TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL
VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
HÀ NỘI - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL
VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
Người hướng dẫn khoa học
Th.S. NGUYỄN THỊ TRÀ
HÀ NỘI - 2015
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc
biệt đối với những môn khoa học khác. Đồng thời, hình học còn
giúp chúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và
sáng tạo một số bài toán thuộc chương trình phổ thông.
Định lý Pascal và định lý Brianchon chắc không còn quá xa lạ với
những bạn yêu toán và đặc biệt là yêu thích môn hình học. Với
mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu
hơn nữa về ứng dụng của hai định lý tuyệt mỹ ấy, tôi đã chọn
đề tài "Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý
Brianchon" làm khóa luận tốt nghiệp.
Định lý Pascal và định lý Brianchon tổng quát được phát biểu cho

3. Phương pháp nghiên cứu
• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu.
• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hình
học xạ ảnh.
• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyết
một số vấn đề.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 3
Chương 1
Một số lý thuyết chuẩn bị
1.1 Hình sáu đỉnh và định lý Pascal
1.1.1 Định nghĩa hình sáu đỉnh.
Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp gồm sáu điểm A
1
, A
2
, A
3
, A
4
, A
5
, A
6
phân
biệt được gọi là hình sáu đỉnh.
Kí hiệu: A
1
A
2
A

, A
3
A
4
, A
4
A
5
, A
5
A
6
, A
6
A
1
.
• Các cặp đỉnh đối diện: A
1
− A
4
, A
2
− A
5
, A
3
− A
6
.

− A
6
A
1
1.1.2 Định lý Pascal
Định lý 1.1.2. Nếu một hình sáu đỉnh có sáu đỉnh nằm trên một
đường ôvan (còn được gọi là sáu đỉnh nội tiếp ôvan) thì giao điểm của
các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh
Giả sử hình sáu đỉnh A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
nội tiếp đườn ôvan (S).
Gọi P = A
1
A
2
∩ A
4
A
5

1
A
3
→ A
5
A
3
A
1
A
4
→ A
5
A
4
A
1
A
5
→ A
5
A
6
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 5
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
mà f bảo toàn tỷ số kép giữa hai chùm nên:
[A
1
A
2

3
, A
4
, R ] = [ A
2
, A
3
, N, Q ]
Khi đó luôn tồn tại một ánh xạ:
g : A
3
A
4
→ A
3
A
2
M → A
2
A
4
→ N
R → Q
A
3
A
2
∩A
3
A

A
3
A
4
A
5
nội tiếp đường ôvan (S)
thì ba giao điểm của cạnh A
1
A
2
với cạnh A
4
A
5
, cạnh A
2
A
3
với tiếp
tuyến của (S) tại A
5
, cạnh A
3
A
4
với cạnh A
5
A
1

2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
. Kí hiệu: a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 8
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ
Trong đó:
• Các cạnh: a
1
, a
2
, a

1
∩ a
2
và a
4
∩ a
5
a
2
∩ a
3
và a
5
∩ a
6
a
3
∩ a
4
và a
6
∩ a
1
1.2.2 Định lý Brianchon
Định lý 1.2.2. Nếu một hình sáu cạnh có sáu cạnh phân biệt cùng
tiếp xúc với một đường ôvan (còn gọi là hình lục giác ngoại tiếp ôvan
đó) thì các đường thẳng nối các đỉnh đối diện đồng quy.
1.2.3 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon
Trường hợp 1: Nếu một hình tứ cạnh ngoại tiếp một ôvan thì các
đường nối các đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các

, B
1
, C
1
; A
1
N, B
1
N, C
1
N cắt lại (O) tương ứng ở A
2
, B
2
, C
2
;
A
1
N, B
1
N, C
1
N cắt lại (O) tương ứng ở A
3
, B
3
, C
3
.

2

ASB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Chứng minh rằng: IS⊥BC.
2.1.3 Định lý Pascal với cực và đối cực
Bài tập 2.1.8. Chứng minh rằng ba đường chéo chính của một lục
giác ngoại tiếp đồng quy.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 12
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
Bài tập 2.1.9. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm (O)
trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Một điểm S nằm trên
cung nhỏ PN của (O). Tiếp tuyến của (O) tại S cắt BC, CD lần lượt
tại H, K.
Chứng minh rằng: MH//AK.
Bài tập 2.1.10. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường
tròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật. Giả sử EF cắt AB, CD lần
lượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K.
Chứng minh rằng: PH // QK.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 13
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF . Lấy hai điểm
N, P trên đường thẳng EF sao cho ON = OP . Từ điểm M nào đó
bên trong đường tròn mà không thuộc EF, kẻ đường thẳng MN cắt
đường tròn tại A và C, đường thẳng MP cắt đường tròn tại B và D
sao cho B và O nằm khác phía đối với AC. Gọi K là giao điểm của
OB và AC, Q là giao điểm của EF và CD.
Chứng minh rẳng các đường thẳng KQ, BD và AO đồng quy.
Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Một
đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi

1
cắt
E
2
D
2
ở M; F
1
D
1
cắt F
2
E
2
ở N.
Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy.
Bài 5. Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm
(O). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh rằng các đường tròn (AOM), (BON), (COP ) có hai điểm
chung.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 14
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON
2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon
2.2.1 Bài toán Brianchon với cực và đối cực
Bài tập 2.2.1. Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp.
Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P
lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA),
(DE,AB).
Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Bài tập 2.2.2. Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với

đỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy tại điểm E. Tìm quỹ
tích điểm E.
Bài 3. Cho elip (G) và tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CA
tiếp xúc với (G) lần lượt tại các điểm M, N, L.
Chứng minh rằng [ABM].[BCN].[CAL] = −1.
Bài 4. Cho parabol (G) và tam giác AC có các cạnh tiếp xúc với
(G).Từ B kẻ đường thẳng b

song song với AC. Đặt H và K là hai
giao điểm của b; với (G). Đặt L là giao điểm của hai tiếp tuyến tại H
và K của (G).
Chứng minh rằng: LA song song với BC còn LC song song với AB.
Bài 5. Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a
và b. Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H). Gọi a

là đường thẳng
đi qua A và song song với a, b

là đường thẳng đi qua B và song song
với b. Đường thẳng AC ∩ b

= P, BD ∩ a

= Q. Chứng minhh rằng:
P Q//CD.
Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17
Kết luận
Khóa luận với đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Pascal
và định lý Brianchon”, tôi đã nghiên cứu được các nội dung chủ yếu
sau: