BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGÔ QUANG HƯNG
MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ LÕM
TRONG KHÔNG GIAN BANACH NỬA SẮP THỨ TỰ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ
Hy, thầy đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải
để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể
các thầy cô giáo trường THPT Vân Nội, Đông Anh, Hà Nội đã giúp đỡ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Tác giả
Ngô Quang Hưng
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. GVCC. Nguyễn Phụ

2.1. Khái niệm toán tử lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2. Một số tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2. Toán tử lõm trên không gian Banach thực nửa sắp thứ tự l
2
42
2.3. Mở rộng định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm . .
45
2.3.1. Định lí mở rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2. Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của bộ môn giải tích
hàm phi tuyến, chính vì thế ngay từ đầu thế kỷ 19 các nhà toán học
trên thế giới đã rất quan tâm và phát triển nó hết sức sâu rộng và trở
thành công cụ để giải quyết nhiều bài toán do thực tiễn đặt ra.
Năm 1956, nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki M.A đã nghiên cứu
lớp toán tử phi tuyến: Toán tử lõm tác dụng trong không gian Banach
thực với một nón cố định. Năm 1962, ông mở rộng cho toán tử lõm tác
dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một
nón là tập con của nón còn lại.
Năm 1975, GS. TSKH Bkhatin I.A đã mở rộng các kết quả trên trong
công trình cho lớp toán tử phi tuyến (K, u
0
)-lõm lần lượt tác dụng trong
không gian Banach thực với một nón cố định và trong không gian Banach
thực với hai nón cố định chung nhau ít nhất một phần tử khác không.

trong không gian l
2
;
- Tìm hiểu về khái niệm toán tử lõm, toán tử lõm tác dụng trong không
gian l
2
;
- Một hướng mở rộng một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của
toán tử lõm và áp dụng.
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về
toán tử lõm, điểm bất động của toán tử lõm trong không gian Banach
nửa sắp thứ tự.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến điểm bất động của toán tử lõm trong không gian
Banach nửa sắp thứ tự.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu và các bài báo liên quan đến điểm bất động của toán
tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự;
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Những đóng góp của đề tài
Trình bày tổng quan về không gian định chuẩn nửa sắp thứ tự, về toán
tử lõm tác dụng trong không gian l
2
, sự tồn tại điểm bất động của lớp
toán tử trên, vận dụng lý thuyết tổng quan đã trình bày vào không gian
l
2

là hai nón trong không gian E. Khi đó,
nếu K = K
1
∩ K
2
chứa ít nhất một phần tử khác không, thì K cũng là
một nón trong không gian E.
Chứng minh. Ta kiểm tra các điều kiện i)-iv) trong Định nghĩa 1.1.1.
i) K là tập đóng trong không gian E vì giao hữu hạn các tập hợp
đóng là một tập hợp đóng;
ii) Với mọi x, y ∈ K = K
1
∩ K
2
ta có x, y ∈ K
1
và x, y ∈ K
2
.
Vì K
1
, K
2
đều là nón nên x + y ∈ K
1
và x + y ∈ K
2
. Do đó,
x + y ∈ K
1

2
.
Vậy K = K
1
∩ K
2
là một nón trong không gian E. 
Định lý 1.1.3. Giả sử M là một tập con khác rỗng của không gian định
chuẩn E thỏa mãn các điều kiện: lồi, đóng, bị chặn và θ /∈ M. Khi đó
tập
K(M) = {tz : t ≥ 0, z ∈ M}
là một nón.
5
Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng M ⊂ K(M) nên K(M) = ∅.
Theo giả thiết về tập M, ta luôn tìm được hai số dương c, C (c ≤ C)
sao cho
∀z ∈ M, c ≤ ||z|| ≤ C, ∀z ∈ M. (1.1.1)
Thật vậy, do M là tập bị chặn nên ta có được bất đẳng thức thứ hai
trong (1.1.1).
Ta chứng minh bất đẳng thức c ≤ ||z||, ∀z ∈ M. Ta thấy, nếu
inf
z∈M
||z|| = 0, thì theo tính chất của cận dưới đúng trong tập hợp
số thực R, tồn tại một dãy {z
n
}
∞
n=1
⊂ M sao cho dãy số thực {z
n

