BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
A. Tóm tắt lý thuyết
* Trong không gian tọa độ
Oxyz
, gọi
B
là vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
Ox
tại các điểm
A
và
B
. Gọi


S x
là diện tích thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông
góc với
Ox
tại điểm có hoành độ
x
(
a x b
 
). Thể tích
V












y f x , y g x f x g x 0 x a;b
x a, x b (a b)

     


  


xung quanh
Ox
là
   
b
2 2
a
V f x g x dx
 
  










x f y , x g y f y g y 0 y a;b
y a, y b (a b)

     


  


xung quanh
Oy
là
   
b
2 2
a
V f y g y dy
 
  
 


x

(
1 x 1
  
) là
 
 
2
2 2
S x 2 1 x 4 1 x
 
   
 
 
.

thể tích của vật thể là
 
 
1 1
2 3
1 1
1 1
1 16
V S x dx 4 1 x dx 4 x x
3 3
1 1
 
 

. Suy ra thể tích của vật thể đã cho là

V

 
e
2
1
xln x dx
 
e
2 2
1
x ln xdx
 
e
2 3
1
ln xdx
3





 
 
 


BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3

e
3 2
1
e 2 x lnxdx
3
 

 
 
 
 

.
Xét
e
2
1
I x lnxdx

e
3 3
1
1 1
e x dx
3 x
 
 
 
 
 
 
 
 
e
3 2
1
1
e x dx
3
 
 
 
 
 

V e 2 e
3 9 9 27
 
 
 
   
 
 
 
 
.
Ví dụ 3. Tính thể tích của vật thể nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi elip
 
2 2
2 2
x y
E : 1
a b
 
(
a b 0
 
) quanh
Ox
(vật thể nhận được gọi là elipsoid).
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG


H
là hình phẳng giới hạn
bởi các đường
x a
 
,
x a

,
y 0

,
2 2
b
y a x
a
  thì vật thể đang xét nhận được
bằng cách quay


H
quanh
Ox
.
y= -
b
a
a
2

 
a
2
2 2
2
a
b
a x dt
a

  
2
2 3
2
a a
b 1
a x x
3
a
a a
 
 
  
 
 
 
 

và
y x


2
x x




4
x x


x 0
x 1





.
Với mọi


x 0;1
 ta có

0
x x dx
  
2 5
1 1
1 1
x x
2 5
0 0
 
 
  
 
 
 3
10

 .
Ví dụ 5. Cho
0 r a
 
. Tính thể tích vật thể nhận được khi quay hình tròn tâm





2 2
y A r x
   



2 2
y A r x
   .
Như vậy đường tròn


0;a
, bán kính
r
là hợp của hai ĐTHS
2 2
y A r x
   và
2 2
y A r x
   .
y=A- r
2
-x
2
y=A+ r
2
r
2 2
r
4A r x dx

  

.
Đổi biến
x rsint

,
t ;
2 2
 
 
 
 
 



2 2
r x rcost
dx rcostdt


 



V

   
2
2
4A rcost r costdt



 
2
2 2
2
4A r cos tdt



 
 
2
2
2

Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
y x




1
C
,
2
x
y
27



2
C
và
27
y
x



3
C
.
Tính thể tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh

x
x



x 3






1
C
cắt


3
C
tại điểm
A
có
hoành độ bằng
3
.
2
x 27
27 x



C
3
A
9
B
O
y
x

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
Giả sử
V
là thể tích vật thể đang xét;
1
V
,
2
V
là thể tích vật thể nhận được khi quay tam giác
cong
OAC
,
ABC
quanh
Ox
. Ta có

   
  
2 2
3 9
2
2 2
2
2
0 3
x 27 x
x dx dx
27 x 27
   
   
 
   
     
   
 
   
   
 
   
   
   
 

728 242
162
15 15
 
    
 
 792
5
 
.
Ví dụ 7. Cho hình phẳng


H
giới hạn bởi các đường
2
y 2x x
 
và
y 0

. Tính thể tích vật
thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên
1) quay quanh
Ox

Ox
là
   
1 2
2
2 4 3 2 5 4 3
1
0 0
2 2 2
1 4 16
V 2x x dx x 4x 4x dx x x x
5 3 15
0 0 0
 
 
            
 
 
 
 
. 2) Ta có
2
y 2x x
 





1- 1-y
1+ 1-y
1
O
2
x
y

Vậy thể tích vật thể nhận được khi quay


H
quanh
Oy
là

   
 
1 1
2 2
2
0 0
1
8 8
V 1 1 y 1 1 y dy 4 1 ydy 1 y 1 y
3 3
0
 
                

) là
một hình chữ nhật có hai kích thước là
x
và
2
2 9 x
 . (ĐS:
18
)
Bài 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y lnx

,
y 0

và
x 2

. Tính thể tích vật thể
nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
 
2
2 ln2 1
  )
Bài 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
 
2
y x x 1

Bài 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường


3
y x ln 1 x
  ,
y 0

và
x 1

. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
 
2ln2 1
3


)
Bài 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
4 4
y sin x cos x
  ,
y 0

, x
2


2
y x 4x 6
  
và
2
y x 2x 6
   
. Tính thể
tích vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox
. (ĐS:
3

)
Bài 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
x
y e

,
y 2 x
 
,
x 0

và
x 2

. Tính thể tích
vật thể nhận được khi cho hình phẳng nói trên quay quanh
Ox

899
32

)