Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
A . Đặt vấn đề





------------------------------------
I - Lý do chọn đề tài
Nh chúng ta đã biết phơng trình bậc hai là một nội dung quan trọng của chơng
trình đại số lớp 9, các bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai là vô cùng phong phú.
Do vậy khả năng gặp phơng trình bậc hai trong các kì thi tuyển sinh vào THPT, vào
các trờng chuyên, lớp chọn là rất cao. Mà đặc biệt là các bài toán liên quan đến định lý
Viet.
Tuy nhiên phân phối chơng trình cho phần định lý Viet là rất ít (1 tiết lý thuyết, 1
tiết bài tập), vì thế đại đa số học sinh thờng lúng túng khi đứng trớc các bài toán có liên
quan đến định lý Viet và ứng dụng một số ứng dụng của định lí này. Trớc thực tế đó,
nhằm giúp các em nắm đợc một cách có hệ thống và có khả năng giải quyết đợc các bài
tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán,
tính linh hoạt của học sinh, chúng tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề:
Một số ứng dụng của định lý Viet
II. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trớc những thiên hớng
tốt, cha tốt mà tôi thấy rất cần phân loại và một số phơng pháp giải cho các em
- Thứ hai: Bản thân ngời thầy cũng rầt cần trau dồi tự học và tham khảo làm chủ kiến
thức
III. Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu những vấn đề lý thuyết về phuơng trình bậc hai, định lý Viet trong chơng
trình đại số lớp 9
- Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
- Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là từ kinh nghiệm bồi dựỡng học sinh giỏi, ôn tập cho


< 0 thì (*) vô nghiệm
b) Nếu

= 0 thì (*) có nghiệm kép:
a
b
xx
2
21

==
c) Nếu

> 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2

=


0
I. Phơng pháp giải
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) (*)
1. Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c
xx
==
21
;1
2. Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 2 nghiệm
a
c
xx

==
21
;1
3. Nếu
nmxx
+=+
21
;
nmxx ..
21

1
2
=


+

+

mm
m
x
n
x
m
(Với m

2; m

3, x là ẩn) (2)
c. (m -3)x
2
(m +1)x 2m + 2 = 0 ( m là tham số, x là ẩn) (3)
H ớng dẫn:
- 4 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét
a. ở phần này HS dễ nhận thấy a + b + c

0, a - b + c


52
3
1
2
1
=


+

+

=
mm
m
mm

(Với m

2; m

3). Nên phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
m
m
xx


==
3
52

3 phơng trình (3) có a b + c = 0, nên có 2 nghiệm
3
22
;1
21


==
m
m
xx
.
Kết luận:
Nh vậy, khi ta phải nhẩm nghiệm của PT dạng: ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0) (*) thì ta cần
+ Xét a = 0 sau đó nhẩm nghiệm
+ Xét a

0 kiểm tra sau đó nhẩm nghiệm
Trong thực tế HS có thể phải nhẩm nghiệm của PT bậc ba hoặc bậc 4 (dạng đặc biệt). Để
giải quyết đợc tốt các định lí, khi đó phải đa các PT ấy về dạng PT bậc 2 nhẩm đợc nghiệm.
VD2: Nhẩm nghiệm của phơng trình
0155
23
=+
xxx
(4)

2
(x +1) 6 ( x+ 1)
2
= 0 (5)
Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phơng trình (5) nên ta chia 2 vế cho ( x +1)
2
ta
đợc:

2
2
1








+
x
x
+ 5
1
2
+
x
x
- 6 = 0

+ x
2
và P = x
1
x
2
nhờ đó có
thể tính đợc giá trị của biểu thức mà không phải giải phơng trình.
II. Một số ví dụ
VD1: Giả sử x
1
và x
2
là các nghiệm của phơng trình bậc hai 3x
2
cx + 2c -1 = 0. Tính
theo c giá trị của biểu thức A =
3
1
1
x
+
3
2
1
x
Giải: Theo định lý viét ta có:




3
1
3
1
3
2
.xx
xx
+
=
( ) ( )
3
2
3
1
2121
3
21
.
3
xx
xxxxxx
++
S =
3
3
3
12
3
.

c
ccc
Với biểu thức không đối xứng 2 nghiệm trớc hết ta cũng phải tính S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
Sau
đó cần kéo biến đổi biểu thức đó nhiều xuất hiện S và P từ đó ta tính đợc giá trị của biểu
thức.
VD2: Không giải phơng trình , hãy tính hiệu các lập phơng của các nghiệm lớn và nhỏ
của phơng trình bậc hai : x
2
-
0
16
5
1
4
85
=+
x
(*)
H ớng dẫn : Phơng trình (*) có
16
1
16

2
=
16
21
ta có
3
2
3
1
xx

= (x
1
- x
2
)
( )
21
2
2
2
1
xxxx
++
= (x
1
- x
2
)
( )

1
2 xxxx
+
=
( )
21
2
21
4 xxxx
+
Vậy
3
2
3
1
xx

=
( )
psps

22
.4
=







2
7
1
xx
+
theo a.
b. Tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận
77
3
5
5
3
+=
a
làm nghiệm.
H ớng dẫn:
a. ở đây
7
2
7
1
xx
+
không biẻu diễn trực tiếp đợc dới dạng x
1
+ x
2
và x
1
. x