= z
trong không gian E.
6
Hiển nhiên, nếu z = θ thì θ = 0.z
1
∈ M, ∀z
1
∈ M, nên z ∈ K(M).
Giả sử z = θ. Theo định nghĩa giới hạn, với (ε =
1
2
||z|| > 0), (∃n
0
∈
N
∗
) sao cho ∀n ≥ n
0
, ta có
||z
n
− z|| <
1
2
||z||. (1.1.2)
Khi đó
z
n
 −z ≤ ||z
n

Theo (1.1.3)
1
2
||z|| < ||t
n
z
1
n
|| = t
n
||z
1
n
|| <
3
2
||z||,
nên từ (1.1.1) ta nhận được
1
2C
||z|| < t
n
<
3
2c
||z||, ∀n ≥ n
0
.
Do đó, tồn tại một dãy con (t
n

n
i
)
∞
i=1
ta có
||z
n
i
−
1
t
0
z|| = ||(z
n
i
−
t
n
i
t
0
z
n
i
) + (
t
n
i
t

C
t
0
|t
n
i
− t
0
| +
1
t
0
||z
n
i
− z|| → 0 (i → ∞).
7
Vậy
lim
i→∞
||z
n
i
−
1
t
0
z|| = 0.
Do đó
1

2
∈ M. Khi đó, nếu có ít nhất
một trong hai số t
1
, t
2
bằng 0 hoặc một trong hai số α, β bằng 0 thì hiển
nhiên
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2
∈ K(M).
Do đó ta chỉ cần xét trường hợp α, β, t
1
, t
2
đều là các số dương. Khi đó
αu + βv = αt
1
z
1
+ βt
2
z
2

> 0,
βt
2
αt
1
+ βt
2
> 0,
αt
1
αt
1
+ βt
2
+
βt
2
αt
1
+ βt
2
= 1, αt
1
+ βt
2
> 0,
nên
αt
1
αt


1
, trong đó t

1
> 0, z

1
∈ M và
8
−u
0
= t

2
z

2
, với t

2
> 0, z

2
∈ M. Do
θ = u
0
+ (−u
0
) = t

1
+ t

2
z

2
)(t

1
+ t

2
) ∈ K(M).
Từ hệ thức đó và từ M là tập lồi,
t

1
t

1
+ t

2
> 0,
t

2
t


1
+ t
2
z
1
+
t
2
t
1
+ t
2
z
2
∈ M (do t
1
+ t
2
> 0),
điều này trái với giả thiết M không chứa phần tử không. Vậy K(M)
thỏa mãn điều kiện iv) về nón và do đó K(M) là một nón trong E. 
1.2. Quan hệ thứ tự trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử E là không gian định chuẩn thực, K là một
nón trong không gian E. Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K.
Định lý 1.2.1. Quan hệ "≤" xác định trong Định nghĩa 1.2.1 là một
quan hệ sắp thứ tự trong E.
Chứng minh. Ta kiểm tra ba tiên đề về quan hệ thứ tự.
i) Tính phản xạ:
Với mọi x ∈ K, x − x = θ ∈ K, điều này có được vì theo định nghĩa
của K ta lấy λ

≤ x
n+1
, n = 1, 2, . . . .
Dãy điểm (y
n
)
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy không tăng, nếu
y
n+1
≤ y
n
, n = 1, 2, . . . .
Các dãy không giảm, dãy không tăng gọi chung là dãy đơn điệu.
Định nghĩa 1.2.4. (Về tập bị chặn trên, bị chặn dưới bởi phần tử)
Tập hợp M ⊂ E gọi là bị chặn trên bởi phần tử u ∈ E, nếu
(∀x ∈ M) x ≤ u.
10
Tập hợp L ⊂ E gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E, nếu
(∀x ∈ L) v ≤ x.
Định nghĩa 1.2.5. (Về cận trên, cận dưới đúng)
+) Phần tử x
∗
gọi là cận trên đúng của tập M, nếu
i) (∀x ∈ M) x ≤ x
∗
;
ii) Nếu z ∈ E sao cho (∀x ∈ M) x ≤ z thì x
∗

