin

x −
3π
2

= 4 sin

7π

6) (A, 2007) (1 + sin
2
x) cos x + (1 + cos
2
x) sin x = 1 + sin 2x.
7) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
8) (D, 2007)

sin
x
2
+ cos
x
2

2
+
√
3 cos x = 2.
9) (B, 2007) 2 sin
2
2x + sin 7x − 1 = sin x.
10) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
1
2 sin x
−
1
sin 2x
= 2 cot 2x.
11) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos

cos x
+
cos 2x
sin x
= tan x − cot x.
14) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2
√
2 sin

x −
π
12

cos x = 1.
15) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
16) (Dự bị B, 2006) (2 sin
2
x − 1) tan
2
2x + 3(cos
2
x − 1) = 0.
17) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
18) (Dự bị D, 2006) cos
3
x + sin
3
x + 2 sin
2
x = 1.

sin
2
x.
23) cos
2

x +
π
3

+ cos
2

x +
2π
3

=
1
2
(sin x + 1).
12
www.VIETMATHS.com
24) sin

3x +
π
4

= sin 2x. sin

28) (A, 2005) cos
2
3x cos 2x − cos
2
x = 0.
29) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
30) (D, 2005) cos
4
x + sin
4
x + cos

x −
π
4

sin

3x −
π
4

−
3
2
= 0.
31) (Dự bị 2005) 2
√
2 cos
3

3
x) = cos x + 3 sin x.
35) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos
3
x.
36) (Dự bị 2004)
1
cos x
−
1
sin x
= 2
√
2 cos

x +
π
4

.
37) (Dự bị 2004) sin 2x − 2
√
2(sin x + cos x) − 5 = 0.
38) 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
1


, B

C

.
 114. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CMNP .
 115. (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
13
www.VIETMATHS.com
 116. (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a, AA
1
= 2a
√
5
và

BAC = 120

C
1
có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =
a, AA
1
= a
√
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA
1
và BC. Chứng minh rằng
MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của khối chóp
M.A
1
BC
1
.
 121. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh BM ⊥ B

B và B
1
D;
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B
1
B, CD, A
1
D
1
. Tính góc giữa hai đường
thẳng MP và C
1
N.
 125. (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

có cạnh bằng a. Giả sử
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD

.
14
www.VIETMATHS.com
a) Chứng minh rằng MN//(A

BD)

 129. (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng 60
◦
. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
 130. (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ (0
◦
< ϕ < 90
◦
). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.
 131. (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O

, bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O

lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO

AB.
 132. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A

B

C

D

có các cạnh AB = AD = a, AA

3
. Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCMN.
 134. (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
 135. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
15
www.VIETMATHS.com
 136. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A

B

C

D

có cạnh bằng a và điểm K thuộc
cạnh CC

sao cho CK =
2
3
a. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập
phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
 137. (Khối B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a
√


có A

.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A

A = b. Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A

BC). Tính tan α và thể tích
của khối chóp A

.BB

C

C.
 140. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a,

ABC = 120
◦
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).
 141. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy

ACB =
60
◦
, BC = a, SA = a
√
3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)


MDN là hình
vuông.
 145. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2
√
6. Các
điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN
và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.
 146. Trong không gian cho hai đường thẳng
d
1
:
x
1
=
y + 1
2
=
z
1
và d
2
:

3x − z + 1 = 0,
2x + y −1 = 0.
a) Chứng minh rằng d
1
, d
2

=
y −2
5
=
z
−5
và đường phân giác trong góc

A là AI có phương trình ∆
2
:
x − 5
7
=
y −3
1
=
z + 1
2
. Lập
phương trình chính tắc cạnh AC.
 149. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d
1
:
x + 1
2
=
y −1

 151. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
d
1
:
x
2
=
y −1
−1
=
z + 2
1
và d
2
:





x = −1 + 2t,
y = 1 + t,
z = 3.
(a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 7x + y −4z = 0 và cắt cả
hai đường thẳng d

