MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
Nguyễn Văn Hào
1
Lê Thị Huyền My
2

Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng
các bài toán từ Định lý giá trị trung bình với kỹ thuật tạo dựng hàm phụ.

1. Đặt vấn đề
Các định lý giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều
lĩnh vực khoa học khác. Trong Toán học, người ta có thể kể đến một số vấn đề như: bài toán
tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương
trình và toán tử trong việc giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số…
Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle như sau:
Định lý. Cho hàm
()y f x=
liên tục trên
[ , ]ab
, khả vi trên
( , )ab
và
( ) ( )f a f b=
. Khi đó,
tồn tại ít nhất một số
( , )c a bÎ
sao cho
( ) 0fc
¢
=
.

fx
(mà ở đây chúng ta gọi nó là hàm “gốc”) liên tục trên đoạn
,ab
éù
êú
ëû
và khả
vi trên khoảng
( )
,ab
. Theo ý tưởng đó, chúng tôi sử dụng các tính chất riêng biệt của một số
hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc
( )
fx
để có được các bài toán mới. Ở đây, các hàm phụ mới
được thiết lập theo hai cách thức sau:
1. Kết hợp hàm gốc
( )
fx
với một số hàm sơ cấp đơn giản dưới dạng tổng và dạng tích.
2. Tính chất của hàm gốc thoả mãn các giả thiết của Định lý giá trị trung bình được
chúng tôi gắn kết với các giới hạn cơ bản để tạo ra những bài toán về sự hội tụ của dãy số.
2. Nội dung
2.1. Định lý Rolle với các hàm số sơ cấp đơn giản
Như đã nói trên đây, trong các phần này chúng ta hiểu “gốc” là hàm
( )
fx
nào đó liên
tục trên đoạn
,ab

( ) ( )
ab
f a t f b t

+ = +
.
Từ đó suy ra tồn tại số
( )
,c a bÎ
sao cho đạo hàm của hàm
( )
hx
triệt tiêu, tức là
( )
ln 0
c
f c t t
-
¢
-=
. Như vậy, chúng ta nhận được bài toán dưới dạng tổng quát theo giá trị của
cơ số trong hàm mũ
x
t
-
như sau
Bài toán 1. Cho hàm
( )
fx
liên tục trên

Bài toán 1.1. Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên
0;1
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
0;1
và
( ) ( )
1
0 1 1f f e
-
+ = +
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
0;1c Î
sao cho
( )
c
f c e
-
¢
=
.
Bài toán 1.2. Cho hàm số
( )

logh x f x x
a
=-
với
số thực
a
nào đó mà
01a<¹
. Điều kiện bằng nhau tại giá trị hai đầu mút của hàm
( )
hx

trên đoạn
,ab
éù
êú
ëû
trở thành
( ) ( )
log
b
f b f a
a
a
-=
. Bởi vì, đạo hàm của hàm
( )
hx
là
( ) ( ) ( )

( ) ( )
log
b
f b f a
a
a
-=
, với
0ab >
và
01a<¹
. Chứng minh rằng tồn tại số
( )
,c a bÎ
sao cho
( )
1
ln
fc
c a
¢
=
.
Thay thế một số giá trị cụ thể cho cơ số
a
của hàm logarit, chúng ta nhận được một số
bài toán
Bài toán 2.1. Cho hàm
( )
fx

ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn khong
( )
1;2010
tr ra
cỏc im nguyờn trờn on ú v
( ) ( )
1
1 ln 1 ; 1,2009f k f k k
k
ổử
ữ
ỗ
ữ
+ - = + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
Chng minh rng tn ti
( )
;1
k
c k kẻ+
sao cho
( )

1
n
k
k
k
h x f x k xl
-
=
ÂÂ
=-
ồ
.
iu kin v tớnh liờn tc v kh vi ca
()hx
trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
nhn c ngay t gi thit
ca hm gc
()fx
. Giỏ tr bng nhau ca hm
()hx
ti hai u mỳt tr thnh
( ) ( )
( )
1
n
kk

tr ra cỏc im nguyờn trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. Chng minh rng tn ti
( )
,c a bẻ
sao cho
( ) ( )
n
f c P c
Â
Â
=
.
Vi a thc
( )
2
2
2
x
Px=
chỳng ta thu c
Bi toỏn 3.1. Cho hm
( )
fx
liờn tc trờn
1;2012
ộự

