Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
PHAN ĐÌNH CÔNG
NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ LÀ CÁC HÀM GIẢI TÍCH
Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. HÀ TIẾN NGOẠN
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với P G S . T S H à
T i ế n N g o ạ n ; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành Luận văn
này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn
thành khoá học.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phạm Công Bình đã tạo điều kiện
thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình, tập thể lớp K16 Toán
Giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, quý thầy cô đồng nghiệp trường THPT Phạm
Công Bình và bạn bè đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác giả
Phan Đình Công\
Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của P G S . T S H à T i ế n N g o ạ n , tác giả xin cam đoan luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “ N g h i ệ m c ơ b ả n c ủ a p h ư ơ n g
t r ì n h e l l i p t i c t u y ế n t í n h v ớ i h ệ s ố l à c á c h à m g i ả i t í c h ” được hoàn
thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ luận văn nào

Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng
Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không
1.
thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng.
1
4
1
4
14 2
Bài toán Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski
1.4.1
.
1.4.2
Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1
Bài toán Cauchy với vế phải là hàm sóng phẳng
NGHIỆM Cơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL-
Chương 2.
LIPTIC TUYẾN TÍNH
2
Phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
2.1
Nghiệm cơ bản
2
1
2
1
Khái niệm phương trình elliptic tuyến tính
2.1.
1.
Định nghĩa nghiệm cơ bản

với hệ số là các hàm giải tích.
Luận văn được trình bày với cơ sở là nội dung chương 3 của cuốn sách:
"Fritz John (1955), P L A N E W A V E S A N D S P H E R I C A L M E A N S ,
Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin."
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra công thức mô tả nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính
với hệ số là các hàm giải tích trên cơ sở sử dụng phép biểu diễn hàm số bất kỳ
qua các sóng phẳng trong không gian nhiều chiều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày các khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ
qua các sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về nghiệm cơ bản của
phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm
giải tích.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
7
Tổng quan về nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là
các hàm giải tích bằng cách sử dụng công cụ là hàm sóng phẳng.
8
Chương 1 SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC
BIỂU DIỄN HÀM số BẤT KỲ QUA
SÓNG PHẲNG
1.1. Một số ký hiệu
• R
n
= { X

• Tích vô hướng của vectơ у và ж được kí hiệu là Y . X =

yiXị.
i=1
• Độ dài ( X . X ) Z

của vectơ X

là |xỊ.
• Phần tử thể tích D X

1, . . . , D X

N

được viết tắt là D X ,

trong khi D S

X
được
kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không gian N

chiều.
Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong
không gian X được kí hiệu là Í Ì


vectơ Y
= ( Y I , . . . , Y

N

)

^ 0 được cố định thuộc không gian R
n
. Hàm số G ( Y . X

) là
một hàm theo biến X

= ( X I , . . . , X

n
) và nhận giá trị hằng số trên các siêu
phẳng mà vectơ Y

là pháp tuyến. Hàm G ( Y . X

) được gọi là một sóng phẳng.
Định lý 1.1. Giả sửn > 2, g(s ) là một hầm liên tục củ ã biến vô
hướng s. Ta có công thức
+1
J g{y.x)duj
x
= U}
n


(X . Y

) có giá trị G

(\ Y \ P

). Phần giao ( N
—

1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)
U!
n
_ 1 2
-v)
2
■
n — 1
1
Suy ra
+ r
J g{y.x ) d x = —зуУ { r
2
- p
2
) ^ g ( \ y \ p ) d p .
|x|<r —r
Lấy đạo hàm hai vế theo r và đặt r = 1 ta được
+1
Ị

к

>

0. Khi
đ( cá c c ô n g th ức sau
2 ^
_1
Г (*±ỉ)
r(*±±)
2 v^
_

1
r ( ^ )
r(s±i)
/|
*.
-
trong đó c

n

ỵ l à h ằ n g s ố , T ( t) là hàm
(1.2)
□
5 ta
có
(1.3
)


