BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HUYỀN
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIẺN CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYEN CÁP
HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học TS. Trần Đình Kế
Hà Nội, 2014
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần
Đình Kế.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Đình Kế, người đã định hướng chọn đề tài và tận
tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các GS, TS dạy cao học chuyên
ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, cùng các bạn học viên lớp cao học K16 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Cao đẳng
nghề Cơ khí Nông Nghiệp - Bình Xuyên - Vĩnh Phúc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
thời gian học cao học.
Qua đây tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã luôn động viên, cổ vũ, tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Đình Kế, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán
giải tích với đề tài “Bài toán điều khiển cho một lớp phương trình vi phân phi tuyến cấp hai” được
hoàn thành bởi nhận thức của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa
học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả
Nguyễn Thị Huyền

Chương 3.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Xét bài toán điều khiển
x"(t) — Ax(t) — Bu(t) € F(í, x(t),u(t)), t £ J := [0, T], (0.0.1)
x(0)

+ g(x) = x

ữ

,

a/(0) + h(x

) = a?!, (0.0.2)
trong đó hàm trạng thái X lấy giá trị trong không gian Hilbert X,

hàm điều khiển u

€
L

2
(J;V),

với V

e J, (0.0.3)
x(0) = x
ữ
, a/(0) = Xị. (0.0.4)
Nghiệm tích phân X € C{J\X

) của (0.0.3)-(0.0.4) ứng với điều khiển u được cho bởi
x(t) = C(t)x0 + S(t)xi + í S(t — s)Bu(s)ds,
Jữ
với {^(^ỊíeR là họ hàm Sin ứng với họ Cô-sin {ơ(í)}ÍỄR. Đối với hệ
phi tuyến (0.0.1 )-(0.0.2), hàm X G C{J\X

) được gọi là nghiệm tích phân ứng với điều
khiển u

nếu tồn tại một hàm / e L

l
Ụ\X)

sao cho f(t

) G F(t,x(t),u(t))

với hầu khắp t E
J


được cho hệ phương trình vi phân cấp hai (xem trong [3]). ở đây, ta quan tâm đến khái
niệm điều khiển được dọc
theo quỹ đạo: hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) được gọi là điều khiển được chính xác nếu
với (x

0ỉ

xi) £ X

2, ta có WT = X, ỏ

đó
WT := {W(xữ,xuu)(T) : u € ữụ-,v)}.
Tương tự, ta nói rằng hệ (0.0.1 )-(0.0.2) là điều khiển được chính xác nếu với (a^o,íCi) €
X

2
,

ta có Yi

T

= X, ở

đó
:= {y{T) : y e ^{x0,xi,u),u e L2(J;V)}.

với X

nếu, S

(-) là toán tử compact và X

là không gian vô hạn chiều (xem [281 [20]).
Trong trường hợp này, W

T

là không gian con thực sự của X.

Do vậy giả thiết B

T

là toàn
ánh không thực tế, ngay cả với lớp phương trình sóng cổ điển (xem ví dụ chương cuối).
Do hạn chế nói trên, khái niệm điều khiển được chính xác đến không gian con tỏ ra
hữu dụng. Ta mô tả khái niệm này như sau. Giả sử x

0

là một không gian con đóng của I
và s
0
cl X I. Hệ tuyến tính được gọi là điều khiển được chính xác từ E

ữ

) sao cho
W(x

0

,Xị,u)(T)

