Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
LờI NóI ĐầU
Thực tế chứng minh những thiên tài nhờ tự học mà chúng ta có thể kể
ra đó là Cac Mác, Lê-nin, Hồ Chí Minh trong lĩnh vực triết học, Michael
Faraday, Newton trong lĩnh vực vật lý, Ga loa, Abel, Nguyễn Cảnh Toàn,
Hoàng Tụy trong lĩnh vực toán học

Họ là những tấm gơng vĩ đại về tự học
và thành công.
Đối với học sinh hiện nay, có quá nhiều em không biết tự học. Có rất
nhiều lý do đa ra giải thích cho việc này. Có thể kể ra một số nguyên nhân
chính đợc nhiều nhà giáo dục đa ra.Thứ nhất, do tâm lý học sinh chỉ cần đến
lớp ghi chép bài đầy đủ và học bài cẩn thận là tới lúc thi có thể đạt đợc điểm
cao vì những gì mình viết ra là những gì sách nói, thầy cô dạy, sai làm sao đ-
ợc. Học sinh ngày nay đã quá phụ thuộc vào các bài giảng của thầy cô trên
lớp,thầy cô dạy nh thế nào thì lại hiểu và học nh thế ấy dẫn đến quá trình thụ
động,thiếu suy nghĩ và sáng tạo trong lúc học để đào sâu kho tàng kiến thức
còn ẩn sâu các bài giảng của thầy cô. Và cũng chính vì chỉ học cô đọng trong
các bài giảng bốn mơi lăm phút trên lớp của thầy cô mà dẫn đến tình trạng
học sinh phải đi học thêm tràn lan. Mà khi đã học thêm tràn lan thì lại càng
khiến mọi ngời không chịu tự học, càng thêm phụ thuộc vào việc học thêm.
Thứ hai, do chính các thầy cô mặc dù biết tầm quan trọng của tự học nhng
không tìm ra phơng pháp hớng dẫn cho học sinh.Thứ ba, do việc ngày nay
khi việc học đợc nâng cao thì có quá nhiều sách tham khảo,văn mẫu, hớng
dẫn nhng hầu hết các tài liệu này ngời viết theo quan điểm

chữa bài tập,
phân dạng bài

chứ không đi sâu vào vấn đề


Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Nội dung Trang
Phần 1: Mở đầu
3
I- Cơ sở khoa học. 3
1- Cơ sở lý luận 3
2- Cơ sở thực tiễn 3
II- Mục đích nghiên cứu đề tài 4
III- Đối tợng và phạm vi nghiên cứu 4
IV- Kế hoạch nghiên cứu 5
1- Các phơng pháp nghiên cứu 5
2- Kế hoạch cụ thể 5
Phần 2: Nội dung
Chơng 1:Một số vấn đề cơ bản về tự học
6
1-Quan điểm về tự học 6
2- Tự học và nghiên cứu khoa học 6
3- Phơng pháp tự học bồi dỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học 6
4- Một số biện pháp cơ bản hớng dẫn HS tự học 7
Chơng 2: Thực trạng của vấn đề tự học và giáo dục học sinh tự
học hiện nay.
9
1- Đánh giá chung 9
2- Tổng hợp số liệu điều tra thực tiễn. 10
Chơng 3:Bất đẳng thức quen thuộc
12
Chủ đề 1: Bất đẳng thức Cô-si
12
Chủ đề 2: Bất đẳng thức Svac-xơ
25

việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trờng học tập
tích cực, giáo viên là ngời tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải
là ngời đọc chính tả cho học sinh chép!
1.2 Đặc trng cơ bản của dạy- học tích cực.
1.2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
1.2.2. Dạy học chú trọng rèn luyện ph ơng pháp tự học, tự đọc.
1.2.3. Tăng cờng học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
1.2.4. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.
(Một số vấn đề đổi mới PP dạy học môn toán THCS - Tôn Thân - Phan Thị Luyến -
Đặng Thị Thu Thủy)
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhng có chung một đặc
trng là Khám phá và Khai phá, có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ ngời nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong
chơng trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
2) Cơ sở thực tiễn.
Bản thân tôi là ngời đã có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác, nhiều năm
nay đã tự nghiên cứu vấn đề ĐMPPDH và đã triển khai một số chuyên đề cấp trờng
về ĐMPPDH, đặc biệt là trong những năm học gần đây, tôi đợc Sở giáo dục và Đào
tạo Hng yên cử đi các lớp tập huấn tại BGD&ĐT về Một số vấn đề ĐMPPDH môn
toán THCS. Nhiều năm học trớc tôi đã triển khai đề tài cấp trờng về phơng pháp
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 3 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
dạy-học môn Toán trong các tình huống điển hình đó là Phơng pháp dạy học
trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất ở môn Toán đợc
xếp loại C cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu về Dạy học tích cực trong tình huống tổ
chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập ở môn Toán đợc xếp loại B cấp Tỉnh năm

Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 4 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
1/ Phơng pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phơng pháp dạy học, đổi mới PPDH
môn toán, quản lý và chỉ đạo của ngời hiệu trởng, các văn kiện của Đảng, nhiệm vụ
năm học, hớng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận
cho đề tài.
2/ Nhóm phơng pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để
rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phơng pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá
b) Kế hoạch
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề Hớng dẫn học sinh tự học trong quá trình học
tập môn Toán với trờng THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phơng pháp thực tiễn tại trờng THCS Phù Cừ trong năm học
2010-2011-2012. bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trờng THCS Phù Cừ (Từ tháng 12/2011)
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN (tháng 2 năm 2012)
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trờng THCS Phù Cừ
(Tháng 4 năm 2012)
PHầN HAI: NộI DUNG.
Chơng I- Một số vấn đề cơ bản về Tự học.
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 5 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
1. Quan điểm về tự học
a) Chất lợng và hiệu quả giáo dục đợc nâng cao khi và chỉ khi tạo ra đợc
năng lực sáng tạo của ngời học, khi biến đợc quá trình giáo dục thành quá trình tự
giáo dục. Luật Giáo dục đã ghi rõ: Phơng pháp giáo dục phải coi trọng việc bồi d-
ỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho ngời học phát triển t duy sáng

trên lớp, học bất kỳ nguồn nào.
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 6 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
2.2. Nghiên cứu khoa học
Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển
tự học lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ
giữa t duy độc lập và t duy sáng tạo. Đối với học sinh khá, giỏi ngời làm công tác
giáo dục cần hớng cho học sinh tới việc nghiên cứu khoa học bắt đầu bằng việc
tạo ra động lực tiếp cận khoa học cho học sinh.
3. Phơng pháp tự học có tác dụng bồi dỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học làm
cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học của ngời học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động rất
cơ bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực t duy. Theo tôi, khả
năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt
động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí
tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- Định hớng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hớng dẫn học sinh tự học:
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
1- Lập kế hoạch học tập:
Trớc khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch thì
không làm chủ đợc thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế hoạch
học tập tốt cũng giống nh chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi ngời, tùy vào nhu cầu của
mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi cần, nhng

Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự
tính sẽ dùng quỹ thời gian của mình nh thế nào, cho nên một khi kế hoạch không
hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp bạn có thói
quen học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Bạn phải ý thức một sự thật đơn giản là tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là
một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc dễ làm nhất trên thế
gian này.
4.2 Một số biện pháp hớng dẫn học sinh tự học.
a) Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là 1 hớng dẫn cụ thể để
đạt lợng liều lợng kiến thức cần thiêt của môn học, là phơng tiện phục vụ đắc lực
cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để học sinh
tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trớc SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản là
nhắc các em đọc trớc bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới
các em có thể trả lời đợc. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách
giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo
viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi để
nếu học sinh đã đọc trớc sẽ tham gia ngay đợc vào bài giảng, những học sinh yếu
có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi cha rõ cách giáo viên hớng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên ghi
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 8 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
lên bảng cho học sinh chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này vừa
tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc SGK cho học sinh và làm cho bài giảng
không bị nhàm chán.
b) Tự học qua sách bài tập, sách tham khảo:
- Đối với học sinh trong trờng, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài
liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.

thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì chỉ
quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng.
Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chơng trình, trớc khi
kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thờng quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy
học nên chỉ quan tâm đến phơng pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội
dung SGK. Một số giáo viên cha có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập
khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện,
liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn
đề coi nhẹ rèn luyện thao tác t duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phơng tiện
dạy học nhất là các phơng tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh nghiên
cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đờng để chiếm lĩnh kiến thức
của học sinh.
Thực tế, giáo viên thờng soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết kế
bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, cha sát với nội dung chơng trình, h-
ớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến lớn trong
thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thờng nặng về thông báo, không tổ chức hoạt
động học tập cho các em, không dự kiến đợc các biện pháp hoạt động, không hớng
dẫn đợc phơng pháp tự học.
Mặt khác, phơng pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo viên
còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK. Việc
sử dụng các phơng tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản trong
chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các tiết học
thông thờng hầu nh "dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng nh việc hớng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không đợc
chú ý làm cho chất lợng giờ dạy không cao
2) Tổng hợp số liệu điều tra thc tiễn. (Điều tra bắt đầu từ tháng 2 năm 2011)
2.1 Điều tra về việc tự học của học sinh

1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn không thích - trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý
do b) và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2.2. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trờng THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
Em học đợc khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng
các mứ c dới đây)
a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15%
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 11 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50%
e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100%
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phơng án
a b c d e f
Số lợng 9 14 20 34 53 22
ĐáNH GIá CáC KếT QUả ĐIềU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu gồm bài tập của thầy có hớng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lợng học sinh học đợc từ 50% nội dung trở lên chiếm
phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, đợc các em đón
nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các
chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
CHƯƠNG III- bất đẳng thức quen thuộc
Chủ đề 1: Bất đẳng thức Cô-si
I- Đặc điểm nhận dạng.

x y z
x y z xyz xyz x y z xyz
+ +

+ + + + ì
ữ

Chỉ có đặc điểm *3) là khác ở chỗ: Bậc đối với từng biến giảm 3 lần theo chiều

. Bạn hãy tự tìm hiểu các đặc điểm trên đối với bất đẳng thức Cô-si nhiều số nhé.
Chẳng hạn với BĐT Cô-si cho 4 số không âm:
3) Bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm có thể suy ra từ BĐT Cô-si cho 2 số
không âm. Thật vậy Cho 4 số không âm x, y, z, t. áp dụng liên tiếp BĐT Cô-si cho
2 số không âm ta có:
2.1
+ + + + =2 2 2.2 . 4x y z t xy zt xy zt xyzt
2.2
( )
+ + + + = + =
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2.2 4x y z t x y z t x y z t xyzt xyzt
4) Vấn đề đặt ra là Tìm hiểu về đặc điểm điển hình để làm gì?
Nếu bạn nắm vững đặc điểm điển hình thì giúp bạn cảm nhận đợc hớng
giải quyết tức là định hớng đợc t duy cho mình.
Dới đây là một số ví dụ điển hình.
II- Ví dụ và bài tập vận dụng.
1- Ví dụ điển hình.
Ví dụ 1:
+ + + +Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh a b c ab bc ca
.

( ) ( ) ( ) ( )
= + + + + +
= + + + + + + +
+ + + +
Ta có 2 a+b+c
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
2 a+b+c 2 2 2
suy ra
a b b c c a
a b b c c a ab bc ca
a b c ab bc ca
Ta có thể trình bày bài toán ở dạng khác:
( )
+ +
+ + + + + +
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
a+b 2 ; 2 ; 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên tơng ứng các vế ta đợc:
2 a+b+c 2 2 2 hay .
ab b c bc c a ac
ab bc ca a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh
( ) ( ) ( )
+ + + 8a b b c c a abc
.
? Nghĩ nh thế nào?
Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy bậc hai vế đối với tập các biến là nh nhau,
bậc đối với từng biến thì sao? Chẳng hạn biến a vế trái có bậc 2 (nếu ta thực hiện
khai triển). Nh vậy với chiều


BĐT trở thành
( )
+ + + + + + + +
4 4 4 4 4 4 2 2 2
hay a b c abc a b c a b c a bc b ac c ab
.
Để xuất hiện tích
2
a bc
từ a
4
, b
4
, c
4
ta thấy theo chiều

thì bậc biến b, c giảm 4
lần còn biến a giảm 2 lần. Nh vậy ta sử dụng BĐT Cô-si cho 4 số (hai lần hai số).
Ta có lời giải sau:
( ) ( ) ( )
+ + + + = +
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
x 2 2 2 4 (*)y z t x y z t x y z t xyzt
áp dụng (*) ta đợc
+ + + = =
4 4 4 4 2
4 4a a b c aabc a bc
. Tơng tự ta cũng có:

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
đánh giá về a+b+c. Xét các đặc điểm điển hình ta nghĩ ngay tới việc sử dụng BĐT
Cô-si cho 2 số không âm (vì bậc giảm 2 lần mà!). Vấn đề là chọn 2 số nào? Ta thấy
chắc chắn có a
2
. Giả sử số thứ hai là k
2
, ta có
2 2
2a k ak+
mà kết quả ta hớng tới
là biến a có số mũ là 1 (theo điều kiện của bài) nên k là hằng số. Mặt khác do a, b,
c có vai trò nh nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c=1 (theo điều kiện
a+b+c=3) do vậy k=1. Từ đó ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có
( )
+ + +
+ + + + + = + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 1 2 ; 1 2 ; 1 2
Cộng ba BĐT trên tơng ứng các vế ta đợc
a 3 2 6 a 3
(dấu "=" xảy ra ví dụ khi a=b=c=1). Vậy Min A là 3
a b b c c
b c a b c b c
* Với những suy nghĩ tơng tự bạn có thể tìm đợc hớng giải quyết khi tìm Min B
Cùng với hớng suy nghĩ trên, ta xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho 3 số dơng a, b, c thỏa mãn
+ + =

1
2
a b c

(theo điều kiện
+ + =
2 2 2
3
4
a b c
). Trong BĐT Cô-si, dấu = xảy ra khi các số bằng
nhau nên
=
1
2
m
. Ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có

+ + =
ữ

3
3 3 2
1 1 3
3 .
2 2 2
a a aa a
Tơng tự ta có


8
a b c b c
Ví dụ 6: Cho a, b là hai số dơng. Chứng minh
+ + +
2 2
1 1
2 2 6a b
a b
? Nghĩ nh thế nào?
Nhìn vào BĐT ta thấy ấn tợng đầu tiên là vế trái là biểu thức chứa biến, vế phải là
một số (chiều đánh giá lớn hơn hoặc bằng), a và b tuy có vai trò nh nhau nhng
chúng không bị ràng buộc gì ngay cả trong vế trái! điều này giúp ta nghĩ đến chia
vế phải thành hai nhóm tiến hành đánh giá độc lập

+ + +
ữ ữ

2 2
1 1
2 2 6a b
a b
.
Mỗi nhóm nếu ta chỉ xác định gồm 2a và
2
1
a
số thì tích của chúng là
2
a
. Điều này

2 2
1 1
3 4a b
a b
thì lời giải nh thế nào?
Nếu ta viết
+ = + +
2 2
1 1
3 2a a a
a a
có đợc không? Ta có :
+ = + + =
3
3
2 2 2
1 1 1
3 2 3 .2 . 3 2.a a a a a
a a a
=
2
1
Dấu "=" xảy ra khi a=2a= 0 không thỏa mãn!
a
a
Nh vậy không phải tách nh thế nào cũng đợc phải không bạn? Ta phải tách thành 3
số bằng nhau tại vì dấu = xảy ra trong BĐT Cô-si là khi các số bằng nhau. Ta có
lời giải:
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dơng ta đợc:
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 17 -

Dấu "=" xảy ra khi 2b=2b=
b 2 2
b b b b b b
b b b
b a
Kỹ năng tách, thêm bớt khi sử dụng Cô-si là mấu chốt của vấn đề. Ta xét ví dụ tiếp
Ví dụ 7: Tìm Min
=
4
5 3P x x
.
? Nghĩ nh thế nào?
Thoạt nhìn chẳng ai lại nghĩ tới sử dụng BT Cô-si cả. Sự cố gắng nhìn nhận P là
một đa thức để viết dới dạng tổng các biểu thức không âm với 1 hằng số gặp nhiều
khó khăn. Ta nghĩ một cách cơ bản nhất:
Giả sử Min P =m ta có
= + +
4 4
5 3 5 3P x x m x x m
. Tới đây thì ta đã
nhìn ra BĐT Cô-si rồi bởi các tính chất đặc trng của nó. Theo chiều

bậc của x
giảm 4 lần tức là ta cần áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số. Chọn 4 số nào? trong khi ta
chỉ bắt đầu bởi x
4
. Giả sử ba số còn lại đều là k
4
với k>0 (ba số này chắc chắn bằng
nhau để đảm bảo dấu = khi đánh giá theo BĐT Cô-si xảy ra đợc). Ta có


