BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Hồ Thị Anh Tú

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
WEDDERBURN – ARTIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Hồ Thị Anh Tú

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
WEDDERBURN – ARTIN
Chuyên ngành: Đại Số Và Lí Thuyết Số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.BÙI TƯỜNG TRÍ


MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................3
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................5
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .............................................................................7
1.1

MÔĐUN ........................................................................................................7

1.2

RADICAL CỦA MỘT VÀNH ...................................................................10

1.3

RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN. ....................................13

1.4

VÀNH ARTIN ............................................................................................19

1.5

VÀNH ARTIN NỬA ĐƠN .........................................................................24

1.6

ĐỊNH LÝ DÀY ĐẶC ..................................................................................30

CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN ..............................................36
2.1


MÔ TẢ VÀ XÂY DỰNG NHÓM BRAUER:............................................52

Định nghĩa: ........................................................................................................52
Bổ đề 3.2.1: .......................................................................................................52


4

Định lý 3.2.1:.....................................................................................................54
Định lý 3.2.2:.....................................................................................................56
Hệ quả: ..............................................................................................................56
Định lý 3.2.3:.....................................................................................................56
Định nghĩa (quan hệ tương đương): ..................................................................59
Bổ đề 3.2.2: .......................................................................................................59
Nhóm Brauer: ....................................................................................................60
Mô tả nhóm Brauer trong một số trường hợp cụ thể của trường F .......................61
3.3

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM:............................................................65

Định nghĩa: ........................................................................................................65
Định nghĩa: ........................................................................................................66
Định lý: 3.3.1: ...................................................................................................68
Định lý 3.3.2:.....................................................................................................69
Định lý 3.3.3:.....................................................................................................70
Bổ đề 3.3.1: .......................................................................................................71
Định nghĩa: ........................................................................................................73
Định lý 3.3.4:.....................................................................................................73
KẾT LUẬN ...............................................................................................................76

•

Lý thuyết biểu diễn nhóm

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp tổng hợp


6

5. DỰ KIẾN NỘI DUNG LUẬN VĂN
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các khái niệm và kết quả được sử dụng
Chương 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN
Trình bày định lý Wedderburn – Artin và các dạng khác nhau
của định lý.
Chương 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN
1. Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma trận
2.Ứng dụng trong mô tả và xây dựng nhóm Brauer
3.Ứng dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm


7

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

MÔĐUN

Định nghĩa

Định nghĩa: M được gọi là R – môđun bất khả quy nếu nó thỏa hai tính chất


8

1) MR ≠ (0)
2) M chỉ có hai môđun con là (0) và M
Định lý 1.1.1. (bổ đề Schur)
Nếu M là một R – môđun bất khả quy thì C(M) là một vành chia
Chứng minh. Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh
mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch. Tuy nhiên, nếu 0 ≠ ϕ∈ C ( M )
mà có ϕ−1 ∈ E ( M ) thì từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) .
Do đó, ta chỉ cần chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch
trong E(M).
Với mọi 0 ≠ ϕ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M là môđun trung thành nên
ϕ( M ) =
M . Tức ϕ toàn cấu. Mặt khác, nếu Kerϕ ≠ (0) thì cũng do M là môđun

trung thành nên Ker ϕ = M , suy ra ϕ =0 (MT). Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ là đơn cấu.
Vậy ϕ là đẳng cấu. Suy ra ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) . Đây là điều ta cần
chứng minh.
Định nghĩa.
Một iđêan phải ρ của vành R được gọi là chính quy nếu tồn tại r ∈ R sao cho
x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R .

Bổ đề 1.1.3.
Nếu M là một R– môđun bất khả quy thì M đẳng cấu (như một môđun) với R–
môđun thương R ρ , trong đó ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy nào đó của R.
Ngược lại, nếu ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R thì R ρ là R – môđun
bất khả quy.