2
− 2x + 4y + 2z −3 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z −14 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P )
lớn nhất.
 154. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18)
và mặt phẳng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 155. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)
và đường thẳng (d) có phương trình



6x − 3y + 2z = 0,
6x + 3y + 2z −24 = 0
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường thẳng AB và OC.
 156. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và
mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0.
(a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
 157. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), M(0; −3; 6) và mặt
phẳng (P ) có phương trình x + 2y −9 = 0.

y −3
−3
=
z
2
, (d
2
) :
x − 5
6
=
y
4
=
z + 5
−5
.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d
1
) và vuông góc với (P ).
(b) Tìm các điểm M thuộc (d
1
) và N thuộc (d
2
) sao cho đường thẳng MN song song với (P )
và đường thẳng MN cách (P ) một khoảng bằng 2.
 160. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2) và B(−1; 2; 4) và đường thẳng
d :
x − 1
−1

7
;
5
7
;
38
7

.
(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P ) là lớn nhất.
Đáp số. 5x + 13y −4z + 21 = 0.
(c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
Đáp số. x + y −z + 3 = 0.
(d) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo trục (Oy) một góc lớn nhất.
Đáp số. x + 5y −2z + 9 = 0.
 161. Cho mặt phẳng (α) : x −y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −2; 1). Tìm điểm
M thuộc (α) sao cho
(a) MA + MB nhỏ nhất; Đáp số. M

13
5
; 1; −
4
5

.
(b) |MA −MB| lớn nhất; Đáp số. M

7
2

.
 162. Trong số các đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d, viết phương trình các đường thẳng sao cho
khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất; nhỏ nhất.
Đáp số. ∆
1
:
x − 1
1
=
y −4
−4
=
z −2
−3
và ∆
2
:
x − 1
15
=
y −4
18
=
z −2
−19
.
19
www.VIETMATHS.com
 163. Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x − y − 2z = 0 và điểm M(2; −3; 1). Viết phương trình
mặt phẳng (Q) đi qua M, vuông góc với (P ) và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45

một góc 45
◦
.
Đáp số.









x = 1 + t,
y = 0,
z =
√
3 + t
hoặc









x = 1 + t


1
=
z
1
.
 168. Viết phương trình của đường thẳng d cắt đường thẳng
x + 2
1
=
y −1
3
=
z + 1
−2
tại A, cắt trục
Oz tại B sao cho AB =
√
3 và d tạo và tạo với mặt phẳng z = 0 một góc α và sin α =
1
√
3
.
Đáp số. A(1; −1; −2) và B(0; 0; −1); A(1; −1; −2) và B(0; 0; 3); A(−1; −1; 4) và B(0; 0; 3);
A(−1; −1; −4) và B(0; 0; −5).
 169. Cho hai đường thẳng ∆
1
:






x = −1 + t,
y = −2t,
z = −3t.
• Phương trình tham số của ∆
2
là









x = u,
y = −1 − 5u,
z = −3u.
• Với A ∈ ∆
1
và B ∈ ∆
2
, toạ độ trung điểm I của đoạn AB là
I

t + u − 1
2
;







m − 2n − 3p = 0,
m − 5n − 3p = 0,
m + n − 2q = 0.
Chọn q = 1, từ hệ trên ta có m = 2, n = 0, p =
2
3
.
Cũng có thể giải như sau:
• ∆
1
đi qua điểm M(−1; 0; 0).
• ∆
2
đi qua điểm N(0; −1; 0).
• Mặt phẳng cần tìm chính là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn MN và song song với
∆
1
và ∆
2
.
 170. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −1; 2), song song với đường thẳng d :
x + 1
1
=

√
5
2
z +
1 +
√
5
2
= 0;
 171. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M

1;
1
2
; 0

, vuông góc với mặt phẳng (β) :
3y −2z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
Đáp số. 6x + 2y + 3z −7 = 0 = 0.
21
www.VIETMATHS.com
 172. Cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(1; 0; −1), C(2; 1; −2). Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho MA
2


