S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học

nguyễn THị NGọC áNH
Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

luận văn thạc sỹ TOáN học THáI NGUYÊN - 2009

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng

THáI NGUYÊN - 2009 www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
www.VNMATH.com
E
i
(i = 1, , k) k
(i)
(ii) E
i

3
E
1
E
2
E
k
n
k
k −1 k
n
1
.n
2
.n
3
n
k
6 8
10
(i) 6.8.10 = 480 3
www.VNMATH.com
(ii) 6 + 8 + 10 = 24 1
8 3
8 3
8
= 6561
X n r
n
r X r

P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r)
r X C(n, r)
P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
r X (n − r)
C(n, r) = C(n, n − r)
n
P (n, n) = n!
r
n r n r
n r n
12 12 10 11
9 10 4 12
4 11 3 10 C(12, 4) =
12!
4!8!
= 495
www.VNMATH.com
4 12 C(10, 4) = 210 4 11
C(9, 3) = 84 3 10
495.210.84 = 8731800
n (n + 1)
2
n = 3
n + 1 = 4
n kn + 1
k k + 1
1.3.1 6
n = 3
k + 1 = 6
kn + 1 = 16 16

n
≥ x
n−1
n v
r
v
r
r
www.VNMATH.com
v
r
=



















< r ≤ x
n
x x [x]
x
m n
p + 1 p =

(m − 1)
n

.
p
np ≤ n

m − 1
n

= m−1 < m
26 m = 26 7
p =

25
7

= 3 4
X n
r ≤ n X
r X r = n
X
X = {A, A, B, B, B, C, C} AABCBBC

, n
2
, , n
k
) = P (n; n
1
, n
2
, , n
k
, n − r)
P (18; 3, 4, 6) =
P (18, 3 + 4 + 6)
3!4!6!
=
P (18, 13)
3!4!6!
=
18!
3!4!6!5!
=
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5)
X n
i
i (i = 1, 2, , k) P (n; n
1
, n
2

P (n, n)
q
= P (n; n
1
, n
2
, , n
k
)
X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T }
X
P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
9!
1!2!1!2!1!2!
= 45360
4
3 5 18
1
www.VNMATH.com
P (18; 4, 3, 5) =
18!
4!3!5!6!
= 514594080
X n S X
r S
r X r = n
r X n
1
1 n
2

− n
2
− − n
k−1
)
=
n!
n
1
!n
2
! n
k
!(n − r)!
=
P (n, r)
n
1
!n
2
! n
k
!
C(n; n
1
, n
2
, , n
k
) = P (n; n

k
n
i
(i = 1, 2, , k)
k

i=1
p
i
n
i
= n
C(n;
p
1
  
n
1
, n
1
,
p
2
  
n
2
, n
2
, ,
p

] [p
k
!(n
k
!)
p
k
]
www.VNMATH.com
(i)
C(12; 4, 4, 4)
(ii)
C(12; 4, 4, 4)/3!
(ii)
C(12; 4, 4, 4)
3!
.4!
n r
r n
r n
r n n
r
n r r
n r
r
n C(n + r − 1, r)
A n(A)
| A |
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
A B A∪B

m
X
n(A

1
∩ A

2
∩ ∩ A

m
) = n(X) − S
1
+ S
2
− + (−1)
m
S
m
S
k
k
m
(S
1
= n(A
1
) + n(A
2
) + + n(A

i
1
∩ A
i
2
∩ ∩ A
i
k
) (k = 1, 2, , m)
www.VNMATH.com
x
1 − C(r, 1) + C(r, 2) −C(r, 3) + + (−1)
r
C(r, r ) = (1 − 1)
r
= 0
n(A
1
∪ A
2
∪ ∪ A
m
) = S
1
− S
2
+ + (−1)
m−1
S
m

ABEUEBA
7 8
2
n

n + 1
2

4 0 9 9
2 8 3 7
4 (9).(9).(8).(7) = 4536
11 (1)
(1)
N 2k
k = 1 (1)
k ≥ 2
www.VNMATH.com
N = a
2k−1
.10
2k−1
+ a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
k
.10
k
+ a

  
2k
= 11. 9090 9091
  
2k−2
Q = a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
2k−2
.10
1
Q 11 n 11
1
0 1
n
2.1.2

n + 1
2

−1 =

n − 1
2

1 0
2
[

).(3
b
).(5
c
).(7
d
)
0 ≤ a ≤ 3; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 3; 0 ≤ d ≤ 2 a
4 b 3 c 4 d 3
(4).(3).(4).(3) − 2 = 142
N N
N = p
n
1
1
p
n
2
2
p
n
k
k
p
1
, p
2
, , p
k
2.1.6 N

; 5
3
; 7
2
}
441000 X
m n
2 m n
X 441000 m, n
www.VNMATH.com
X 2 m.n
n.m X
X = {2
3
} + {3
2
, 5
3
, 7
2
} = {3
2
} + {2
3
, 5
3
, 7
2
}
= {7

2
, 5
3
}
4 + 3 = 7 = 2
4−1
− 1
2.1.9 N = p
n
1
1
p
n
2
2
p
n
k
k
p
1
, p
2
, , p
k
(k ≥ 2) N = m.n m, n
2
k−1
− 1 (m > 1, n > 1)
k

a
k
Z
Z
1 + (2
k−2
− 1).2 = 2
k−1
− 1().
0
1 X n
www.VNMATH.com
n X Y = {0, 1}
n
X r = 2
n
2
r
f f
0 1
n = 6, f(101101) = f(010010) f
4 X = {00; 01; 10; 11}
Y = {0; 1}
a)f
1
(00) = f
1
(11) = f
1
(01) = f

2.1.12 X
r
2
= 2
n−1
(ς, ς

)
ς

ς 0 1
0 1 2
r
2
0
n 0 m
n + m
m
n
www.VNMATH.com
n + m m
m n + m
C(n + m, m)
m n
n A
1
, A
2
, , A
m

, x
2
, , x
m
) | x
i
∈ {0, 1}}
x y f(x) f(y)
2
m
x
i
(x
1
, x
2
, , x
m
) 0 1
n ≤ 2
m
n(A) ≤ n(B) n(A) ≥ n(B)
n(A) = n(B)
www.VNMATH.com