= X

T

■

Giả sử rằng
{C(T)x0 + S(T)xi : {XQ,XI) G £0} c XQ.
Khi đó điều kiện R[B

T

] = x

0

tương đương với (E

0

,

x0)-điều khiển được

6
hợp. Cách tiếp cận của luận văn là phương pháp phổ dụng dùng để nghiên cứu các bao
hàm thức vi phân (xem [dõi và các công trình p, [T2Ị, Ị2TỊ, 122]).
Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản liên quan đến độ đo
không compact, giải tích đa trị và các kết quả điều khiển đối với phương trình cấp hai
tuyến tính. Chương 2 trình bày kết
quả chính: tính điều khiển được (Định lý 2.2.2) cho hệ phi tuyến (0.0.1)
(0.0.2). Chương cuối trình bày một ứng dụng cho bài toán điều khiển
đối với phương trình truyền sóng phi tuyến.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán điều khiển phi tuyến vô hạn chiều thông qua một lớp bài toán điều
khiển phi tuyến cấp hai trong không gian Hilbert. Chứng minh chi tiết các kết quả trong
bài báo [20].
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu lý thuyết phương trình vi phân cấp hai tuyến tính tổng quát;
2. Tìm hiểu bài toán điều khiển đối với phương trình cấp hai tuyến tính;
3. Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
4. Chứng minh tính điều khiển được cục bộ của một lớp bài toán với phương trình cấp
hai phi tuyến.
4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu là bài toán điều khiển liên quan đến phương trình vi phân cấp
hai.
• Phạm vi nghiên cứu: tính điều khiển được cục bộ.
5.Phương pháp nghiên cứu
7
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Lý thuyết họ hàm Cô-sin;
• Độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị nén;
• Lý thuyết điểu khiển các hệ vi phân tuyến tính.
6.Đóng góp mới của luận văn

iv) nửa cộng tính đại số, nếu /3(íĩ
0
+ ^1) < ßfäo) + ßis^i) với mọi
f2o; ^1 € v(£);
V) chính quy, nếu ß(ü) = 0 tương đương với íỉ là compact tương đối.
Ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không

compact Hausdorff,

thỏa mãn tất cả
9
các tính chất trong định nghĩa nói trên:
x(fỉ) —

inf{e : íì

có một e-lưới hữu hạn}.
Dựa trên độ đo Hausdorff X trên £, ta có độ đo th eo dẫy Xo như sau:
Xo(fì) = sup{x{D) : D e A(fì)}, (1-1.1)
với A(fì)

là tập các tập con không quá đếm được của ri (xem [ĩ]). Ta biết rằng
ịx{tì)

< Xo(fì) < x(fì), (1-1-2)
với mọi tập bị chặn íĩ c £.

Tính chất sau là hiển nhiên:
Mệnh đề 1.1.1. Giả sử X là độ đo Hausdorff trên £ và ri c £ là một tập bị
chặn. Khi đó với mọi e > 0


c C{J]X),
ỵx(D(t)) < Xcx{Đ), với mọi te J, ờ đây Dự) := {x{t) : X e D}.
1
• nếu D

là tập liên tục đồng bậc thì
Xcx{D) = sup xx{D(t)) .
Ta ký hiệu Kc

là một độ đo trong không gian tích C(J;X

) X C(J;V),

xác định như
sau: cho 7Ti và 7T2 là các phép chiếu chuẩn tắc từ không gian tích nói trên xuống các
không gian C(J;X

) và C(J; V)

tương ứng, khi đó
Kc(Ả) = XC X { K I{A)) + XCV{K 2 OA)), (1.1.3)
với mọi tập bị chặn A

c C(J

; X

) X C(J



y

chuẩn của r.
Đặc biệt, ta có
/3
2
(T(fi)) < ||r||ftAft(n). (1.1.4)
Giả sử Y

là một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. Ánh xạ đa trị T : Y —>• V(£) được gọi là:
(i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F~l{y) = {y G y : J
r
( y) c V} là tập mở trong
Y với mỗi tập mở V c £;
(ỉỉ) đóng nếu đồ thị của nó IV = {(y,z) : 2: £ J7(y)} là một tập con đóng của
Y X S;
(Hi) compact neu tap anh T{Y) la compact tUOng doi trong £;
(iv) tiCa compact niu han chi cua no tren cac tap compact la anh xa
compact.
Dinh nghia 1.1.3. Mot anh xa da tri T : D{F) C £ —>• K(£) duoc goi la nen
theo do do (3 (fi-nen) neu vdi moi tap bi chan C D(F) khong phai la tap
compact tuong doi, ta co
/3(^(n)) г №)■
Ap dung ly thuyet bac to-po cho anh xa da tri nen (xem [[T9]) ngudi ta da chiing
minh ducJc nguyen ly diem bat dong sau day.
Dinh ly 1.1.1 ([m Bo de 3.3.1]). Gia sit M. la mot tap con loi, dong va bi chan
cua £, T : M. —>■ Kv(M) la anh xa ntia lien tuc tren va (3-nen, vdi /3 la
mot do do ddn dieu, khong ky di tren £. Khi do tap cac diem bat dong