ρ Ker ϕ chính quy: vì mR = M nên ta suy ra
+) =
∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R
⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R .
ρ Ker ϕ là iđêan chính quy.
Tức =

Ngược lại, giả sử ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R, ta sẽ chứng
minh R ρ là R– môđun bất khả quy.
+) R ρ=
.R R ≠ (0)
ρ
+) Giả sử ρ′ ρ là một môđun khác không của R ρ . Khi đó, ρ ⊂ ρ′ .
≠
Nhưng ρ là iđêan phải tối đại của R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ .
Vậy R ρ là R – môđun bất khả quy.


10

1.2

RADICAL CỦA MỘT VÀNH

Định nghĩa.
Radical của vành R, ký hiệu J(R), là tập hợp các phần tử của R linh hóa mọi R –
môđun bất khả quy. Nếu không tồn tại R– môđun bất khả quy thì J(R) = R.
Radical định nghĩa như trên thường được gọi là radical Jacobson.
Từ định nghĩa ta suy ra J ( R) =  A( M ) , với M chạy khắp tập các R – môđun
bất khả quy. Mặt khác, A(M) là iđêan hai phía nên J(R) là iđêan hai phía. Tuy


(ρ : R) là iđêan hai phía của R: Vì A( M ) = (ρ : R) nên (ρ : R) là iđêan

hai phía của R.


11

+) (ρ : R) ⊂ ρ : ∀x ∈ (ρ : R) ⇒ Rx ⊂ ρ . Mặt khác, ρ chính quy nên có
r ∈ R : y − ry ∈ρ, ∀y ∈ R . Do đó, x − rx ∈ ρ , mà Rx ⊂ ρ nên rx ∈ ρ suy ra x ∈ρ . Tức
(ρ : R) ⊂ ρ .

+) (ρ : R) là lớn nhất: giả sử có iđêan hai phía ρ′ của R mà ρ′ ⊂ ρ . Khi đó,
∀x ∈ρ′ , ta có Rx ⊂ ρ′ ⊂ ρ ⇒ x ∈ (ρ : R) ⇒ ρ′ ⊂ ρ

Bổ đề 1.2.1.
Nếu ρ là iđêan phải chính quy của R thì ρ có thể nhúng vào một iđêan phải, tối
đại, chính quy của R.



J (M )
Định lý 1.2.2.=

ρ

ρ _ idean phai ,td , cq

Chứng minh.
J ( R) ⊂


ρ _ idean phai ,td , cq

Ký hiệu S ={xy + y : y ∈ R} . Ta khẳng định S = R. Thật vậy, nếu S ≠ R thì S
là một iđêan phải của R. Hơn nữa, chọn r =− x ∈ R , ta có y − ry =y + xy ∈ S , ∀y ∈ R ,
tức S là iđêan phải chính quy của vành R. Theo bổ đề 1.2.1, S có thể nhúng được
vào một iđêan phải, tối đại, chính quy P của R. Khi đó, ∀y ∈ R ta có
 xy + y ∈ S ⊂ P
⇒ y⊂P⇒R⊂P

 x ∈ τ ⊂ S ⊂ P ⇒ x ∈ P ⇒ xy ∈ P

Điều này không thể xảy ra vì P là iđêan tối đại. Vì thế ta được S = R, cụ thể
R ={xy + y : y ∈ R}

Đặc biệt, x ∈ R ⇒ − x ∈ R ⇒ ∃w ∈ R : − x= xw + w ⇔ x + w + xw= 0 .
Nếu τ ⊂/ J ( R) thì có một R – môđun bất khả quy M mà M τ ≠ 0 suy ra
∃m ∈ M : mτ ≠ 0 (*)


12

Rõ ràng mτ là một R – môđun con của môđun bất khả quy M nên mτ =M .
Do đó, tồn tại t ∈ τ sao cho mt = −m . Vì t ∈ τ nên bằng cách lập luận như trên,
∃s ∈ R, t + s + ts =0 .
m(t + s + ts ) =
mt + ms + mts =
−m + ms − ms =
−m
Ta có: 0 =

0 =m( x + y + xy ) =mx + my + mxy =−m + my − my =−m
⇒ m = 0 ⇒ mρ = 0 (MT với mρ ≠ 0 )

