ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ HẢI
NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ
NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI
TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN THỊ HẢI
NGHIỆM GIẢI TÍCH VÀ
NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI
TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn
TS. LÊ TÙNG SƠN
Thái Nguyên - 2014
Mục lục
1
Mở đầu
Trên thực tế nhiều bài toán trong khoa học kỹ thuật thông qua mô
hình hóa tóan học được đưa đến việc giải các bài toán biên đối với phương
trình đạo hàm riêng.Phương trình đạo hàm riêng cấp cao mà tiêu biểu là
phương trình song điều hòa là lớp phương trình vẫn còn đang thu hút sự
quan tâm rất lớn của rất nhiều nhà cơ học, kỹ sư và nhà toán học. Trong
vòng 3 thập niên qua nhiều phương pháp mới hữu hiệu giải phương trình

nghiệm trên máy tính điện tử.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa hoc – Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Lê Tùng Sơn – Đại học Sư
phạm – Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc về sự tận tâm và sự nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tôi
thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-
Tin trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và quý thầy cô tham
gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 6 (2012-2014) đã quan tâm giúp đỡ
và mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong suốt thời gian học tập
tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng công nghệ
và kinh tế công nghiệp, các đồng nghiệp trường Cao đẳng công nghệ và
kinh tế công nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành
khóa học này.
Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập
hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ
đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi
sai sót rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận
văn hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 11 tháng 10 năm 2014.
Người thực hiện
Trần Thị Hải
3
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Các kiến thức trình bày trong chương này để sử dụng trong các chương
sau được tham khảo từ các tài liệu [2], [3], [4], [8], [14], [16].
1.1 Không gian Sobolev

loc
(Ω) =

f : Ω → R|f ∈ L
p
(U), ∀U : U ⊂ Ω

.
Định lý 1.2. Cho p ∈ R, 1 ≤ p ≤ +∞, L
p
(Ω) là một không gian Banach
với chuẩn
f
L
p
(Ω)
=







Ω
|f(x)|
p
dx

1


= +∞,
p

= +∞, p = 1.
Khi đó

Ω
|f(x)g(x)|dx ≤ f
L
p
(Ω)
.g
L
p

(Ω)
, ∀f ∈ L
p
(Ω), g ∈ L
p

(Ω).
Với p = 2 ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.
Hệ quả 1.1. Với 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞ thì L
q
(Ω) ⊂ L
p
(Ω) và f
L

g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ L
p
(Ω),
hơn nữa g
L
p

(Ω)
= f
[L
p
(Ω)]
∗
.
1.1.2 Đạo hàm suy rộng và không gian W
m,p
(Ω)
Cho Ω là một miền giới nội trong R
n
, (n = 1, 2, ), kí hiệu
D
α
=
∂
α
1
+α
2
+ +α
n

(U) với mọi tập con mở U ⊂ Ω, U ⊂ Ω
và C
∞
0
(Ω) là tập các hàm f khả vi vô hạn lần trên Ω sao cho suppf ⊂ Ω,
trong đó suppf là giá trị của hàm f .
Cho u, ω ∈ L
1
loc
(Ω) thì ω được gọi là đạo hàm suy rộng của u bậc α
nếu

Ω
uD
α
ϕdx = (−1)
|α|

Ω
ωϕdx, ϕ ∈ C
∞
(Ω).
Kí hiệu ω = D
α
u.
5
Định nghĩa 1.5. Không gian Sobolev W
m,p
(Ω), trong đó m là một số
nguyên dương, được xác định bởi

|α|≤m
D
α
f
p
L
p
(Ω)