)) = 0 với hầu khắp í ẽ J,
trong đó ĩí

là khoảng cách Hausdorff trên K(£).
T
Ta biết rằng nếu không gian s là tách được thì các khái niệm đo được và đo được
mạnh trùng nhau, và nó tương đương với điều kiện ánh xạ í dist(x,G(t))

là đo được với
mỗi X G s. Ngoài ra, nếu G

đo được và bị chặn tích phân thì nó khả tích. Khi đó ta có
hàm đa trị í ẽ G(s

) ds

xác định bởi
Ta có kết quả sau đây liên quan đến ước lượng theo độ đo Hausdorff (x-ước lượng) cho
tích phân của hàm đa trị trong trường hợp s

là không gian tách được.
Mệnh đề 1.1.2 (|Tãl Định lý 4.2.3]). Giả sử E là không gian Banach tách được
và G : J —>• K{£) là hàm bị chặn tích phân và khả tích sao cho
với mọi t € J. Nói riêng, nếu G : J —¥ K(S) đo được và bị chặn tích phân
thì hàm khả tích và ta có
X(Jo G^ds) - Ị x(
ơ
(
s

(1.1.5)
thoa man (L1)-(L2).
Ta co ket qua sau, duoc coi nhu mot ltfOng co ban.
Menh de 1.1.3 ([[T9]]). Gia sit L thoa man (LI)-(L2) va {£
n
} c LX(J\ £) la day
bi chan tich phan, nghla la
||^n(^)||£: <
v
hau khapt

G J,
d do v E Ll{J). Gia sti them rang ton tai q G Ll(J) sao cho
x({£n(i)}) ^ v<3i huu khap t G J.
Khi do
x(Wfn)(*)}) <
2C
[ q{s)ds
Jo
vdi moi t G J, trong do C la hang sd xdc dinh trong (LI).
STJC dung Menh de 1.1.3, ta co:
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử fỉ c V-Ự^E) là một tập bị chặn thỏamãn
ỉ. với mọi £ e ||£(t)||£ < v(t) với hầu khắpt e J,
2. x(fỉ(í)) < q(t

Sử dụng các kết quả [Щ Định lý 4.2.1 và Định lý 5.1.1], ta có
Mệnh đề 1.1.5. Nếu {£
n
} С Ll(J\£) là một dãy nửa compact, thì {£
n
} là
compact yếu trong ƯỰ-^S) và (L(£
n
)} là compact tương đối trong Hơn
nữa, nếu £
n
—
1
£o thì L(£n) —> L(£o).
1.2. Họ hàm Cô-sin và tính điều khiển được của phương trình cấp hai tuyến tính
Họ các toán tử tuyến tính bị chặn {C(í)}íẽR trên X

được gọi là họ hàm Cô-sin nếu
1. ơ(0) = /;
2. C(t + s) + C(t

— s) = 2C(t)C(s),

với mọi í,5ẽM;
3. với mỗi X G X,

ánh xạ t

!-»■ C(t)x


ш
^

với mọi t

G M;
2.

—
£(£i)|| < M J*2 e^ds vói mọi tị:t2 G M,íi < t2.
Chi tiết về lý thuyết hàm Cô-sin có thể tìm thấy trong các tài liệu
ЩЩ.
Giả sử x0, E

ữ

là các không gian đã đề cập trong Chương 1. Ta biết
rằng hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (E

ữ

,

x0)-điều khiển được nếu và chỉ nếu R[BT\ =


ữ

vào X
và Q\

= B

T, điều kiện đảm bảo tính điều khiển được tương đương với bất đẳng thức
\\BT
Z
\\L'(J;V) > Vĩ\\z\\x;, 1 > 0, (1.2.1)
với mọi z £ Xq.

