Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM
HÀ NỘI 2
LÃ THỊ NGỌ
CÁC PHƯƠNG PHÁP HÀM SPLINE VÀ MỘT
SÓ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • •
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN TUẤN HÀ
NỘI, 2015
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn
Tuấn.
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã luôn tận tình hướng dẫn,
chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Đồng thời, tác giả cũng
xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, trường Đại hoc sư phạm Hà Nội 2 cùng với
các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp trong trường THPT
Đa Phúc - Sóc Sơn - Hà Nội ( nơi tác giả đang công tác) đã luôn cổ vũ, động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 201Ậ Tác giả
Lã Thị Ngọ
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Văn Tuấn. Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự
trân trọng biết ơn.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2014 Tác giả
Lã Thị Ngọ
LỜI CAM ĐOAN
Mục lục
3
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
z

khác.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm, các tính chất của hàm Spline và B- spline.
Xấp xỉ hàm số bằng hàm spline.
ứng dụng phần mềm Maple vào xấp xỉ hàm số bằng hàm spline.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Các hàm spline, phương pháp spline Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính
chất, ứng dụng vào xấp xỉ hàm số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp, tham khảo ý kiến chuyên gia.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng phương pháp spline để xấp xỉ một lớp hàm có nhiều
ứng dụng trong thực tế.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian tuyến tính
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp X khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi viết theo
lối cộng (+) và một ánh xạ ìj} : K X X —» X.Với mỗi a £ K và mỗi X
Xthì
phần tử ỉp(a, X) được gọi là tích của số a với phần tử X và được kí hiệuax.Giả
sử các
điều kiện sau được thỏa mãn:
1) X + y = y + X, Vx, y e X;
2) (x + y) + z = X + (y + z),Vx,y, z e X;
3) Tồn tại duy nhất phần tử 6 sao cho X + 6 = 6 + X, 'ix £ X (phần tử
này gọi là
phần tử không);
4) ứng với mỗi phần tử X e


Tập X = M
2
là tập
M

2
= {(

21,

22) :

Xx và x
2
ỉà các số thực}
Với mỗi số thực a và các vectơ X — (xi,x
2
),y = (y
1
,
2
/
2
) £ X, phép cộng và
nhân vô hướng được định nghĩa:
x + y = (x
1
+ yi,x
2
+ y

2
x
2
+ + a„x
n
Các vectơ Xi, x
2
, ■, x
n
đượcgọi là độc lập tuyến tính nếu
Oi\X\ Oí2%2 “t
-
• • • “t”
=
0 ^ Oi\
=
OÌ2 — • ■ •
=
Oi
n
—= 0
Các vectơ Xi,

x
2
, ■ ■ ■, x

n
Trong trường hợp này một tập к vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó.
Các không gian к chiều, với к là một số nguyên không âm bất kì gọi là không gian hữu hạn
chiều.
Một không gian vô hạn chiều tức là sao cho với mọi к đều tìm được к vectơ độc lập tuyến tính
của nó.
Ví dụ 1.1.4. M.
k
= ĩ
a
k) I
a
i £ là không gian к chiều, vói cơ sở là:
X
1
= (1,0, ,0),z
2
= (0,1,0, ,0), = (0,0, , 1)
Không gian M[a,ò] là vô hạn chiều vì với mọi к ta luôn có к phần tử của nó độc lập
tuyến tính, đó là:
X
1
(t) = t,x
2
(t) = t
2
, .,x
n
(t) = t
n
Nếu X là không gian к chiều và x


k

.
Nếu ta làm phép ánh
xạ 1 - 1 : Ï о («
1
, a
2
, ■ ■ ■, a
k
) thì đó là một phép đẳng cấu giữa X và ж
к
. Như vậy không gian tuyến
tính к chiều bao giờ cũng đẳng cấu với không gian M
fc
.
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian X gọi là một không
gian con, nếu nó kín đối với phép cộng phần tử với phần tử và phép nhẵn phần tử
với một số, nghĩa là:
1) Ух,у£М=>х + у£М.
2) Ух e M,a e M =► ax G M.
Cho A là một tập con bất kì, khác rỗng của X. Khi đó, bao giờ cũng có ít nhất một không gian
con bao hàm A, đó chính là X. Vậy họ các không gian con bao hàm
A khác rỗng, giao của họ các không gian ấy cũng là một không gian con và là không gian con nhỏ nhất
bao hàm A. Không gian này gọi là không gian con sinh bởi tập A.
Như vậy, không gian con sinh bởi A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu

2
|}
trong đó X = (xi,x
2
) € M

2

.
Ví dụ 1.2.2. Không gian C[a,b] = {/ : [a,b] —> R I/ liên tục trên [a,&]} là không gian
định chuẩn với chuẩn
||/(í)|| = max |/(í)|
a < t < b
Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn mil và ||||
2
. Hai chuẩn này
được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và m > 0 sao cho:
7тгIIiCiII < lịíCaII < A^ll^ill, Vx Ễ X .
Trong ví dụ 1.3.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:
11*2

11
< ( 2 I M I L )
1
=
Mặt khác:
9
||ж||оо = max{|ii|, |rr
2
|} < (xỊ + xị) 2 = ||ге||

n
+ y„ —> x
ữ
+ y
0
.
5) Nếu x
n
—> Xo,a
n
—> a
ữ
thì x
n
a
n
—> x
0
a
0
, V{a„}~
=1
с M,a
0
e M.
6) Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {x
n
} с X sao cho:
lim ||x
n

а
. (1.1)
Định nghĩa 1.2.5. số Да nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.2.1) gọi là sai số tuyệt đối của số
gần đúng a.
Khỉ đó a* = a ± Aa.
X Да
Đinh nghĩa 1.2.6. Sô oa = —— đươc дог là sai sô tương đôi của a.
|a|
Ví dụ 1.2.3. Giả sử а* = 7Г và а = 3,14.
Do 3,14 < 7Г < 3,15 = 3,14 + 0, 01 nên ta có thể lấy Aa = 0, 01.
Do 3,14 < 7Г < 3,142 = 3,14 + 0, 002 nên ta có thể lấy Да = 0, 002.
Ví dụ 1.2.4. Do độ dài đoạn thẳng AB và CD ta thu được а = 10m ± 0,01m;ò = 1 m ± 0, 01
m.
Khi đó, ta có: ỗa = —— = 0,1%; ôb = —— = 1%.
10 1
Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD tuy
chúng có cùng sai số tuyệt đối Aa = Ab = 0, 01 m.
1
1
1.2.4Xấp xỉ tốt nhất
Định nghĩa 1.2.7. Cho X ỉà không gian định chuẩn với chuẩn II II, M с X và p Ễ X. Điểm
y
0
£ M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu:
IIp -
2
/
0
II < lb - y\\^y e M
xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không và sự tồn tại nếu có cũng không phải là duy nhất.

I I ж — a ; j v I I = m i n
1
| я —
y
I I
yêx
N
Chứng minh. Lấy ~z £ X
N
và đặt d = ||x — z||
К = z e X
N
: ||a; — z\\ < d
Từ ||a;|| là hàm liên tục của X nên к là tập đóng và bị chặn. Mà к là không gian hữu hạn chiều
nên к compact.
Đặt g(z) — ||x — z\\, z Ễ К. Khi đó, g là hàm liên tục của
Do К compact nên g đạt giá trị nhỏ nhất tại một số điểm X
N
£ к.
Vậy ||x — Zjvll = min
yeíf
\\x — y\\. □
1.2.5Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ
Cho đoạn [a, 0], chia đoạn [a, b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia Xi, i

= 0,

n

thỏa

hai tính chất sau:
® y ' j — l ị 1 ^ I ® i i 1 J 1 J ^ 3 - ■ - 3 ^ 5
• Ỵ 2 ị — 1 ịỶ j I I ^ I
a
i i I ’ ^ 1, 2 , . . . ,T l.
Định lý 1.2.2. Ma trận Ả có tính chất đường chéo trội thì Ả không suy biến.
Khi đó hệ phương trình
ũnXi + dl2'^ 2 + • • • + a
l n
x
n
= Ị/i
«21^1 + 0, 22X2 + • • • + 0 , 2 n
x
n
=
ỉ/2
CLn lX - í "i“ d
n
2X 2 '' ' "i“ ũnn^ỉi U n
luôn có nghiệm.
Đặt ma trận A = (a
i j
)ị
j = 1
,y = (yi,y
2
, ■ ■ ■ ,y
n
)

đó ánh xạ II • II : X —> M xác định bởi ||z|| = -ự(x,x) là một chuẩn trên X và X cùng với chuẩn đó là
một không gian tuyến tính định chuẩn.
Chuẩn xác định như trên được gọi là chuẩn cảm sinh
bởi tích vô hướng.
Từ đó có ánh xạ d : X X X —> R xác định bởi:
d(x, y) = \\x - y\\ = - y,x - y)
là một hàm khoảng cách trên X và (X, d) là một không gian metric. Khoảng cách d vừa xác định
được gọi là khoảng cách cảm sinh bởi tích vô hướng.
1.3.2 Định nghĩa không gian Hilbert
Định nghĩa 1.3.2. Cho không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng (•) . Nếu cùng với
khoảng cách d cảm sinh bởi tích vô hướng mà