= 1, và từ (1.1) ta suy
ra công thức sau
Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng
2y/ĩfĩ
“ ” ' ĩ ( ĩ ĩ
đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian N

chiều. Cho G ( S

) = E

I S
ta được
1
h(s) =
U } n
~

1
í ( 1 — p
2
)^e
i s p

Ỵ

là các hằng số nào đó.
N h ậ n x é t 1 . 1 . Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi K

= 0 .
r (g)
r
(ầ)
r ( | )
(1.5
d
1
^

n ___ Í Í-\

„ 2 \
______ —
„ = / (
1
-P ) ’
(1.
2 "I> + 1 )
(1.
N

—
□
1.3. Công thức biểu diễn hàm số

í)2
j=1 J
ỉầ toẩn tử Lãpỉace theo biến z.
C h ứ n g m i n h . Ta xét một hàm F ( X

) tùy ý thuộc lớp C Ị

và bằng không
ngoài tập bị chặn nào đó. Khi đó
/
I |2 —n
9 I I ,dy
(
L1
°)
(2 ĩi)UJ
n
là một hàm của 2: thuộc lớp Ơ2, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson
A
Z
u(z) = f(z ) ( 1 .11 )
trong đó là Laplace đối với các biến Zi, ,z
n
.
u
Với N


%
\ y \ > r
=
~
ìim
n
ĩ2 / “1 y \ ~
n
f ( y +
z
)
d S
v ~ Ị f { y +
z
) ^ - { y i \ y \ ~
n
) d y
n
r —
J T J O ĩ Ị ị
Ị[ĩ/|=r |ĩ/|>r
= — limr
1 _ n
[ f(y + z)dSy
u
n
r- > 0 J
I y\ = r
= m.
Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách chi

Z

vào hai vế của đẳng thức cuối
N

^ lần. Ta
A* \y - z\
k
= k(k + n - 2 ) \y - z
và N >

2 ta nhận được các công thức sau
on+ỉ-lr fk+2\ -p f k+n\ T' í n\
( A \y - z\' = -— I ,
- *1
[2 — n) 7Ĩ
(1.12)
với N

lẻ,
( A O ^ I y - ^ l o g l y - * !
=
2
n+fc
~
2
r (***) r (*y) r (f) ^ _
( 2 - n) K

) \ y

í)2
j= 1 J
là toán tử Laplace theo biến Z .
k
thấy,
2
1
2 —
n
7
\
n
(A
□
N h ậ n x é t 1 . 2 . Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho N chẵn và N

lẻ bởi công thức sau
(1.14)
trong đó log S

kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt phẳng
phức S

với đường cắt dọc theo trục thực âm.

J{x,p)= Ị f(y)dSy
y.x=p
ỉầ tích phẵn của f trên siêu phẳng với phấp tuyến đơn vị X vầ có
khoảng cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có cấc công
thức biểu diễn sau
2(2?ĩi)
n 1
f(z) = (A
z
)"z
1
J J(x, x.z)dùj
2
với n lẻ,
n
R
duix \
dy
\{ y -
z) . x

i
f ( y ) [ { y -
z
)-
x
\
k
•
(1.1

lẻ với K =

1 ta có
+ 00
JJf(y)\(y-z).x\d
U l
dy = Jdu>,J |p| dp J" f(y)dSy
iîz fi* —oo (y — z).x=p
+
00
= J

düJ
x
J

\p\ J(x,p + z.x)dp. (1-18) f2
x
- 0 0
Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1
+ 00
A* J \p\ J{x,p + z.x)dp
—
—
— Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau đây
— 2(27 TỈỴ
1
f(z) = (A
z
)