ữ
ữ

4 4
4 4
3 3
4
3 3
5 5
Suy ra x 3 5 5 3 3 3
4 4
5 5
Dấu "=" xảy ra ví dụ khi x= . Vậy Min P là 3 3
4 4
x P x x
Lời bình: Tôi cố tình chọn một ví dụ mà giá trị nhỏ nhất của nó trông rất cồng
kềnh. Liệu bạn có đủ kiên nhẫn viết P dới dạng tổng các biểu thức không âm với 1
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 18 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
hằng số là ữ
ữ

4
3
5
3 3

.T k M

2) Đánh giá
.M k T

3) Đánh giá đồng thời

1 2
. và .T k X M k X
. Xét lời giải sau

+
+ + +
2
2 2 2
1 1 1 4
Ta có x 1 2 2 2
1 2 2 1 2 1
x
x x
x
x x x
A=-2 chẳng hạn với x=-1; A=2 chẳng hạn với x=1. Vậy Min A là -2 và Max A là 2.
Với biểu thức B thì sao? Chẳng hạn ta đánh giá mẫu (M) theo tử (T).
( )
( )
+ + = + +
+
=
2 2

1 1 1x x x = +
. Bài toán trở về tìm Min của
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 19 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
( ) ( )
+
=
+
x 5
I với -1<x<1
1 x 1 x
. Dạng mới của biểu thức này đã thể hiện rõ những
đặc điểm đặc trng của BĐT Cô-si. Với chiều
" "
ta cần viết x+5 thành tổng hai
biểu thức của 1-x và 1+x. Giả sử
( ) ( )
+ = + + x 5 a 1 x b 1 x
Ta có
( ) ( ) ( )
+ = + +Ta có a 1+x b 1 x x a b a b
. Cân bằng hệ số ta đợc
= =



+ = =

a b 1 a 3
a b 5 b 2

với x>3 và y>3
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát ta thấy: A là tổng của hai phân thức trong đó x, y có vai trò nh nhau. Điều
này cho ta dự đoán giá trị nhỏ nhất xảy ra có thể do x=y.
Điều này cha gợi ý cho ta đợc điều gì nhiều. Với chiều
" "
nếu ta sử dụng BĐT
Cô-si ta chuyển đợc biểu thức về dạng Tích, dạng này cho phép ta dễ dàng
chuyển mẫu của hai phân thức cho nhau. Lúc đó ta đợc 2 biểu thức độc lập. Cụ thể
ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có:

= + =
2x-3 2y 3 2x-3 2y 3 2x-3 2y 3
A 2 . 2 . ("=" khi x=y)
y-3 x-3 y-3 x-3 x-3 y-3
.
Mặt khác
( ) ( ) ( )
= + = 2x 3 2 x 3 3 2 2 x 3 3 2 6 x 3
Suy ra



2x 3 9
2 6 (dấu "=" xảy ra khi x= )
2
x 3
Tơng tự


+ + +
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát vế trái ta thấy:
Nx1) Thấy vai trò các biến nh nhau nên dấu = xảy ra ở BĐT khả năng là khi
a=b=c. Kết hợp ĐK ban đầu ta đợc a=b=c=1.
Nx2) Có thể biến đổi vế trái trở về dạng tổng của 3 biểu thức độc lập:
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
+ +

.
Nx3) Căn cứ ĐK ta sẽ cố gắng đánh giá vế trái về
( )
2 2 2
.k a b c+ +
với k là một
hằng số nào đó. Do ba phân thức vế trái độc lập nên cần xác định k để


2
2
.
3
a
k a
a

Kết hợp Nx1) ta đợc

Mặt khác a>0 và
>
2 2
3 3 0a a
nên
( )


2 2 2
2
1
(*) 3 2
3 2
a
a a a a
a
Tơng tự ta có 2 2
2 2
1 1
và
3 2 3 2
b c
b c
b c
Do vậy
2 2 2
2 2 2

= = ì
1
2
x y
Nx2) Khai triển A ta có thể chia A thành các nhóm x, y có vai trò nh nhau
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 21 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.= + + + + = + + + + + + ì
ữ
ữ1 1 1 1 1
1 1 3A x y x y xy
y x x y xy

Tới đây, có nhiều bạn sẽ cho là dễ quá vì có thể nhóm thành các nhóm có tích
không đổi để áp dụng BĐT Cô-si!