( X, d

) trở thành một không gian

metric
đủ thì lúc đó X cùng với tích vô hướng (•) được gọi là một không gian Hilbert.
1.3.3 Định nghĩa hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.3.3. Hệ vô hạn các phần tử {Xj}jgj thuộc không gian tuyến tính X được gọi
là độc lập tuyến tính nếu như mọi hệ con hữu hạn các phần tử của nó là độc lập
tuyến tính.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X là một không gian Hilbert. Hệ các phần tử {e
Ể
}
ie
j của X được gọi

Ể
)^e
Ể
và e
k
= jj^jp
Khi đó h
ê {ejiei là hoàn
toàn xác định (vì nếu tồn tại một tỉ số k sao cho ||y
fc
|| =
0
y
k
= 6 thì dẫn đến hệ {x\, x
2
, • • ■ , £fc-i} là
phụ thuộc tuyến tính, trái với giả thiết). Dễ thấy: (ei, ei) = 1.
Xét (e
2
, ei) = ( -p—, ei ) = 7^—r(y
2
, ei) =
7 7
^
1 7 ( ^ 2
- (x
2
, ei).ei, ei) = ■
7 7

Quá trình xây dựng hệ {ej}jgj từ hệ {Xj}jgj độc lập tuyến tính như trên được gọi là quá trình trực
chuẩn hóa Hilbert - Schmidt.
Ví dụ 1.3.1. Xét X = M”, với X = (x
1 :
,x
n
) € M
n
,y = (yi, ,y
n
) Ễ M
n
;
đặt (x,y) = Yl
n
=
i
x
iUi-
Có thể thấy R” cùng với tích vô hướng được xác định như trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.

Xét X = L

2

[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn
[a,b] bao gồm các hàm thực xịt) xác định, bình phương khả tích trên [a,b]
sao cho:

(t) = í*
-1
, k ^ 2. Hãy trực giao
hóa hệ (x
fc
(í)} nói trên tương tự quá trình trực chuẩn hóa
Hilbert - Schmidt (chính xác đến một hằng số nhân).
Nhăn thấy: ||a:i II — 2, 6i — 77—77,
11*1 II
nên y
2
= x
2
= í, Ví € [-1,1].
Vậy có (e
2
,e!) = 0. Dễ thấy (e
2
,e
2
) : Bằng quy
nạp toán học ta thấy với ì
( ^ k ĩ ^ h ) ( 7 775^/1) 77 Ũ~(ỉ/ fc5 )
\ \ \ y k \ \
/ l l ỉ / k l l
llỉ/kll
ờ
■
■
1

nhưng với dạng đơn giản hơn, như sau:
Hệ đa thức {ej(í)}
ieN
. trực giao thu được như trên gọi là hệ đa thức trực giao
Legendre.
1.3.4Một số kết quả cơ bản
Định nghĩa 1.3.5. Giả sử X là không gian Hilbert,

còn {ei}“,! là hệ trực chuẩn trong X .
Với mỗi X € X, ta xét S
n
=
c
i
e
iì với C ị = (x,Ẽi ), thì S
n
được

gọi là tổng Fourier của X và
các Cị là các hệ số Fourier của X đối với hệ {eị}^! Nếu lim II Sn — a: II =
n—

y < x
1
6
1
.
v.v
1

2
+ 3
0 thì người ta nói tổng Fourier S
n
hội tụ đến X và viết: X = Y^°Li(x, e i ) e i .
Định lý 1.3.2. Cho không gian Hilbert X và là một hệ trực chuẩn của nó. Khi
đó các phát biểu sau tương đương:
1
7
2. Ух е X, ||ж||
2
=
е
г)
2
3. Nếu Z là một phần tử trong X sao cho (z, eị) = 0, Vi G N* thì z = в.
ị. Bao đóng của không gian con sinh bởi trùng với X.
Chương 2
MỘT số VẤN ĐỀ VỀ SPLINE VÀ
*
B-SPLINE
2.1 Mở đầu về hàm splỉne và B-spline
2.1.1Tổ hợp lồi và bao lồi
a) Tổ hợp lồi
Định nghĩa 2.1.1. Cho c
1
,c
2
là hai số, X e [0; 1]. Khi đó, số
c= (1- A).