4
1
xx
+
;
3
2
3
1
xx
+
theo a.
Thật vậy kí hiệu
nn
n
xxS
21
+=
. Theo Viét ta có:



=
=+
1.
21
21
xx
axx
Do đó

=
24
24
+
aa
( ) ( )
aaxxxxxxxxS 33
3
2121
3
21
3
2
3
13
=++=+=
Vậy
( ) ( )
aaaaaaaaaS 71473.24
357324
7
+=+=
b. Để tìm một đa thức bậc 7 nhận

làm nghiệm nghĩa là ta phải tìm một đa thức bậc 7 mà
khi thay

vào thế giá trị của đa thức bằng 0: Theo phần a có:
7
2

3
7
;
=
2
x
3
5
7
ta có:
x
1
+ x
2
=
a
=+
77
3
5
5
3
; x
1
. x
2
=
1
3
5

++

15
034105210105
357
=+

Vậy đa thức cần tìm là 15
34105210105
357
+
xxxx
Với biểu thức cần tính là biểu thức mà không đối xứng giữa các nghiệm trớc hết ta tách S
=x
1
+ x
2
; P= x
1
. x
2
sau đó cần có sự nhìn nhận một cách linh hoạt khéo léo để biến đổi biểu
thức đã cho nhằm x hiệu S; P từ đó tính đợc giá trị của biểu thức.
VD4: Cho phơng trình
035
2
=+
xx
. Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1

2
= 3

x
1

0

, x
2

0

Vì x
1
là nghiệm của phơng trình
035
2
=+
xx
nên
035
1
2
1
=+
xx


144

x
=
2
1

x
Khi đó A =
11
21
++
xx

122
212121
2
+++++=
xxxxxxA

2
A
= 5+2 - 2
1135
=++

A = 1 ( vì A
0

* ở VD7 sau không có mặt
34
PS

2
. Khi đó :
( )
PSxxxxxxx
=+=
121121
2
1
3
1
x
=
( )
1
2
111
2
11
.. PxSxPSxxxx
==
=
( )
11
2
11
. PxSPxSPxPSxS
=
=
( )
SPxPS

thức :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
B=
2
4
21
2
1
5
1
8
2
3
13 xxxxx
++
H ớng dẫn: Theo định lí Viét có S = 2; P = - 1. áp dụng các hệ thức trên ta có:
12
1
2
1

1
2
111
4
11
5
1
512512.. xxxxxxx
+=+==
=
( )
122951212
111
+=++
xxx
Ta có :
A=
8832
2
2
1
3
2
4
1
+++
xxxx
- 8 -
Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lí Viét


( )
2
2
21
2
11
2
1
812
2
3
13512 xxxxxx
++++
=
144
2
3
169
2
2
21
2
1
+++
xxxx
=
12
2
3
13

.3
2
3
13
2121
+=++
xxxx
= 3.2 -
0
11
2
1
=
*. Đối với biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình. Trong thực tế nhiều khi ta phải
tính biểu thức giữa các nghiệm của hai phơng trình . Để làm đợc các bài tập kiểu này ta phải
tìm S,P trong từng phơng trình rồi xem xét, thay thế 1 cách hợp lý ( thờng thì phải thay thế
nhiều lần ) ta sẽ tách đợc giá trị của biểu thức đó.
VD2: Giả sử
21
, xx
là hai nghiệm của phơng trình
01
2
=++
axx
và
43
, xx
là nghiệm của ph-
ơng trình

43
xx
bxx
Do đó
( ) ( )
433241214231
. xxxxxxxxxxxx
+=+
= 1 +
1
3241

xxxx
=
3241
xxxx

và
( ) ( )
=+
4132
. xxxx
43314221
xxxxxxxx
+
= 1 +
1
3142

xxxx

4
xxxx
+
M=
( ) ( )
2
2
2
1
2
4
2
3
xxxx
++
M=
( )
[ ]
( )
[ ]
21
2
2143
2
43
2.2 xxxxxxxx
++
M=
( ) ( )
2222

:



=
=+
1ab
pba
;



=
=+
2bc
qcb
Ta có
( ) ( )
cbab

.
=
acbcabb
+
2
=
( )
bcabacbcabb
++++
2

b.
21
xx

c.
11
1
2
2
2
2
1
+
+
+
x
x
x
x
d.
1221
xxxx
+
e.
21
xx
+
BT2. Cho phơng trình :
0135
2

x
x
x
x
x
x
x
-









21
11
xx
C.
1221
22 xxxx
+
BT3. Cho phơng trình
07
2
=+++
mmxx
Không tính nghiệm

212
2
1
2
221
2
1
434
xxxx
xxxx
+
+
4. Cho phơng trình
0
2
=++ cbxax

( )
0

a
có 2 nghiệm
21
; xx
Tính theo a,b,c các biểu thức
A=
( )( )
1221
3535 xxxx


xxxx
B =
( ) ( )
25.25
2
2
3
2
2
1
3
1
++
xxxx
6. Cho phơng trình
( )
0334
22
=+++
aaxax
gọi
21
; xx
là 2 nghiệm của phơng trình. Tìm giá
trị của a để.
- 10 -