1
p
, 1 ≤ p < +∞.
Không gian H
m
(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(f, g)
H
m
(Ω)
=

|α|≤m
(D
α
f, D
α
g)
L
2

m−
n
2
−ε
]
(Ω), ε > 0,
trong đó các toán tử nhúng trong a), b), c) là compact.
Hệ quả 2.1. Với m
1
> m > 0, ta có
H
m
1
(Ω) ⊂ H
m
(Ω) ⊂ L
2
(Ω) = H
0
(Ω).
Định lý 1.8. Định lý về tính trù mật. Cho 1 ≤ p < +∞, D (R
n
) là tập
các hàm có giá compact trong R
n
khi đó D (R
n
) trù mật trong W
1,p
(R

u

H
1
(R
n
)
≤ Cu
H
1
(Ω)
6
1.1.3 Không gian H
s
(Ω), s ∈ R
Trong mục này, ta đưa định nghĩa các không gian H
s
(Ω) với s không
nguyên. Xét không gian
S(R
n
) =

u ∈ C
∞
(R
n
)|∀α, β > 0,



α
n
n
. Trong S(R
n
) xét
chuẩn sau
u
2
S(R
n
)
=

R
n
(1 + |ξ|
2
)
s
|

u(ξ)|
2
dξ, (1.1)

u là biến đổi Fourier của u tại điểm ξ,

u(ξ) = (2π)
−

s
0
(Ω) = C
∞
0
(Ω),
trong đó C
∞
0
(Ω) là tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact trên Ω
và bao đóng được lấy theo chuẩn (1.1).
Định nghĩa 1.12. Không gian Sobolev H
s
(Ω) với s không nguyên được
xác định bởi
H
s
(Ω) = {u∃

u ∈ H
s
(R
n
),

u|
Ω
= u, (

u, ϕ) = (u, ϕ), ∀ϕ ∈ C

1
(Ω) → L
2
(∂Ω)
sao cho với bất kỳ u ∈ H
1
(Ω) ∩ C
0
(Ω) ta có γ(u) = u|
∂Ω
.
Hàm γ(u) được gọi là Vết của u trên ∂Ω.
Định lý 1.14. Giả sử ∂Ω là liên tục Lipschitz, khi đó
i) H
1
2
(∂Ω) là một không gian Banach với chuẩn
u
2
H
1
2
(∂Ω)
=

∂Ω
|u(x)|
2
ds
x

2
(∂Ω).
v) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục
g ∈ H
1
2
(∂Ω) → u
g
∈ H
1
(Ω),
với γ(u
g
) = g và tồn tại hằng số C
1
(Ω) chỉ phụ thuộc vào miền Ω sao cho
u
g

H
1
(Ω)
≤ C
1
(Ω)g
H
1
2
(∂Ω)
, ∀g ∈ H

, , n
N
) là véctơ pháp tuyến ngoài
của Ω.
Bất đẳng thức Poincare. Tồn tại một hằng số C
Ω
sao cho
u
L
2
(Ω)
≤ C(Ω)∇u
L
2
(Ω)
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω)
trong đó , ∇u =

∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, ,
∂u

2
(∂Ω)
Định nghĩa 1.15. Ta kí hiệu H
−1
(Ω) là một không gian Banach được xác
định bởi H
−1
(Ω) =

H
1
0
(Ω)


với chuẩn
F 
H
−1
(Ω)
= sup
H
1
0
(Ω)\{0}



F, u
H


i=1
∂f
∂i
∂x
i
theo nghĩa phân phối và đồng thời
F 
2
H
−1
(Ω)
= inf
n

i=0
f
i

2
L
2
(Ω)
,
trong đó infimum lấy trên tất cả các véctơ (f
0
, f
1
, , f
n

−
1
2
(Ω)
= sup
H
1
2
(∂Ω)\{0}




F, u
H
−
1
2
(Ω),H
1
2
0
(Ω)




u
H
1

j
∈ N, |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
, j = 1, 2, , n.
D
α
=
∂
|α|
∂
α
1
x
1
∂
α
2
x
2
∂
α
n
x
n
,
a

ij
(x))
n×n
, f ∈ H
1
(Ω) xét bài toán sau, gọi là bài toán
Dirichlet thuần nhất

−div(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
(1.4)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm u ∈ H
1
0
(Ω) thỏa mãn
a(u, υ) = f, υ
H
1
(Ω),H
1
0
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
0
(Ω), (1.5)
trong đó
a(u, υ) =
n