điểm c
1
,c
2
làcác điểm c{x\y) được xác định như sau:
(■c) = {c(x, y ) \x = (1 - A)a:i + Xx
2
, y = (1
- X ) y i + X y
2
}
0 < A < 1
Đe thuận tiện ta quy ước kí hiệu
c = (1 — A)ci + Ac
2
(2-3)
thay cho giải thích (2.2)
b) Bao lồi của một tập hdp các điểm
Định nghĩa 2.1.2. • Bao lồi của hai điểm:
Trong không gian M
2
, cho Ci = {xi,yi),c
2
— (x2,y2),xi,ĩji ẼR|i= 1,2. Tập hợp
1
8
Hình 2.1: Tỏ hợp lồi của Cl và c
2
các điểm с thỏa mãn: с = (1 — A). Cl + A.c
2

Cho hai điểm Co = (xosỉ/o) và Ci = (xi, yi), Xi, Ui eM,i = 0,l. Gọi AB là đoạn thẳng đi qua
Co và Ci thì đoạn thẳng AB là bao lồi của hai điểm trên. Phương trình của đoạn thẳng AB là:
j
1
= *„ + (*,- *„).A f , - ( 1 - A ) „ + „ A
; A e
l y = Vo + (yi - 2/o)A [ y = (1 - X)yo + yiA.
ĐặtA=^^-,te[to;t,]=M-A = l
t_í
°
íl_í
Í1-Í0 t i - t o ti
- to
11
2
0
( _ ti-í , í-ío
Ía; = x
0
-ị —Xi
%-Jỉ *Ì I ỊỊ
Kí hiệu:
g(*|c
0
,ci;*
0
,*i) = ^

—7 C o +



X - x
0
У = f { x ) = — -V ữ + — -У 1
— x
0
X i — x
0
với (x-,y) £ АВ,А(хо]уо)]В(хйу
1
).
2.1.3 Nội suy các đường cong đa thức
a) Nội suy bậc hai của ba điểm
Giả sử c
0
,c
1
;c
2
G Mlà ba điểm đã cho, (tj)j
= 0
là các số thực cho trước.
Đặt

q
0 ; 1
(t)

=


2
) = (?1,1 (Í
2
) = C
2
Ta nói g
0
2(í) là
đường cong bậc hai 2 nội suy qua ba điểm c
0
, Cl, c
2
b) Nội suy đa thức bậc cao
• Nội suy đa thức bậc ba.
Giả sử (Cj)?
=ũ
là các điểm đã cho, gọi t = (ti)ị
= Q
,tị Ễ R là các tham số cho trước. Khi đó qo2(t)
là đường cong bậc hai nội suy cho các điểm C
0
,CI,C
2
và qi2(t) là đường cong bậc hai nội suy
cho các điểm

CI,C

2


bậc
d, bằng quy nạp. Cụ thể đặt:
Qo,d (t) = -Qo,d—1 (t) + (2-6)
ĩd ~ *0 *d ~ to
thì q o d ( t ) là đường cong bậc d. (Đồ thị của đa thức bậc d đi qua Cị,i = 0,d)
Ta xây dựng thuật toán tìm q
0
d{ì) như sau:
Thuật toán 2.1.1 (Phương pháp Neville-Aitken).
Bước 1: Tính q
i 0
(t)
Bước 2: Sử dụng công thức quy nạp lần lượt tìm <7i
1
Ỉ <7i
2
-”
9
i đ như sau:
< l i , r ( t ) =
t i + r

~ l

q i , r - i ( t ) + 7~~7 Q i + i , r - i ( t )
tị + r ^ị + r vị
Với * = 0,1, d — r và r — 1, 2, d.
Các phép tính liên quan tới thuật toán tính q
0
d(t)

2
thì p(t\ci, C2',t
2
,t
3
) là đoạn thẳng qua c
1
,c
2
.
2. Cho (Cj

)"
=1là TI điểm cho trước. Chọn (tị ) ^2 với tị <

tị+iỉi = 2,71
3ỈCLC đinh.
p(t\c
1
,c
2
-,t
2
,t
3
) ,t € [t
2

=1
là các điểm điều khiển, (tị)ị=2 99
l
là
c
®
c
điểm nút.
2
2
(2.7)
c,
ụ
-11
3
Hình 2.4: Tính
toán một điểm
trên đường cong
nội suy bậc ba
1 - *
*
Ví
dụ
2.
1.
1.
V
ổi
t
2

(1
(c
2
-
C!
))í
+
Ci,
v
ới
t
e
[0;
1]
Ví
dụ
2.
1.
2.
V
ới
t
2
=
Q
,h
=
+ C2Í
—
0,

,í
e
[0,
5;
1)
V 0,5 - t t - 0
P
i
=
{