k
k
fc
c
=
Â
=
ồ
.
Vi a thc
( )
( ) 1P x x= - -
, chỳng ta cú c
Bi toỏn 3.2. Cho hm s
f
kh vi trờn
0;1
ộự
ờỳ
ởỷ
v tha món
(0) 0f =
,
(1) 1f =-
. Chng
minh tn ti hai s phõn bit
, (0; 1)abẻ
sao cho
( ). ( ) 1f a f b
ÂÂ

có thể viết dưới dạng
( ) ( )
ba
f a t f b t=
. Khi đó, chúng ta nhận được bài toán
Bài toán 4. Cho hàm
( )
fx
liên tục trên
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
( )
,ab
và thoả mãn điều kiện
( ) ( )
ba
f a t f b t=
với số thực
01t<¹
nào đó. Chứng minh rằng tồn tại
( )
,c a bÎ
sao cho
( ) ( )
lnf c f c t
¢
=

,
1, 1in=-
. Chứng minh rằng nếu
( )
fx
chỉ triệt tiêu tại đúng các điểm
i
a
với mọi
0,in=
thì tồn tại các số
( )
1
;
i i i
c a a
+
Î
,
0, 1in=-
sao cho
( )
( )
1
0
1
n
i
i
i

. Đạo hàm của
( )
hx
là
( ) ( ) ( )
1
xx
nn
h x e f x e f x
n

¢¢
= - +
.
Theo Định lý Rolle, tồn tại các số
( )
1
;
i i i
c a a
+
Î
với mỗi
0, 1in=-
sao cho
( )
0
i
hc
¢

=
å
.
Cũng tương tự như thế, với hàm phụ
( ) ( )
x
h x e f x
a
=
, chúng ta được
Bài toán 4.2. Chứng minh rằng nếu
f
liên tục trong khoảng đóng
,ab
éù
êú
ëû
, khả vi trên
khoảng mở
( )
,ab
và
( ) ( ) 0f a f b==
thì với
a Î ¡
, tồn tại
( )
,x a bÎ
sao cho
( ) ( ) 0f x f xa

.
2.1.2.2. Hàm logarit
Lập hàm phụ
( ) ( )
.logh x f x x
a
=
; với
0 , 1ab<¹
và
01a<¹
.
iu kin bng nhau ti hai giỏ tr u mỳt ca hm trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
c vit di dng
( )
( )
log
b
fb
a
fa
=
. Bi vỡ o hm ca
()hx
l
( ) ( ) ( )

,c a bẻ
sao cho
( )
( )
ln
fc
fc
cc
Â
=-
.
Trng hp
ae=
, chỳng ta cú bi toỏn
Bi toỏn 5.1. Cho hm
()fx
liờn tc trờn
2
;ee
ộự
ờỳ
ởỷ
, kh vi trờn
( )
2
;ee
v
( )
( )
2

e
n
a
a
a
đ
-
=
. 2.
( ) 0
ln(1 ( ))
lim 1
()
n
n
n
a
a
a
đ
+
=
.
3.
()
()
lim 1
()
n
a

đ
=
.

5.
( ) 0
tan ( )
lim 1
()
n
n
n
a
a
a
đ
=
.
2.2.1. Cỏc bi toỏn
Bi toỏn 6. Cho hm s
()fx
kh vi trờn on
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. Gi s rng
( ) ( ) 0f a f b==
v
( ) 0fx ạ

chng minh bi toỏn ny, chỳng ta xột hm s
( )
2012
( ) ( ), ,
x
n
n
H x e f x x a b
-
=ẻ
.
o hm ca
()
n
Hx
l
2012 2012
2012
( ) ( ) ( )
xx
nn
n
H x e f x e f x
n

Â
Â
= - +
, chỳng ta suy ra
()
n
Hx
tha món cỏc
iu kin ca nh lý Rolle. Do ú, tn ti dóy
{ }
( )
,
n
x a bè
sao cho
( ) 0
nn
Hx
Â
=
. T ú, ta cú
()
2012
()
n
n
fx
f x n
Â
=
.
S dng gii hn c bn 1, chỳng ta thu c
()