(1.4).
Kí hiệu M(α, β, Ω) là tập hợp các ma trận (a
ij
(x))
n×n
∈ (L
∞
(Ω))
n×n
với α, β ∈ R, 0 < α < β thỏa mãn

(A(x)λ, λ) ≥ α|λ|
2
,
|A(x)λ| ≤ β |λ|,
trong đó λ ∈ R.
Định lý 1.18. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈ H
−1
(Ω), tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H
1
0
(Ω) của bài toán (1.5). Hơn nữa
u
H
1
0
(Ω)
≤

(Ω)
,
11
trong đó C
Ω
là hằng số Poincare.
Cho f ∈ H
−1
(Ω), g ∈ H
1
2
(∂Ω). Xét bài toán sau, gọi là bài toán Dirich-
let không thuần nhất

−div(A(x)∇u(x)) = f(x), x ∈ Ω
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω
(1.6)
Định lý 1.19. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M(α, β, Ω). Cho
f ∈ H
−1
(Ω), g ∈ H
1
2
(∂Ω) thì bài toán (1.6) tồn tại duy nhất nghiệm
u ∈ H
1
(Ω). Hơn nữa
u
H

βC
1
(Ω)
là hai hằng số dương phụ thuộc vào α, β, Ω.
B. Bài toán Neumann
Cho f ∈

H
1
(Ω)


, xét bài toán sau, gọi là bài toán Neumann thuần
nhất

−div(A(x)∇u(x)) + u(x) = f (x), x ∈ Ω
∂u(x)
∂υ
A
= 0, x ∈ ∂Ω.
trong đó
∂
∂υ
A
=
n

i,j=1
a
ij


Ω
uυdx, ∀u, υ ∈ H
1
(Ω).
Định lý 1.20. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann thuần nhất).
Giả sử ma trận A ∈ M(α, β, Ω) thì với bất kỳ f ∈

H
1
(Ω)


, tồn tại duy
nhất nghiệm u ∈ H
1
(Ω) của bài toán (1.7). Hơn nữa
u
H
1
(Ω)
≤
1
α
0
f
(H
1
(Ω))


∂u(x)
∂υ
A
= 0, x ∈ ∂Ω.
(1.8)
Dạng biến phân của bài toán trên là tìm thỏa mãn
a(u, υ) =

Ω
fυdx + g, υ
H
−
1
2
(Ω)
H
1
2
(Ω)
, ∀υ ∈ H
1
(Ω), (1.9)
Định lý 1.21. (Về sự duy nhất nghiệm của bài toán Neumann không thuần
nhất). Giả sử ∂Ω liên tục Lipschitz và ma trận A ∈ M (α, β, Ω) thì với
bất kỳ f ∈ L
2
(Ω), g ∈ H
−
1
2

γ
(Ω) là hằng số vết.
1.3 Phương pháp lặp hai lớp giải phương trình toán
tử
1.3.1 Các sơ đồ lặp hai lớp giải phương trình toán tử
Xét phương trình toán tử
Au = f (1.10)
trong đó A là một toán tử tuyến tính, từ không gian Hilbert H vào H, giả
sử A = A
∗
> 0, f ∈ H, Các phương trình lặp nhằm xác định liên tục các
nghiệm xấp xỉ y
1
, y
2
, , y
k+1
của phương trình (1.14) với xấp xỉ ban đầu
y
0
∈ H. Mỗi xấp xỉ như vậy được xem như là giá trị lặp số lần tương ứng
13
k = 1, 2, Giá trị y
k+1
có thể được nhận thông qua các giá trị ở các bước
trước y
k−1
, y
k
Một phương pháp lặp được gọi là một lớp hay hai lớp tùy