.
 174. Cho đường thẳng (d) :









x = 1 + t,
y = 0,
z = −t
và các điểm A(2; 1; −1), B(−1; 2; 0). Trong các đường thẳng ∆ đi qua B và cắt (d), viết phương
trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới ∆ là lớn nhất; nhỏ nhất.
Đáp số.
x + 1
4
=
y −2
−2
=
z
−2
và








x = 1 + 2t,
y = 1 + t,
z = 1 + 3t
và hai điểm A(2; 1; 1) và B(−1; 2; 0). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng ∆ sao cho MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất.
Đáp số. M

5
7
;
6
7
;
4
7

.
 178. Trong số các mặt cầu đi qua điểm A(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x+y +2z −13 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
Đáp số. (S ) : (x − 2)
2
+ (y −3)


,
y = 1 − t

,
z = 2t

.
22
www.VIETMATHS.com
Tìm điểm A trên (d), điểm B trên (d

) và C trên trục Oz sao cho tam giácABC nằm trong mặt
phẳng song song với mặt phẳng Oxy và diện tích tam giácABC nhỏ nhất.
Đáp số. A

3
4
; −
9
4
;
1
4

; B

1
8
;









x = 1 + t,
y = −2 + t,
z = −t.
Tìm điểm M trên (d) sao cho MA
2
+ 2MB
2
+ 3MC
2
nhỏ nhất.
 182. Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng ∆ :









x = 1 + t,
y = −2 + t,



x = −1 + 2t,
y = −t,
z = 1 + t
và
d
2
:









x = 2 − t

,
y = t

,
z = −1 + 7t

.
23
www.VIETMATHS.com
Viết phương trình mặt phẳng song song với d

2
=
1
14
.
 186. Cho mặt cầu (S ) có phương trình (x − 3)
2
+

y +
1
3

2
+ (z −1)
2
= 1.
Viết phương trình mặt cầu (S

) có tâm K thuộc (S ) và (S

) đi qua ba điểm A(−1; 2; 1),
B(3; −4; 5), C(1; 2; −3), biết khoảng cách từ tâm K đến gốc toạ độ O lớn hơn 4.
Đáp số. (x − 4)
2
+

y +
1
3

2
= 9.
(a) Chứng tỏ rằng hai điểm A, B ở ngoài (S ).
(b) Viết phương trình (P ) đi qua hai điểm A, B và qua tâm I của (S ).
Đáp số. 13x + 2y + 14z −37 = 0.
(c) Xác định tọa độ điểm M thuộc giao tuyến (v) của (P ) và (S ) sao cho:
i. Diện tích S của tam giác MAB đạt giá trị lớn nhất;
ii. Diện tích S của tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
• Phương trình mặt phẳng (R) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P) là
2x + y −2z −14 = 0.
24
www.VIETMATHS.com
• Phương trình đường thẳng (d) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (R) là









x = 1 − 2t,
y = −2 − t,
z = 2 + 2t.
• Tìm được giao điểm của (d) và (S ) là M
1
(3; −1; 0); M
2
(−1; −3; 4) và khoảng cách từ








x = 2 + 10t,
y = 1 − 11t,
z = −1 − 16t.
 191. Cho đường thẳng (d) :
x − 4
3
=
y
−1
=
z + 1
−2
và mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0. Viết pt
đường thẳng ∆ qua điểm E(−1; 2; −2), ∆  (P ) và tạo với (d) một góc có giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn.
• Bước 1. Tìm hình chiếu vuông góc của (d) xuống (P ), gọi là (d
o
).
• Bước 2. Viết phương ∆ qua E và song song với (d
o
).
 192. Dựng mặt phẳng (P) qua đỉnh A của tứ diện ABCD sao cho mặt phẳng (P) không cắt khối tứ
diện ABCD thành hai tứ diện nhỏ và tổng các khoảng cách từ B, C, D đến mặt phẳng (P ) là