J
log \p\ J(x,p + z.x)dp = / (log
\p\)Jpp{x,p + z.x)dp
— — 00 —00
— + 00
— = / (log \p - z.x\)J
p p
(x,p)dp
— — 00
— + 00
— = - — - Jp(x,p)dp
— J p - z.x
—
00
p= + 00
=
_ f
dJ(x,p )
— J p- x.z
— p= — oo
— Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy.
Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là
— + 00
— J

f{z)dp= lim J


— trong đó A

Z

= > —là toán tử Laplace theo biến ■ * —
1
' D Z I
— 3=1
j
□
1.4. Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính
không thuần nhất với vế phải là các hàm sóng phẳng.
1.4.1. Bài toán Cauchy, Định lí Cauchy-Kowalewski
— Gọi L [ U \

là toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp M

có dạng
— "L .
— « =
(1.19)
— k=0 iu-,ik
1
k
— = 1 , ,71
— trong đó X = ( x i , x
2
, ■ ■ ., £
n
) € K

— Q ( z , ỉ ) ^ 0 , V í 6R " , í / 0 .
(1.22)
— Ta sẽ luôn giả thiết rằng M

là số chẵn.
— Giả sử £ <E M
n
, £ Ỷ

0 được cố
định. Trong không gian M
n
ta xét
siêu
— phẳng S Ị

V

sau
— Sị
v
= {x e R
n
\ £.x — p = 0}
(1-23)
— trong đó P

€ M là một số thực nào đó. Siêu phẳng này có vectơ pháp
— tuyến là vectơ £. Nếu phương trình (1.19) là elliptic thì mọi siêu phẳng
S { P


) = 1 và F ( X

) = G ( X . $ ,

— P

).
1.4.2. Bài toán Cauchy trong trường hợp vế phải đồng nhất bằng 1
— Gọi v(x,£,p) là nghiệm của phương trình
— L [ V ] =

1
(1.26)
— với các dữ kiện Cauchy thuần nhất trên siêu
phẳng
p
là
— — = 0, X ẽ S^p , k = 0,
. . . , m -
1. (1.27)
— Ta sẽ chứng minh được nghiệm V

này có dạng
— v{x,£,p) = (z.£-p)
m
w(x,£,p)
(1.28)
— với W ( X , £ , P )


— nghiệm của phương trình (1.26). (Chúng ta dùng ở đây đặc trưng elliptic
của phương trình, bảo đảm rằng các siêu phẳng thực không là mặt đặc trưng, cũng
như tính giải tích của các hệ số thỏa mãn định lý). Hơn nữa
V là xác định duy nhất. Vì V chỉ phụ vào L và siêu phẳng, nên nó phải là thuần
nhất bậc 0 theo £ và P .
— Ta sẽ phân tích sự phụ thuộc của V

vào £ và P .

Cho thuận tiện ta có thể
biến siêu phẳng thành cố định bằng phép biến đổi trực giao. Phép biến đổi này có
thể được chọn địa phương để phụ thuộc một cách liên tục vào £ và P .

Giả sử Ĩ ]

là
vectơ đơn vị: \ Ĩ ] \

= 1. Khi đó siêu phẳng X . £ = P

có thể biến thành siêu phẳng
X ' . Ĩ ]

= 0 bằng phép biến đổi trực giao
— ’
f = x +
w
,
~m^r)
{ ( + m


Hình cầu N'

chắc chắn chứa hình cầu bán kính Ô/ 2

tâm là
điểm gốc của không gian x

ĩ
(Hình 1.2).
— Bằng phép thế (1.31) các hệ số A( x )

của L

trở thành các hàm
(1.31
<-
X = X +
Phép biến đổi ngược được cho bỏi công thức
» ,
2x'. ĩ ]

f

x’.

(£ + Ị£ 1 li )


tác động vào các hàm của X ' ,

với các hệ
— số phụ thuộc giải tích vào X '

và tham số trong miền (1.32). Các hệ
— số có thể khai triển thành chuỗi luỹ thừa hội tụ đối với X Ị ,

— R } I , P
với \ X

!

\ ,

Ị£ - 7/1, \ P \

đủ bé.
— Bài toán Cauchy với V

trên trở thành việc tìm một hàm V'

của phương
trình
— L ' [ V ' \

= 1
(1.33)
— nó triệt tiêu với tất cả các đạo hàm cấp < M

I I ^
\

X

I < 01 l£ - V \

< nl \P \

< A

(1.3
p c
X ler