ở đây Bĩp

: X

—> L2(J; V) là toán tử liên hợp của B

T

.

Bất đẳng thức
cuối suy ra rằng (B
T
B^Z, z)x

> 7lkllx*j với mọi z


0 - S(T)x,].
Chương 2 Tính điều khiển được của hệ phi tuyến
2.1. Thiết lập các giả thiết
Trong mục này chúng tôi đưa ra một số giả thiết dùng để nghiên cứu
bài toán (0.0.1 )-(0.0.2)
(SA) Hệ tuyến tính (0.0.3)-(0.0.4) là (Eữ,xữ)-điều khiển được. Hơn nữa,
1. {C(t)x
0
+ S(t)x 1 : (z
0
,£i) e E
0
} c x0;
2. Jq S(T — s)f(s)ds £ x
0
với mọi f £ Ll{J] X).
Đối với hàm phi tuyến F, ta giả sử:
(Fl) F : J X X X V —»• Kv(X) sao cho F(-,x(-),v(-)) đo đượcmạnh với
mỗi phần tử (X, V) €E C(J;X) X L2(J; V);
(F2) Với hầu khắp t £ J, F(t, •, •) : X X V —¥ Kv(x) lànửa liên tục
trên;
(F3) Tồn tại một hàm ỉiên tục không giảm ty : M
+
—>
M
+
sao cho
\\F(t:V:0\\ ■=


С V

sao cho
171 p
í l С U B ( y i , X x { i ï ) + e), Q С u B ( ĩ ] k , X v { Q ) +
é ) . i=
1
k
= 1
Với mọi z £ F(t

:

fỉ, Q

), tồn tại ( ĩ , ( ) e í ì x Q sao cho z

£ F(t,

X, £). Lấy
Уг

và Щ

sao cho
II® - Vi\\x < Xx{tì) + e, и - rjk\\v < Xv(Q) + e,
Ta được
Ik - zịk\\x < k(t)\\x - yiịịx + ợ(t)|Ị£ - rjk\\v
< + б)+ q(t)(xv(Q) +



là các ánh xạ liên tục sao cho với X e C(

«7; X),
(g(x),h(x)) € £
0
;
(GH2) Tồn tại các hằng số Cg,Ch

> 0 và các hàm không giảm фд,ф/г : R+ —¥

M+
sao cho
Ilơ(z)||* < С5фр(||ж||с),
Н М Ж ) Н * < C ' A ( I M I c ) ,
trong đó ЦгсЦс = |M|c(J;X);
(GH3) Ta có
Xcx(C{-)g {D)) < mgxc x(D ),
Xcx{S(-)h (D)) < mh ỵcx(D),
với mọi tập con bị chặn D

с C(J',X), ở

đây rrig, Tĩih

là các hằng số
không âm.
Nhận xét 2.1.2.
1. Nếu g


và h

là các hàm hoàn toàn liên tục, nghĩa là chúng biến các tập bị chặn trong
C(J;X

) thành tập compact tương đối trong X,

thì (GH3) thỏa mãn với m

g

= rrih

=
0.
Thật vậy, giả sử D

c C{J\X

) là một tập bị chặn. Khi đó g(D

) là tập compact tương đối
trong X.

Khi đó C(-)g(D

) là liên tục đồng bậc và do đó
Xcx(C{-)g{D)) = sup ỵx(C{t)g{D)) = 0,
ÍỄ J
do C(t)g(D

Xét toán tử Q : C{J\X) —> X

được xác định bởi Qy

= y(T

) và toán tử tích phân
С

được xác định như sau:
С : L\J-X) C(J]X)
£(/)(*) = í s(t - s)f(s)ds. Jo
hĩa toán tử G

trên C(J:X):
Ngoài ra, ta định nghĩa toán tử Q trên C(J;X):
G{x){t)

= Cự)

[a?0 - g{x)] + S(t

) [zi - h(x)].