≤ y
n
∀n = 1, 2, 3 Khi đó, nếu lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n
=
y trong E, thì x ≤ y.
Chứng minh. Ta có
lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x.
Vì y
n
− x
n
∈ K, ∀n = 1, 2, , và K là tập đóng, nên y − x ∈ K hay
x ≤ y. 
11
1.3. Các phần tử thông ước
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ
tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E. Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y,

x.
Đặt
1
β
= γ;
1
α
= µ ta có:
γx ≤ y ≤ µx.
Vậy phần tử y thông ước với phần tử x.
Định lý 1.3.1. Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông
ước với nhau.
Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ E thông ước với phần tử z ∈ E.
Do đó ∃a > 0, ∃b > 0, ∃c > 0, ∃d > 0 sao cho
a.x ≤ z ≤ b.x
c.y ≤ z ≤ d.y
12
suy ra
cy ≤ z ≤ bx ≤
b
a
z ≤
bd
a
y
suy ra
c
b
y ≤ x ≤
d

Vậy, phần tử x thông ước với phần tử y. 
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón
K ⊂ E, và H là một nón trong không gian E, u
0
∈ H \ {θ}, kí hiệu
H(u
0
) là tập hợp tất cả phần tử của không gian E thông ước với u
0
.
Ta có tính chất của tập H(u
0
) qua định lý dưới đây.
Định lý 1.3.2. H(u
0
) là tập lồi. Nếu u
0
∈ K \{θ} thì H(u
0
) ⊂ K \{θ}.
Chứng minh. Trước tiên ta chứng tỏ H(u
0
) là tập lồi. Thật vậy, ∀x, y ∈
H(u
0
), ∀t ∈ [0, 1], thì x, y là hai phần tử thông ước với u
0
nên ta có:
∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu
0

Vậy H(u
0
) là tập lồi.
Hơn nữa, nếu x ∈ H(u
0
) thì
∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αu
0
≤ x ≤ βu
0
.
Do u
0
= θ nên x = θ, hơn nữa, ta cũng suy ra
x −αu
0
∈ K và βu
0
− x ∈ K.
Như vậy, x ∈ K, và do đó
H(u
0
) ⊂ K \ {θ}.

1.4. Một số nón đặc biệt
Giả sử E là không gian định chuẩn thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E,
và H là một nón trong không gian E, u
0
∈ H \{θ}, kí hiệu H(u
0

, e
2
∈ H : e
1
 = e
2
 = 1) ((e
1
+ e
2
) −e
1
= e
2
∈ H) ,
nên
1 = e
1
 ≤ N. e
1
+ e
2
 ⇔ e
1
+ e
2
 ≥ N
−1
.
Suy ra, H là nón chuẩn tắc.

> 1, 0 <
n y
n

x
n

< 1, ∀n ∈ N
∗
.
Ta đặt
x
n
n y
n

= 1 + c
n
,
n y
n

x
n

= 1 − d
n
trong đó
c
n

n y
n

, n = 1, 2,
Ta có
g
n
 ≥




x
n
x
n





−




y
n
n y
n

y
n
n y
n





= 1 −
1
n
> 0, ∀n ≥ 2;
nên g
n
= θ, h
n
= θ, ∀n ≥ 2.
Hiển nhiên, g
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
; còn h
n
∈ H, ∀n ∈ N
∗
, được chứng minh
như sau
h
n