= + + + + + + + + + =
ữ ữ
ữ


1 1 1 1 1 1
3 3 2 . 2 . 2 . 9A x y xy x y xy
x y xy x y xy


1
x
x
về mặt ý tởng là tốt. Bởi ta đợc đặc trng cơ bản là tổng
các số có tích không đổi. Để giữ đợc đặc trng cơ bản trên ta nhóm
+
k
x
x
(k là
hằng số). Vấn đề là chọn k là bao nhiêu?
Theo BĐT Cô-si ta có
+ =
2
k
2 . . dấu "=" xảy ra khi x=
x
k k
x x k x
x x
.
Mặt khác theo Nx1) thì
= =
1 1
nên k=
2 4
x y
. Ta có lời giải sau:


A
Lời bình Qua những ví dụ nêu trên, ta thấy sự khó khăn khi sử dụng BĐT Cô-si
chính là vấn đề Bậc trong đặc điểm điển hình của BĐT Cô-si. Trong một số tình
huống cần tăng hay giảm bậc thật không đơn giản, biện pháp thờng sử dụng là
kết hợp với 1 hằng số. Ta xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 13: Cho ba số a, b, c dơng thỏa mãn
+ + 3ab bc ca
. Chứng minh rằng
( )
+ + + + + + +
2 2 2
3 3 3 2a b c a b c
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 22 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát bậc hai vế ta thấy nếu xét theo chiều
" "
thì bậc từng biến giảm 4 lần.
Chính sự nhận xét này cho ta suy nghĩ cần nâng bậc vế trái. Các tính chất đặc tr-
ng của BĐT Cô-si đợc bộc lộ rõ, nên về mặt t duy, ta nghĩ về BĐT Cô-si là rất tự
nhiên!.
Ta thấy vai trò các biến nh nhau nên dấu = xảy ra ở BĐT khả năng là khi a=b=c.
Kết hợp ĐK ban đầu ta đợc a=b=c=1 khi đó a+3=b+3=c+3=4.
Trớc hết ta nâng bậc lên bậc 1 từ căn bậc 2 (ta hiểu là bậc 1/2 ). Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + + +
+ =
+ + +


+ + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
1
3 21
2
2
4
a b c
a b c
tức là cần
chứng minh
+ +
2 2 2
3a b c
với điều kiện
+ + 3ab bc ca
. Điều này đơn giản vì
luôn có
+ + + +
2 2 2
a b c ab bc ca
.
Lời bình Thực ra lúc đầu tôi nhận thấy điều kiện
+ + 3ab bc ca
có bậc trung gian
giữa VT và VP nên đã cố gắng đánh giá từ
+ +
2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1) ( )( )( ) 8
2)
1 1 1
3) ( )( ) 9 với x, y, z>0
4) với x, y, z>0
5) 8 với x,y>1
1 1
x y z y x z x y z
x y z xy yz zx
x y z
x y z
xy xy xy
x y z
z z z
x y
x y
+ + + > + =
2 2
1 1 1
6) 5 , 0;
x 2
x y với x y x y
y

+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +

1 1 1 51
7.5
2
1 1 1 51
7.6
2
a b c a b c
bc ac ab b c a
a b c
a b c
a b c
ab bc ca

+ + + +
3 3 3 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
8. a +b +c b+b c+c a với a, b, c là các số dơng.
9. a với a, b, c là các số dơng.
a
b c a b b c c a
+ + + +
4 4 4 3 3 3
10. a với a, b, c là các số dơng. b c a b b c c a
+
+ 11. 2 với a, b là các số dơng.
2
a b
a b
+ +
+

x 3 x 2 1 7 x
A với x>2 B với -2<x<2
3 4x 8
3 4 x
3x 2 2x 4 x 2 5
C với x>3 D với x>2
2 x 3 x 2
1 2 x 1 3 y 1 4 z
E với x, y, z là ba số dơng
xyz
x y z
F với x, y, z là ba số dơng thỏa mãn x+y+z=1
xyz
+ + +
5x 7y 9 32
G = với x, y, z là ba số dơng
2 2 x y

= + + + + + + + =
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ


= + + + + + =
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

2 2 2
1 1 1
H x y z với x, y, z>0 và x y z 1

2 2 2
4
N=x+ với x>y và y 0
x-y y 1
6 10
P= 2x+3y+ với x,y>0 và x+y 4
x y
1 1 1 1
Q= với x,y,z>0 và x+y+z=1
x y z xy yz zx
+ + +
= + +
+ + +
4 3 3 2
R=4x+ 9 với x, y dơng thoả mãn 12.
x x
với a, b, c là ba số dơng.
2 3 2 3 2 3
y
y y
a b c
S
b c c a a b
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù[email protected] - 25 -