Ta xây dựng toán tử đa trị
T : C{J]X) X Ữ{J]V) V{C(J;X) X C{J]V)), T{x:u) = {(y{x,uj),z(x,uj)) : f €
5ị(a;,u)}, trong đó
z(x, u, f

) = B*S*(T -

)}-

(2.2.9)
Rõ ràng nếu (x*,u*)

là một điểm bất động của T

thì tồn tại hàm / G Sp(x*,u*)

sao cho
X* = g{x*)

+ £(Bu*

+ /), (2.2.10)
= B'S'(T - ■)(TỊ)~l [xT - QQ(x') - acự )]. (2.2.11)
u
(2.2.
1)
(2.2.
2)
(2.2.
3)
(2.2.
4)
(2.2.
5)

j ỊỊẩ^ỊỊ. Ngoài ra, nó biến tập bị chặn
bất kỳ trong Ll(J\X) thành tập liên tục đồng bậc trong C{J\X).
Chứng minh. Sử dụng kết quả từ [121 Bổ đề 4.2.1], ta thấy c

thỏa mãn (L1)-
(L2). Mặt khác, nếu Q

c L1(J;X) là một tập bị chặn, thì với mọi f e Q vầ t

1:

t

2

e
J : t

2

> ti, tẫ có
\\C{f){t2) - £(/)(íi)||x = II [ S(t2 — s)f(s)ds — í S{t! - s)f(s)ds\\x
J

0 -'0
</ \ \ S { t 2 - s ) - S { t 1 - s ) \ \\ \ f { s ) \ \ x d s + ỉ ||S(Í2 - s)||||/(s)Ms.
J 0 Jtx
Sử dụng Mệnh đề 1.2.1, ta được
||S(Í2 - s) - S{t! - s)II < M [ 2 ewCdC < M(t
2

\\v(t

2

)

- t7(*i)||v
< ||Б* II • \\S*(T - t
2
) - S *( T - íi)ỊỊ • WFîr'W (IIxtIU + \\Qg{x) \\
x
+ \\Q£(f)\\x)
< Ì||S|| ■ IIsự -

1 2) - S(T -

«он оыи + IIÖÖWIU + пасти*)
ì||B||M|t2 - ь\е“

т
(\\x

T

ị\

x

{x, ù).

Do Л

là bị chặn, tồn tại một số M

2

>

0 sao cho
\ \ Q £ ự )\ \ x < M2 ,
V
у
v
Ap dụng điều
1.2
(2.2.13
(2.2.14
với mọi (x, ù) G A. Do đó thay (2.2.13) và (2.2.14) vào bất đẳng thức (2.2.12), ta được
là liên tục đồng bậc trong C(J; V). □
Ta sẽ sử dụng các kết quả sau.
Bổ đề 2.2.1 (|Щ Bổ đề 5.1.1]). Cho F thỏa mãn (F1)-(F2) và {(x
n
, u
n
)} с C { J ] X )
X C { J ] V ) là một dãy hội tụ tới (x*,u*) G C(J',X) X C ( J ] V ) .
Giả sứ rằng {4>
n

X v { K 2 T( K )( t ) ) = x v (B ' S' ự - t ) ( Tl ) -1 [ xT- Q Q ( D ) - aesỊ.(«•)])
< ||B*S(T - (хт - QS(D) - QCSị(K))
< ||B*5,(T-<)(rJ)-1||^,«[xx(ee(ô)) + X X { Q C S ] , ( K ) )
Ta lại có
Xx (Q Q (D )) = Xx (c(T)[x0 - g (D ) } + S(T)[n - л(д)])
< l|C(r)||x^(ff(-Đ)) + ||5(Т)||Хл(Л(Д)) = 0,
Do g,h : C{J\ X)

—ï

X

là liên tục và D

с C(J]X

) là tập compact, nên g(D

) và
h(D

) là các tập compact. Mặt khác,
Xx{{f{s) : / e Sp{K)}) < xx{F{s,D(s),C{s))) = 0 với mỗi s e J,
(2.2.15)