Vậy ta được ρ ⊂/ J ( R) .
Từ nhận xét trên ta có định lý


13

Định lý 1.2.3
J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R chứa mọi iđêan phải tựa chính quy
phải của R, nghĩa là, J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải lớn nhất của R.
Định nghĩa.
a) Ta nói phần tử a ∈ R là lũy linh nếu ∃m ∈ * để a m = 0
b) Ta nói một iđêan phải (trái, hai phía) là nil-idean nếu mọi phần tử của nó
đều lũy linh.
c) Ta nói một iđêan phải (trái, hai phía) ρ là lũy linh nếu ∃m ∈ * sao cho
a1a2 ..am= 0, ∀a1 , a2 ,.., am ∈ ρ

Với hai iđêan I, J ta định nghĩa
=
IJ

{∑

hh

ab : a ∈ I , b ∈ J

}

radical của đại số A có khác gì so với radical của vành A không? Câu trả lời là hai
radical này trùng nhau vì ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng: nếu ρ là một
iđêan phải, tối đại, chính quy của vành A thì ρ cũng là không gian véctơ con của
không gian véctơ A trên trường F. Do đó, theo định lý 1.2.2, ta được
J A lg ebra ( A) = J ring ( A)

(

)

Định lý 1.3.1. J R J ( R) = 0
Định nghĩa.
Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = 0
Theo định lý 1.3.1, R J ( R) là vành nửa đơn.
Định lý 1.3.2.
Nếu A là một iđêan của vành R thì J ( A)= A ∩ J ( R)
Chứng minh. Với mọi a ∈ A ∩ J ( R) ta có a ∈ A và a ∈ J ( R) . Vì a ∈ J ( R) nên a là
tựa chính quy phải trong R, tức ∃a′ ∈ R : a + a′ + aa′ =0 ⇔ a′ =−a − aa′ , mà a ∈ A  R
nên a′ ∈ A , tức a là tựa chính quy phải trong A suy ra a ∈ J ( A) . Vậy
A ∩ J ( R) ⊂ J ( A) .

Ngược lại, gọi ρ là một iđêan phải, tối đại, chính quy của R. Nếu A ⊂ ρ thì
ta có
J ( R ) ∩ A =( ∩ρ ) ∩ A =A ⊃ J ( A)

Nếu A ⊂/ ρ , đặt ρ A = ρ ∩ A . Vì ρ là iđêan tối đại và A ⊂/ ρ nên R= A + ρ . Ta
có
R = ( A + ρ) ≅ A
= A
A∩ρ

1 0 
E =
 nên J ( R) ≠ R . Ta khẳng định R không có iđêan hai phía thật sự không
 0 1

tầm thường. Thật vậy, giả sử A là một iđean hai phía của R và A ≠ 0 . Xét các ma
trận
1 0 
0 1 
0 0
0 0
=
E11 =
 , E12 =
 , E21 =
 , E22 

0 0
0 0
1 0 
0 1 


16

a b

0≠α 
Vì A ≠ 0 nên tồn tại =
 ∈ A . Giả sử a ≠ 0 , vì A là iđêan hai phía

=
ρ1 
 : β ∈ 
 0 0 

0 β

2

Dễ thấy ρ1 là iđêan phải khác 0 của ρ và vì 
 = 0 nên ρ1 là nil-idean
0 0
phải của ρ , do đó, ρ1 ⊂ J (ρ) ⇒ J (ρ) ≠ 0 . Và khi đó, J (ρ) ≠ 0 = ρ ∩ J ( R) .
Cho R là một vành, ta ký hiệu Rm là vành các ma trận bậc m trên R. Ta có
đinh lý
Định lý 1.3.3. J ( Rn ) = J ( R) n
Chứng minh. Xét M là một R– môđun phải bất khả quy tùy ý.
=
Ký hiệu M ( n ) {(m1 , m2 ,.., mn ) : mi ∈ M }

Dễ kiểm tra được M ( n ) là một Rm - môđun phải. Hơn nữa, M ( n ) là một Rm môđun bất khả quy. Thật vậy, vì M là R – môđun bất khả quy nên MR ≠ 0 , do đó,
∃m ∈ M , ∃r ∈ R, mr ≠ 0 . Khi đó ta chọn được