, đưa vào tham số τ
k+1
> 0 thỏa mãn các đẳng thức
τ
−1
k+1
(B
k
− C
k
) = A, F
k
= τ
k+1
f, k = 0, 1, ,
khi đó dạng chuẩn của sơ đồ lặp hai lớp là
B
k
y
k+1
− y
k
τ
k+1
+ Ay
k
= f, k = 0, 1, , (1.12)
với xấp xỉ ban đầu y
0
∈ H được lựa chọn sao cho phù hợp.

với 0 < τ <
2
A
.
u
k+1
− u
k
τ
k+1
+ Au
k
= f, k = 0, 1, , (1.15)
14
với τ
k
thỏa mãn lim
k→∞
τ
k
= 0,
∞

k=1
τ
k
= ∞, sẽ hội tụ về nghiệm gốc của
phương trình (1.14), với mọi xấp xỉ ban đầu u
0
Nếu phương trình (1.14) được giải bởi sơ đồ lặp dừng (1.17), đặt z

1
2
τA, (Bx, x) >
1
2
τ(Ax, x), ∀x ∈ H, x = 0. (1.17)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp (1.17) trong không gian H
A
với
tốc độ hội tụ là cấp số nhân, với đánh giá
z
k+1

A
≤ ρz
k

A
, k = 0, 1, , ρ < 1,
trong đó H
A
là không gian năng lượng, ρ =

1 −
2τδ
∗
δ
B
2


k

1 −
1
2
τA

= 1 −
1
2
τλ
k
(A) > 0 hoặc 1 −
1
2
τ A > 0. Như vậy, phép lặp
sẽ hội tụ với mỗi τ thỏa mãn 0 < τ <
2
A
.
1.3.3 Sơ đồ lặp với tập tham số Chebyshev
Trong sơ đồ lặp hiện (1.16), nếu lựa chọn tập tham số τ
1
, τ
2
, , τ
n
bởi
tập tham số tối ưu Chebyshev thì có thể việc cực tiểu hóa được tổng số
phép lặp n = n(ε).

ξ =
γ
1
γ
2
, ρ
0
=
1 − ξ
1 + ξ
, ρ
1
=
1 −
√
ξ
1 +
√
ξ
, τ
0
=
2
γ
1
+ γ
2
,
Khi đó, tập tham số tối ưu {τ
k

1
2

t +

t
2
− 1

n
+

t −

t
2
− 1

n

, |t| > 1.
Trong trường hợp |t| > 1 thì q
n
=
2ρ
n
1
1+ρ
2n
1

2

γ
2
γ
1
ln
2
ε
,
tức là n ≥ n
0
(ε).
1.4 Phương pháp sai phân giải phương trình ellip-
tic cấp hai
Xét bài toán
−∆u(x) = f (x), x ∈ Ω, (1.20)
Bu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω, (1.21)
16
trong đó Ω là hình chữ nhật có độ dài 2 cạnh L
1
, L
2
. Bu = u hoặc Bu =
∂u
∂n
, n là véctơ pháp tuyến ngoài của biên ∂Ω , là điều kiện biên trên các cạnh
của Ω thỏa mãn ít nhất trên một cạnh nào đó phải có điều kiện Bu = u
để đảm bảo bài toán (1.24), (1.25) có nghiệm duy nhất.
Phương pháp số được áp dụng trong phần này để giải gần đúng bài

Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
đối với Y
j
, Y
j
là các véctơ nghiệm nằm trên đường thẳng song song với
trục Ox. Nếu (1.24), (1.25) là bài toán Neumann thì nó được đưa về hệ
phương trình véctơ 3 điểm dạng





CY
0
− 2Y
j
= F
0
−Y
j−1
+ CY
i

; 1 ≤ j ≤ N − 1
Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
(1.22)
trong đó Y
j
là các véctơ nghiệm, F
j
là các véctơ vế phải, F
0
, F
N
là các
véctơ điều kiện biên.
17
Giả sử N = 2
n
, n > 0, kí hiệu C = C
(0)
, F
j
= F
(0)
j

−Y
j−2
+ C
(0)
Y
j−1
− Y
j
= F
(0)
j−1
,
−Y
j−1
+ C
(0)
Y
j
− Y
j+1
= F
(0)
j
; j = 2, 4, , N − 2,
−Y
j
+ C
(0)
Y
j+1

= F
N
,
(1.25)
trong đó
C
(1)
=

C
(0)

2
− 2E, F
(1)
j
= F
(0)
j−1
+ C
(0)
F
(0)
j
+ F
(0)
j+1
, j = 2, 4, , N − 2.
Hệ (1.29) có



−Y
j−2
m
+ C
(m)
Y
j
− Y
j+2
m
= F
(m)
j
,
j = 2
m
, 2.2
m
, 3.2
m
, , N − 2
m
,
Y
0
= F
0
, Y
N

C
(k)
=

C
(k−1)

2
− 2E; F
(k)
j
= F
(k−1)
j−2
k−1
+ C
(k−1)
F
(k−1)
j
+ F
(k−1)
j+2
k−1
(1.28)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2

,
j = 2
k−1
, 3.2
k−1
, 5.3
k−1
, , N − 2
k−1
,
k = n, n − 1, , 1, Y
0
= F
0
, Y
N
= F
N
.
Việc tính các véctơ F
(k)
j
được thay thế bằng việc tính các véctơ p
(k)
j
liên
kết qua công thức
F
(k)
j

(k)
j
= 2
k−1

m=0
C
(m)

p
(k−1)
j−2
k−1
+ C
(k−1)
p
(k+1)
j
+ p
(k−1)
j+2
k−1

,
hay
2C
(k−1)
p
(k−1)
j

S
(k−1)
j
= p
(k−1)
j−2
k−1
+ p
(k−1)
j+2
k−1
, p
(k)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ S
(k−1)
j

(1.29)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k


,
p
(k)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ S
(k−1)
j

,
p
(0)
j
= F
j
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k−1
, k = 1, 2, , n − 1,
p



(1.31)
j = 2
k−1
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k−1
, k = n, n − 1, , 1,
trong đó
C
m,k−1
= C −2 cos
(2m − 1)
2
k
πE,
α
m,k−1
=
(−1)
m+1
2
k−1
sin
(2m − 1)π
2

m,k−1
υ
m
= α
m,k−1
, từ đó xác định
p
(0)
j
= 0.5

p
(k−1)
j
+ υ
1
+ υ
2
+ + υ
2
k−1

.
Quá trình ngược: Xác định các véctơ nghiệm
Bước 1. Xác định giá trị ban đầu Y
0
= F
0
, Y
N

j
=
υ
1
+ υ
2
+ + υ
2
k−1
.
1.4.2 Phương trình thu gọn đối với bài toán biên thứ hai
Xét phương trình véctơ ba điểm





CY
0
− 2Y
1
= F
0
,
−Y
j−1
+ CY
j
− Y
j−1

j
, j = 1, 2, , N −1 bằng
phương pháp khử liên tiếp làm tương tự như trong mục 1.4.1, sau (n −1)
phép khử sẽ dẫn đến các phương trình
C
(n)
Y
0
= 2Y
N
= F
(n)
0
, 2Y
0
+ C
(n)
Y
N
= F
(n)
N
,
C
(k−1)
Y
j
= F
(k−1)
j

F
(k)
1
= F
(k−1)
j−2
(k−1)
+ C
(k−1)
Y
j
+ 2F
(k−1)
j+2
(k−1)
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
,
F
(k)
N
= 2F
(k−1)
N−2