x
n

n y
n

y
n

=
1
n x
n
. y
n

[(d
n
x
n
+ c
n
y
n
+ (y
n
− x
n
)] ∈ H, ∀n ∈ N
∗



≤ 1 +
1
n
, ∀n ∈ N
∗
;
h
n
 ≤




−x
n
x
n





+




y

n

+
h
n
g
n

+
h
n
h
n

−
h
n
g
n

=
2y
n
n y
n
. g
n

+
g



≤
2
n g
n

+
1 +
1
n
− 1 +
1
n
g
n

≤
4
n −1
, ∀n ≥ 2
16
Cho n → ∞ ta được
lim
n→∞




g

n
)
∞
n=1
⊂ H không tăng và bị chặn dưới bởi v ∈ H luôn
có inf(y
n
) thuộc H.
Định lý 1.4.2. Nếu H là nón h-cực trị thì H là nón chuẩn tắc.
Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach thực, H là nón h-cực trị
trong không gian E. Giả sử trái lại H không là nón chuẩn tắc, tức là
(∀n ∈ N
∗
)(∃y
n
∈ H)(∃x
n
∈ H) x
n
 = y
n
 = 1
sao cho
x
n
+ y
n
 <
1
n

= x
1
+ x
2
+ + x
n
(n = 1, 2, ),
thì
z
n+1
− z
n
 = x
n+1
 = 1, ∀n ∈ N
∗
.
Suy ra (z
n
)
∞
n=1
không là dãy Cauchy trong không gian E. Tức là (z
n
)
∞
n=1
không hội tụ.
Mặt khác, dãy (z
n

không hội tụ, điều này mâu thuẫn với tính chất
của nón H. Vậy, nếu H là nón h-cực trị thì H là nón chuẩn tắc.

1.5. Không gian định chuẩn thực l
2
1.5.1. Định nghĩa không gian l
2
và một số tính chất quan trọng
Xét tập hợp
l
2
= {x = (x
n
)
∞
n=1
: x
n
∈ R,
∞

n=1
|x
n
|
2
< +∞}.
Trên l
2
trang bị hai phép toán cộng và nhân với vô hướng thông

Dễ dàng thấy rằng tập hợp l
2
cùng với hai phép toán cộng và nhân
với vô hướng ở trên lập thành một không gian tuyến tính thực.
Trước hết, ta thấy l
2
đóng kín với hai phép toán cộng và nhân với
vô hướng. Thật vậy, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
, ∀y = (y
n
)
∞
n=1
∈ l
2
áp dụng bất đẳng
thức Mincovxki ∀k ∈ N
∗
ta có

k

n=1
|x
n
+ y

≤

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
+

∞

n=1
|y
n
|
2

1
2
.
Cho k → ∞ ta được

∞

n=1


1
2
< +∞.
Nên x + y ∈ l
2
. +) ∀α ∈ R, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
∈ l
2
, với mọi k ∈ N
∗
ta có

k

n=1
|αx
n
|
2

1
2
= |α|

k

|
2

1
2
≤ |α|

∞

n=1
|x
n
|
2

1
2
< +∞
Nên αx ∈ l
2
, ∀x = (x
n
)
∞
n=1
.
Bây giờ ta kiểm tra sự thỏa mãn các tiên đề về không gian tuyến tính:
(∀x = (x
n
)

)
∞
n=1
=

(x
n
+ y
n
) + z
n

∞
n=1
=

x
n
+ (y
n
+ z
n
)

∞
n=1
= (x
n
)
∞

n=1
= (x
n
)
∞
n=1
= x; phần tử θ là
phần tử không của l
2
.
4) ∃ −x = (−x)
∞
n=1
∈ l
2
: x + (−x) =

x
n
+ (−x
n
)

∞
n=1
= θ; phần tử −x
là phần tử đối của phần tử x.
5) (αβ)x =

(αβ)x

∞
n=1
= (αx
n
)
∞
n=1
+ (βx
n
)
∞
n=1
= αx + βx;
7)
α(x + y) = α(x
n
+ y
n
)
∞
n=1
= (αx
n
+ αy
n
)
∞
n=1
= (αx
n