17

r

(n)  0
(m, m,.., m) ∈ M ,

(0, 0,.., 0) / (m1 , m2 ,.., mn ) ∈ A

Giả sử mk ≠ 0 . Do M là môđun bất khả quy, mk R là môđun con khác 0 của M
đó, ∀x ( x1 , x2 ,.., xn ) ∈=
nên mk R = M . Khi
=
M ( n ) , ∀i 1, n luôn tồn tại ri ∈ R thỏa
mk ri = xi , do đó,

0


=
x (m1 , m2 ,.., 0)  r1


0


0 0 

  
r2  rn  ∈ A

  
0 0 

⇒ M (n) ⊂ A ⇒ M (n) =
A



 0 0  0 




Dễ thấy ρ1 là iđêan phải của Rn . Ta sẽ chứng minh ρ1 ∈ J ( Rn ) bằng cách chỉ
ra rằng mọi phần tử của ρ1 đều tựa chính quy phải. Thật vậy, với mọi phần tử
 a11

0
=
X 


0

a12  a1n 

0 0 
∈ρ1
  

0 0 

Vì a11 ∈ J ( R) nên a11 tựa chính quy phải suy ra ∃a11′ ∈ R sao cho
′ + a11a11
′ =
a11 + a11
0 . Ta chọn


Do đó, W là phần tử lũy linh và vì thế W tựa chính quy phải, suy ra Z ∈ Rn

0
sao cho W + Z + WZ =
⇒ X + (Y + Z + YZ ) + X (Y + Z + YZ ) = ( X + Y + XY ) + Z + ( X + Y + XY ) Z
= W + Z + WZ = 0

Tức X tựa chính quy phải suy ra ρ1 là iđêan tựa chính quy phải của Rn suy
ra ρ1 ⊂ J ( Rn ) .


19

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
 0



=
ρi  ai1


 0


0 0 




2) Vành ma trận vuông cấp n trên một vành chia là vành Artin. Tổng
quát hơn, nếu R là vành Artin thì vành ma trận Rn cũng là vành Artin.
3) Tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin là Artin
Định lý 1.4.1. Nếu R là vành Artin thì J(R) là idean lũy linh
Chứng minh. Đặt J = J ( R) . Xét dây chuyền giảm các iđêan phải
J ⊃ J2 ⊃ J3 ⊃ ⊃ Jn ⊃

Vì R là vành Artin, ∃n ∈  : J n = J n +1 =  = J 2 n =  . Ta sẽ chứng minh J n = 0
. Ta đặt
I=
{x ∈ R : xJ n =
0}


20

Kiểm tra trực tiếp ta được I là iđêan hai phía của R. Có hai khả năng có thể xảy ra
như sau:
n
1
n

= J 2=
J n +=
0
0
0 . Khi đó, J =
J 2n =
Một là, J n ⊂ I thế thì J n J n =⇔
n



21

∃e ∈ρ, xe= x ⇒ xe 2 = xe ⇔ x(e 2 − e)= 0 .

Đặt ρo= {a ∈ ρ : xa= 0} . Dễ thấy ρo là iđêan phải của R nằm trong ρ . Thêm
nữa, xρ ≠ 0 nên ρo ≠ ρ . Do đó, từ tính tối tiểu của ρ suy ra ρo =0 . Ta có
x(e 2 − e) =0 ⇒ e 2 − e ∈ρo ⇒ e 2 − e =0 ⇔ e 2 =e

Tức e là phần tử lũy đẳng trong R.
Cuối cùng ta còn phải chứng minh ρ =eR . Ta có xe= x ≠ 0 nên e ≠ 0 . Khi
đó,
0 ≠ e = e 2 ∈ eR ⇒ eR ≠ 0

e ∈ ρ ⇒ eR ⊆ ρ
⇒ ρ =eR .
eR  R

ρ  R
 min

Bổ đề 1.4.2
Cho R là một vành và a ∈ R sao cho a 2 − a lũy linh. Khi đó, hoặc a là lũy linh hoặc
tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng
khác không.
Định lý 1.4.2
Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là một iđêan phải không lũy linh của R thì ρ có chứa
một phần tử lũy đẳng khác không.
Chứng minh. Vì ρ không lũy linh nên theo định lý 1.4.1 ρ không nằm trong J(R).

Me) J (eRe) M
=
(eJ (eRe)) 0 ; vì e là đơn vị của eRe nên suy ra eJ (eRe) = J (eRe)

suy ra MJ (eRe) = 0
Tóm lại, Me ≠ 0 thì MJ (eRe) = 0 ; còn Me = 0 thì rõ ràng
=
MJ (eRe) M=
(eJ (eRe)) (=
Me) J (eRe) 0

Tức J (eRe) linh hóa mọi R – môđun bất khả quy nên
J (eRe) ⊂ J ( R) ⇒ eJ (eRe)e ⊂ eJ ( R)e ⇔ J (eRe) ⊂ eJ ( R )e (1)

Ngược lại, ∀a ∈ eJ ( R)e ⇒ a ∈ J ( R) suy ra a tựa chính quy phải, suy ra ∃a′ ∈ R
0.
sao cho a + a′ + aa′ =

Vì a ∈ eJ ( R)e ⇒ a= ebe ⇒ eae= e 2be 2 = ebe= a , do đó,
a + a′ + aa′ =⇒
0 eae + ea′e + eaa′e =⇔
0 eae + ea′e + eaa′e =
0
⇔ a + ea′e + e(eae)a′e = 0 ⇔ a + ea′e + e 2 aea′e = 0 ⇔ a + ea′e + (eae)(ea′e) = 0

⇔ a + ea′e + a(ea′e) =
0


23

⇒ ∃y ∈ R, eaey = ee = e ⇒ eaeye = e ⇔ (eae)(eye) = e

Suy ra eye là nghịch đảo của eae. Tức eRe là vành chia.
Ngược lại, giả sử eRe là vành chia. Ta chứng minh ρ =eR là iđêan phải tối
tiểu cuả R. Giả sử ρo là một iđêan phải của R thỏa 0 ≠ ρo ⊂ ρ . Vì ρo ≠ 0 nên
) ea ∈ρo . Khi đó,
∃a ∈ ρo , a ≠ 0 . Mặt khác, a ∈ρo ⊂ ρ nên a= eb ⇒ a= e 2b= e(eb=

0 ≠ ae = eae ∈ eRe , mà eRe là vành chia nên
∃exe ∈ (eRe) \{0}, (ae)(exe) =e ⇔ a (exe) =e 
⇒ e a (exe) ∈ρo
=
a ∈ρo 
⇒ρ
= eR ⊆ ρo 
 ⇒ ρo = ρ
ρo ⊆ ρ 

Vậy ρ =eR là iđêan tối tiểu của vành chia eRe.


24

Hệ quả.
Cho R không có iđêan lũy linh khác không và e ≠ 0 là một phần tử lũy đẳng trong
R. Khi đó, eR là iđêan tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là iđêan tối tiểu của
vành R.
Chứng minh. Rõ ràng định lý 1.4.4 vẫn đúng trong trường hợp iđêan trái. Do đó,
Re là iđêan trái tối tiểu của vành eRe khi và chỉ khi eRe là vành chia. Điều này
tương đương với eR là iđêan phải tối tiểu của vành eRe.


i

, ta có x +=
y

∑ (α

i

+ α′i ) gi

thì tích xy là phép nhân hai đa thức.

Với hai phép toán vừa định nghĩa, F(G) là một vành.
Định lý 1.5.1.
Cho G là nhóm hữu hạn cấp o(G ) , F là trường đặc số 0 hoặc đặc số p mà p /| o(G ) .
Khi đó, F(G) là nửa đơn.
Chứng minh:
Nếu a ∈ F ( G ) ta định nghĩa ánh xạ
Ta : F ( G ) → F ( G )
x

 xa = xTa

Ta trở thành một phép biến đổi tuyến tính không gian vecto của đại số F(G).

Xét ánh xạ

ψ : F ( G ) → Hom ( F ( G ) , F ( G ) )