(k)
p
(k)
j
+ q
(k)
j
, j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
,
k = 0, 1, , n, trong đó p
(k)
j
, q
(k)
j
được tính từ các công thức
C
(k−1)
S
(k−1)
j
= q
(k−1)

(k−1)
j+2
(k−1)
, (1.34)
j = 2
k
, 2.2
k
, 3.2
k
, , N − 2
k
, k = 1, 2, , n − 1, q
(0)
j
= F
j
, p
(0)
j
= 0.
Khi j = 0, N, các véctơ liên kết được xác định từ phương trình đệ quy
C
(k−1)
S
(k−1)
0
= q
(k−1)
0

0
= 0,
C
(k−1)
S
(k−1)
0
= q
(k−1)
N
+ 2p
(k−1)
N−2
(k−1)
,
p
(k)
N
= p
(k−1)
N
+ S
(k−1)
N
, q
(k)
N
= 2p
(k)
N

j
+ 2
k−1
Y
j
= p
(k−1)
j
+ t
(k−1)
j
, (1.36)
j = 2
(k−1)
, 3.2
(k−1)
, 5.2
(k−1)
, , N − 2
(k−)
, k = n, n − 1, , 1,
Y
0
, Y
N
được xác định từ các phương trình
B
(n)
t
(n)

(2m − 1)π
2
k
E, C
(k−1)
=
2
k−1

m=1
C
m,k−1
,
C
m,k−1
= C −2 cos
mπ
2
k−1
E, B
(n)
=
n

m=1
C
m,k−1
.
Từ các công thức (1.34)-(1.37) ta biểu diễn thuật toán thứ hai thu gọn
khối lượng tính toán giải bài toán biên thứ hai qua hai quá trình sau.

,
và với mỗi m = 1, 2, , 2
k−1
, giải phương trình C
m,k−1
υ
(m)
j
= υ
(m−1)
j
từ
đó xác định
p
(k)
j
= p
(k−1)
j
+ υ
2
k−1
j
, q
(k)
j
= 2p
(k)
j
+ q

j
+ q
(k−1)
N
+ 2p
(k−1)
N−2
(k−1)
,
sau đó với mỗi m = 1, 2 , 2
k−1
, giải các hệ phương trình
C
m,k−1
υ
(m)
0
= υ
(m−1)
N
, C
m,k−1
υ
(m)
N
= υ
(m−1)
N
,
22

, q
(k)
N
= 2p
(k)
N
+ q
(k−1)
N−2
(k−1)
.
Quá trình ngược: Xác định các véctơ nghiệm
Bước 1. Xác định Y
0
, Y
N
.
Xác định véctơ υ
(0)
N
= q
(n)
N
+ 2p
(n)
0
, sau đó, với mỗi ∗ ∗ ∗ = 1, 2, , n
giải hệ
C
m,N,υ

, xác
định các véctơ
t
(0)
j
= q
(k−1)
j
+ Y
j−2
k−1
+ Y
j+2
k−1
và với mỗi m = 1, 2, , 2
k−1
, giải phương trình C
m,k−1
t
(0)
j
= t
(m−1)
j
, khi đó
Y
j
= p
(k−1)
j

N
.
Nội dung chương 1 đã trình bày một số kiến thức cơ bản về một số kiến
thức cơ bản về một số lớp hàm của không gian Sobolev, tổng quan ngắn
về bài toán biên đối với phương trình đạo riêng cấp hai và cấp bốn, định
tính của bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai, phương pháp
lặp 2 lớp của Samarski-Nikolaev, sự hội tụ của các sơ đồ lặp, tập tham số
tối ưu Chebyshev, áp dụng thuật toán thu gọn khối lượng tính toán của
Samarski-Nikolaev giải số bài toán biên của phương trình elliptic cấp 2
trên miền hình chữ nhật. Đó là những kiến thức, kết quả quan trọng làm
cơ sở cho việc nghiên cứu các kết quả được trình bày trong chương 2 và
chương 3 của luận văn.
23