BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ
1. Trong không gian với hệ tọa độ
Ox yz
cho hai đường thẳng
+
= = = = −
−
1 2
1
: , : 1
1 1 2 2
x y z x
d d y z

và mặt phẳng
( )
− − =
: 0P x y z
. Tìm tọa độ hai điểm
∈ ∈
1 2
,M d N d
sao cho
MN
song song
( )
P
và
=
6MN


=



=
= +


 

⇔ ⇔
 
= −


=
− − − + − + + − =









= −



;
d
2
:
2
1 3 3
x y z−
= =
− −
và d
3
:
1 1 1
5 2 1
x y z+ − +
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba
đường thẳng d
1
, d
2
, d
3
lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Hd: Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d
1
, d
2
, d
3

. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Tìm điểm I thuộc mp(P) sao cho
+ +
uur uur uur
IA IB IC

nhỏ nhất.
HD: + Trọng tâm G của tam giác ABC:
( )
1; 2;2G -
+ Ta có
3IA IB IC IG+ + =
uur uur uur uur
Suy ra
IA IB IC+ +
uur uur uur
nhỏ nhất
3IGÛ
uur
nhỏ nhất
IGÛ
nhỏ nhất

IÛ
là hình chiếu vuông góc của G trên (P)
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
1
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
+ Đường thẳng d qua G, vng góc với (P) có phương trình
1
2

z t
z
x y z
ì
= +
ï
ï
ì
=
ï
ï
ï
ï
=- +
ï
ï
ï
=-Þ
í í
ï ï
= +
ï ï
=
ï ï
ï
ỵ
ï
+ + - =
ï
ỵ

Þ
C=2. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là
2 0 .x z+ =
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-2;1;-2) và đường thẳng d có phương
trình
1 1
2 1 2
x y z- +
= =
-
.
a. Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d.
b. Viết phương trình mặt phẳng
( )
a
chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
c. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(2;1;3) tiếp xúc với mặt phẳng
( )
a
.
6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
(0; 1;2)M −
và
( 1;1;3)N −
. Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ
( )
0;0;2K
đến (P) đạt giá trị lớn nhất
Hd: Gọi

≠
thì
( )
( )
2 2 2
1 1
,
2
4 2 4
2 1 2
B
d K P
B C BC
C
B
= = ≤
+ +
 
+ +
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi B = -C. Chọn C = 1
Khi đó pt (P): x + y – z + 3 = 0
GV Bùi Văn Nhạn trường THPT Long Mỹ
2
BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 1;2;0 , 1;1; 2A B C− −
. Tìm tọa

=
⇔ = ⇔ − + − + + = ⇔ = ⇒ −
− − − + − =
=
= −







 
 
  
 ÷
 
  
 

 
 



uuuruuur
uuuruuur
uuur uuur uuur
I
( )

 
 
− − − + − =
=
 
 


uur uuur uuur
14
15
61 14 61 1
, ,
30 15 30 3
1
3
x
y I
z

=



 
⇔ = ⇒ −

 ÷
 


BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
( ) ( )
( )
MM' u, u '
8
d d , d '
11
u,u '
 
 
= =
 
 
uuuuur r uur
r uur
9. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
1
1
: 1 2 ;( )
1 2
x t
d y t t
z t
= +


= + ∈


= +

: 2
3
x t
d y t
z t
= +


= +


= −


2
1 2 1
:
2 1 5
x y z
d
− − −
= =
11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình





+=
=


= −

+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP
( )
u 1;1;2
v
+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP
( )
u ' 2;1;1
uur
Ta có :
•
( )
MM ' 2; 1;3= −
uuuuur
•
( )
( )
1 2 2 1 1 1
1 1 1 2 2 1
MM ' u,u ' 2; 1;3 ; ; 8 0
 
= − = − ≠
 
uuuuur r uur
Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó :
4