,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu
()fx
khụng ng nht bng 0 trờn khong
( )
,ab
thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho
2012
()
lim 1
()
n
n
n
n
fx
e

thỡ tn ti mt dóy
{ }
n
x
trong khong
( )
,ab

sao cho

()
lim ln 1 2012
()
n
n
n
fx
n
fx
đƠ
ộự
ổử
Â
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
+=
ữ


sao cho
()
lim sin 2012
()
n
n
n
fx
n
fx
đƠ
ộự
Â
ờỳ
=
ờỳ
ờỳ
ởỷ
.
Bi toỏn 6.4. Cho hm
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
v
( ) ( ) 0f a f b==
. Chng minh rng nu

.
2.2.2. Mt s hm khỏc
Ngoi hm
()
n
Hx
c xột trong bi toỏn m u, ta cú th lp cỏc hm khỏc. Tng
ng vi mi hm cựng gii hn c bn, ta c cỏc bi toỏn mi.
Hm
1
( ) ( )
x
n
n
H x e f x
a
-
=
cú o hm
( )
1
1
( ) ( ) ( )
xx
nn
n
x
H x e f x e f x
n
aa

ữ
ữ
ỗ
ốứ
.
Khi hm
1
()
n
Hx
tho món cỏc iu kin ca nh lý Rolle nhn c t gi thit ca
hm gc cho ta khng nh
( )
1
( ) 0
nn
Hx
Â
=
. iu ú, tng ng vi
1
()
()
n
nn
fx
n
x f x
a
a

lim
( 1) ( )
n
n
n
nn
fx
e x f x
a
a
-
đƠ
Â
=
-
;
2.
1
()
lim 1
()
n
n
n
nn
fx
e
x f x
a
a -

đƠ
ộự
ổử
Â
ữ
ỗ
ờỳ
ữ
ỗ
+=
ữ
ờỳ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờỳ
ốứ
ởỷ
;
4.
1
()
lim sin
()
n
n
nn
fx

n
x f x
a
a
-
đƠ
ổử
Â
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
.
Hm
2
( ) ( ). os
n
x
H x f x c
n
=
cú o hm

=
.
T ú, chỳng ta cú bi toỏn
Bi toỏn 8. Cho hm
()fx
kh vi trờn
0;
4
p
ộự
ờỳ
ờỳ
ởỷ
v
(0) 0
4
ff
p
ổử
ữ
ỗ
ữ
==
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
. Khi ú, nu

đƠ
Â
=
.
Tng t nh vy, i vi hm
3
( ) ( ) cot
n
x
H x f x
n
=
; vi
0;
4
x
p
ộự
ờỳ
ẻ
ờỳ
ởỷ
,
chỳng ta nhn c
Bi toỏn 9. Cho hm
()fx
kh vi trờn
0;
4
p

ổử
ữ
ỗ
ữ
è
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
sao cho
()
lim 1
()
nn
n
n
x f x
fx
đƠ
Â
=
.
Kt thỳc phn ny chỳng ta trỡnh by li gii y ca bi toỏn sau
Bi toỏn 10. Cho hm s
()fx
kh vi trờn
,ab
ộự

( )
2012
4
( ) ln 1
n
x
H x f x
n
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
=+
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
. Ta cú
( )
( ) ( )
2011
2012
4
2012
2012.
( ) ln 1
1

Hx
tha món iu kin ca
nh lý Rolle trờn
,ab
ộự
ờỳ
ởỷ
. T ú, suy ra tn ti dóy
{ }
( )
1
,
n
n
x a b
Ơ
=
è
sao cho
( )
4
( ) 0
nn
Hx
Â
=
, tc l
2011
2012 2012
2012

2012
2012 2012
2012
()
lim lim
()
1 ln 1
n
nn
nn
n
nn
x
x f x
n
fx
xx
nn
đ Ơ đ Ơ
ộự
ờỳ
ờỳ
Â
ờỳ
=-
ờỳ
ổ ử ổ ử
ờỳ
ữữ
ỗỗ

ờỳ
ờỳ
ờỳ
= - ì
ờỳ
ổ ử ổ ử
ờỳ
ữữ
ỗỗ
ờỳ
ữữ
ỗỗ
++
ữữ
ỗỗ
ờỳ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
ờỳ
ởỷ2012=-
.
3. Kt lun
Chỳng tụi ó trỡnh by mt s phng phỏp xõy dng mt s kt qu mi i vi phộp
tớnh vi phõn ca hm s mt bin s t nh lý giỏ tr trung bỡnh. Bng vic s dng nhng